楊冬英

摘 要：數(shù)學(xué)是一門有著顯著應(yīng)用屬性與工具屬性的學(xué)科，學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)到的所有理論、公式和定理都可以被應(yīng)用到實(shí)際問題的解決過程中，從這一視角出發(fā)也可以說數(shù)學(xué)本身就是一門為解決實(shí)際問題而生的學(xué)科。而數(shù)學(xué)建模思想指的就是依據(jù)實(shí)際問題來建立數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)解題思想，高中數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用就有助于在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提高。而本文主要圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用展開，先是介紹了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的數(shù)學(xué)模型類型，再結(jié)合課程需要與學(xué)生需求，探究在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要如何借建模思想來完成對(duì)學(xué)生各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)建模思想；應(yīng)用策略

新課標(biāo)的提出與新課改的推進(jìn)將數(shù)學(xué)課程的教學(xué)重點(diǎn)定位在了核心素養(yǎng)上，而高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)可以從六個(gè)方面來看，分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模就包含在其中。結(jié)合新課標(biāo)中對(duì)數(shù)學(xué)建模的解釋，數(shù)學(xué)建模不僅是將數(shù)學(xué)當(dāng)作工具來解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，無論是對(duì)課程的發(fā)展還是學(xué)生的成長而言，都能夠起到不容忽視的作用。就高中階段數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)追求來看，建模思想在課堂教學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用能夠更進(jìn)一步地推動(dòng)課程的優(yōu)化和學(xué)生的成長，為學(xué)生能夠成長為一個(gè)高素質(zhì)應(yīng)用型人才奠定基礎(chǔ)。而對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師而言，如何將數(shù)學(xué)建模思想融入課堂，利用數(shù)學(xué)建模思想來更好地設(shè)計(jì)與開展教學(xué)工作才是需要重點(diǎn)思考的問題，教師需要基于數(shù)學(xué)建模來探究發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)踐價(jià)值的策略和路徑。

一、數(shù)學(xué)建模思想概述

當(dāng)人們需要從定量的角度來分析和研究一個(gè)實(shí)際的數(shù)學(xué)問題時(shí)，利用數(shù)學(xué)符號(hào)和語言來建立一個(gè)能夠解釋某些客觀現(xiàn)象、預(yù)測未來發(fā)展規(guī)律或控制某一現(xiàn)象發(fā)展的虛擬模型就是一件十分必要的事，而數(shù)學(xué)建模思想實(shí)際上就是在這一邏輯下，通過假設(shè)來刻畫各個(gè)變量和常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并建立相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)用于求解的一種數(shù)學(xué)思維模式。簡單來說，數(shù)學(xué)建模思想就是一種用數(shù)學(xué)語言來描述實(shí)際現(xiàn)象的過程，雖然數(shù)學(xué)模型本身在特定的意義上就是實(shí)際事物的一種抽象表現(xiàn)形式，但相對(duì)于以文字形式呈現(xiàn)和說明的理論、公式、定理和規(guī)律而言，數(shù)學(xué)模型也算得上是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡化，能夠代替實(shí)際物體來推動(dòng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。在現(xiàn)代社會(huì)中，數(shù)學(xué)建模思想實(shí)際上也是社會(huì)發(fā)展所需高質(zhì)量、高層次科技人才必須具備的一種思維品質(zhì)與重要能力，在多個(gè)發(fā)展領(lǐng)域都能夠起到關(guān)鍵且重要的作用。而教師在將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于課堂，或者說在課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想時(shí)，還需要秉持以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)的基本原則，促使學(xué)生在課堂上主動(dòng)地去分析問題、思考問題和解決問題，完成對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的

建構(gòu)。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)模型類型

（一）函數(shù)模型

函數(shù)是數(shù)學(xué)中發(fā)生在集合之間的一種對(duì)立關(guān)系，其概念中主要有變量和常量這兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)元素，這之中的變量又有兩種類型，一種是與它量有關(guān)聯(lián)的自變量，另一種是會(huì)隨著自變量而變化的因變量。在高中階段的數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)是學(xué)生需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容之一，且高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)相較于初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)來說要更難和更深，學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解函數(shù)相關(guān)知識(shí)的過程中需要借助數(shù)學(xué)模型來降低學(xué)習(xí)和理解的難度。而通常情況下，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的函數(shù)模型分為五種，即一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型和冪函數(shù)模型，分別由一個(gè)含有自變量的表達(dá)式和一個(gè)用二維方式呈現(xiàn)的圖像組成。

（二）空間模型

高中階段數(shù)學(xué)課程中的空間模型主要應(yīng)用于立體幾何問題的解決，在立體幾何相關(guān)的研究中，學(xué)生需要研究與探究的主要是三維空間中物體的形狀、大小和位置關(guān)系，空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其中點(diǎn)、線、面的關(guān)系等都是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生只有具備一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力才可能靈活地應(yīng)對(duì)立體幾何相關(guān)的問題。而在學(xué)習(xí)立體幾何相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，教師就需要通過建構(gòu)空間模型的方式來鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的空間幾何能力與幾何直觀能力，讓學(xué)生能夠在看到研究立體幾何相關(guān)問題時(shí)自動(dòng)在腦海中建立起一個(gè)三維空間中的立體模型，更好地分析與推斷空間中點(diǎn)、線、面的聯(lián)系。

（三）概率模型

概率反映的是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小，即在多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中某種偶然事件出現(xiàn)的次數(shù)，因此對(duì)某種偶然事件發(fā)生概率的判斷就依托于長期反復(fù)的觀察和大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)。結(jié)合隨機(jī)因素對(duì)研究對(duì)象的影響來看，高中階段數(shù)學(xué)課程中的概率模型就可以被分為兩類，一類是可以忽略隨機(jī)因素或隨機(jī)因素通常以平均值形式出現(xiàn)的確定性模型，一種是重點(diǎn)考慮隨機(jī)因素影響的隨機(jī)性模型[1]。由于統(tǒng)計(jì)和概率本身就具有一定的隨機(jī)性和可變性，因此教師在教學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，就需要通過建立概率模型的方式來幫助學(xué)生深入理解和掌握事件的聯(lián)系，避免在分析概率相關(guān)知識(shí)的過程中因?qū)﹄S機(jī)因素的處理不當(dāng)而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

（四）不等式模型

不等式是高中數(shù)學(xué)中常用于表示兩組數(shù)據(jù)大小關(guān)系的式子，通常用大于、小于或不等于符號(hào)來表示，而不管是哪種符號(hào)，兩邊解析式的公共定義域都被稱作是不等式的定義域，同時(shí)不等式既可以用于表達(dá)命題，也可以用于表示問題。高中階段常見的不等式模型就包含化分式不等式為整式不等式、化絕對(duì)值不等式為不含絕對(duì)值的不等式、化含二次根式的無理不等式為有理不等式組這三種類型，而無論是其中哪種不等式模型的建構(gòu)都能夠?qū)?fù)雜的不等式問題變得簡單化，不僅更方便學(xué)生結(jié)合最值法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、分段討論法、單調(diào)性法等多種方法來解不等式，也更能夠?yàn)樽罱K結(jié)果的準(zhǔn)確性提供保障。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用策略

數(shù)學(xué)是一門講求嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性的學(xué)科。高中數(shù)學(xué)課堂上對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)主要培養(yǎng)的就是學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)語言的能力，而數(shù)學(xué)語言就是數(shù)學(xué)思維的載體，是支撐學(xué)生在數(shù)學(xué)視域下動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流的重要依仗。結(jié)合高中學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和思維認(rèn)知發(fā)展來看，在針對(duì)高中生的課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師需要更多地關(guān)注學(xué)生主觀能動(dòng)性的發(fā)揮，就是要更多地利用學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的主動(dòng)探索和主動(dòng)實(shí)踐，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展，借數(shù)學(xué)建模思想來引導(dǎo)學(xué)生思索和拆解問題、轉(zhuǎn)化和整合知識(shí)，基于對(duì)生活問題的抽象化處理，幫助學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)思維體系和數(shù)學(xué)知識(shí)體系，讓學(xué)生可以形成靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題的意識(shí)與能力，從根本上達(dá)成提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率和效果的目的。

（一）借數(shù)學(xué)建模思想引導(dǎo)學(xué)生思索問題，鍛煉學(xué)生思維能力

高中是基礎(chǔ)教育向高等教育過渡的階段，學(xué)生本身就已經(jīng)基本完成了基礎(chǔ)知識(shí)的積累，也具備了獨(dú)立解析、探究、思考和解決問題的能力，思維能力的突破和成長是教師在課堂教學(xué)中需要重點(diǎn)追求的東西。對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)與開展教學(xué)活動(dòng)的過程中，就需要有意識(shí)地通過啟發(fā)式的教學(xué)方法來引導(dǎo)學(xué)生思索問題，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)建模思想在課堂中的應(yīng)用就是達(dá)成啟發(fā)、鍛煉學(xué)生思維目的的有效路徑之一，因而教師就需要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合感興趣的問題來展開數(shù)學(xué)的建模實(shí)踐[2]。

以人教A版高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章《平面向量及其應(yīng)用》中“正弦定理和余弦定理”相關(guān)知識(shí)的教學(xué)為例，教師在實(shí)際教學(xué)的過程中就可以先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境，假設(shè)學(xué)生只能通過一種測量工具在一定位置測得兩個(gè)角度的方式來測量一座山峰頂?shù)木嚯x，要求學(xué)生結(jié)合能夠測量出來的已知數(shù)據(jù)和正弦、余弦定理，通過建立正弦、余弦模型的方式來計(jì)算峰頂?shù)母叨取Ｔ谶@一過程中，學(xué)生需要先為已知的兩個(gè)角度及其對(duì)應(yīng)的邊長各定義一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，然后再將封頂?shù)母叨榷x為另一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，最后結(jié)合正弦定理和余弦定理來建立兩個(gè)相對(duì)性的方程式作為數(shù)學(xué)模型，并在對(duì)比正弦模型和余弦模型的過程中思考解決這一問題的有效方式。此外，教師還可以借助模擬建模軟件來模擬這一問題的求解過程，幫助學(xué)生更好地理解正弦定理與余弦定理、正弦模型與余弦模型的應(yīng)用方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維能力的鍛煉和提升。

（二）借數(shù)學(xué)建模思想引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化知識(shí)，鍛煉學(xué)生遷移能力

在將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)課堂，或在高中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的過程中，教師需要先從教材的角度出發(fā)展開對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的深度挖掘，再以數(shù)學(xué)概念和定理為載體落實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的全面滲透，最后從課堂實(shí)踐的角度出發(fā)完成對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)與鍛煉，借數(shù)學(xué)建模思想引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)的鞏固與轉(zhuǎn)化，從根本上提升學(xué)生遷移所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力[3]。而在這一過程中，學(xué)生就可以利用數(shù)學(xué)模型這一工具來開展各種各樣的實(shí)踐訓(xùn)練，最終通過課堂實(shí)踐來實(shí)現(xiàn)建模能力的形成與發(fā)展。

以人教A版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》中“不等關(guān)系與不等式”相關(guān)知識(shí)的教學(xué)為例，教師就可以結(jié)合生活中商品促銷2小于1加1的實(shí)際問題來為學(xué)生設(shè)置建模問題，要求學(xué)生先通過建立不等式模型的方式來將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再采用圖像法、試探法或代數(shù)法等不同的方法來進(jìn)行求解。在這一過程中，教師尤其需要注重學(xué)生創(chuàng)新思維和動(dòng)手能力的發(fā)展，鼓勵(lì)學(xué)生通過實(shí)際的計(jì)算和推動(dòng)來親手完成數(shù)學(xué)建模的步驟，以實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模能力的提升。

（三）借數(shù)學(xué)建模思想引導(dǎo)學(xué)生拆解問題，鍛煉學(xué)生探究能力

從本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的作用主要體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決上，而結(jié)合高中生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力來看，教師在將數(shù)學(xué)建模思想引入課堂的過程中，除了要注重突出學(xué)生的主體地位，還需要注重引導(dǎo)學(xué)生通過建模的方式，循序漸進(jìn)地完成對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的拆解。同時(shí)在此過程中幫助學(xué)生建立起關(guān)于抽象數(shù)學(xué)模型的深入認(rèn)知，即通過引入多媒體技術(shù)，提升模型思想的直觀性，為學(xué)生探究能力的提高，奠定更為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[4]。

以人教A版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》中“函數(shù)的應(yīng)用”相關(guān)知識(shí)的教學(xué)為例，教師在課堂上就可以結(jié)合PPT或微課等多媒體文件來展示相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生展開對(duì)具體函數(shù)問題的拆解與分析。從題干中的數(shù)據(jù)和應(yīng)用環(huán)境入手，拆解題干中的關(guān)鍵信息，并結(jié)合提取出的關(guān)鍵信息來分析和探究要建立哪種類型的函數(shù)模型，借此來幫助學(xué)生消除題目中冗余數(shù)據(jù)的影響，繪制出能夠準(zhǔn)確反映題目關(guān)鍵信息的圖像曲線，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)模型及相關(guān)數(shù)學(xué)概念理解的深化，也落實(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的提升。

（四）借數(shù)學(xué)建模思想引導(dǎo)學(xué)生整合知識(shí)，鍛煉學(xué)生應(yīng)用能力

只有穩(wěn)固好基礎(chǔ)知識(shí)這一根基，學(xué)生才有可能利用建模思維提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量。反之，學(xué)生在結(jié)合數(shù)學(xué)建模思考和解決問題的過程中，也能實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的整合與鞏固，為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)抓住基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)建模之間的關(guān)聯(lián)，通過建模來推動(dòng)學(xué)生的知識(shí)遷移和舉一反三，一方面以基礎(chǔ)知識(shí)為突破口，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，另一方面以現(xiàn)實(shí)生活為突破口，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)提升突破[5]。

例如，在教授“幾何”這一部分內(nèi)容時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過建立幾何模型的方式來串聯(lián)幾何知識(shí)，并借此來為學(xué)生對(duì)幾何基本概念和基礎(chǔ)應(yīng)用的理解提供支持與保障，讓學(xué)生能形成將幾何知識(shí)應(yīng)用到解決現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)和能力。甚至還可以讓學(xué)生組建項(xiàng)目組，在課后自選一個(gè)生活實(shí)例，設(shè)計(jì)問題，而后設(shè)計(jì)出解決這一實(shí)際問題的模型。這樣一個(gè)過程，將持續(xù)增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐探究力，他們將主動(dòng)思考，在建模中鍛煉應(yīng)用能力，推進(jìn)他們的全面發(fā)展。

結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的一部分內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模思想也是優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才成長過程中必須具備或形成的一種意識(shí)與能力，高中數(shù)學(xué)教師在課堂上對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用符合新時(shí)代高素質(zhì)人才培養(yǎng)的需要，能夠?yàn)橥苿?dòng)學(xué)生的成長和社會(huì)的發(fā)展提供助力。而就課堂上具體的教學(xué)實(shí)踐而言，教師需要以學(xué)生的實(shí)際情況和實(shí)際需要為依據(jù)，立足需求來滿足追求，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來，基于對(duì)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題的探索、思考和解決來建立相對(duì)應(yīng)的模型，以實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的簡化，為學(xué)生思考問題能力和解決問題能力的提升提供更大的助力。而在這一過程中，教師尤其需要注重突顯學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)效率，為學(xué)生完整數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

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