于榮娟

（內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學，內(nèi)蒙古　呼和浩特　010018）

行列式的計算

于榮娟

（內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學，內(nèi)蒙古呼和浩特010018）

行列式的計算是求解線性方程的基礎.教材上對于行列式的計算只是簡單的提了一部分，本文對行列式的計算方法進行歸納總結.

行列式；線性方程組；計算方法

線性代數(shù)是以求解線性方程組為中心的一門數(shù)學分支，而行列式的計算在求解線性方程組中占有很重要的地位.但行列式的計算方法很多，綜合性較強.本文根據(jù)相關資料，對行列式的計算方法歸納.

1　定義法

應用行列式的定義來計算其值的方法，稱為定義法.適用于0比較多的行列式.

證明若記，λi=ai，n-i+1，則依行列式定義

=（-1）τa1，na2，n-1…an，1=（-1）τλ1λ2…λn其中τ為排列n（n-1）…1的逆序數(shù)，故

2　按行按列展開法

解按照第一列展開

3　化三角形法

解

4　提取公因式法

若行列式滿足下列條件之一，則可應用此法：某行或某列元素完全相同；某兩行或某兩列對應元素作和或作差完全相等；行或列元素作和之后相等.滿足第一個條件的行列式可將相同元素提取出來，行列式此行都為1，通過消去變換將此行化為“1，0，…，0”型，于是應用按行（列）展開定理，使行列式降低一階.滿足條件第二個和第三個的行列式都可根據(jù)行列式的性質(zhì)轉化為滿足第一個的行列式，繼而使用提取公因式法.

5　利用范德蒙（Vandermonde）行列式法

解根據(jù)范德蒙行列式，可得

6　遞推法

利用遞推關系，建立同類型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關系——遞推關系式，利用遞推關系式求出原行列式的值.

解將Dn的第一列視為（a-c）+c，0+c，…，0+c，據(jù)行列式的性質(zhì)，得

由于b與c的對稱性，不難得到

聯(lián)立（1）和（2）解之，得Dn=（b-c）-1［b（a-c）n-c（a-b）n］

7　升階法（加邊法）

在計算行列式時，一般情況下先根據(jù)行列式的性質(zhì)將給定行列式簡化，再用展開定理使之降階，從而使計算步驟變得簡單.有時與一般方法恰恰相反，即需在原行列式的基礎上添加行和列使其升階構造一個容易計算的新行列式，然后求出原行列式的值.這種計算行列式的方法稱為升階法（有點時候也稱加邊法）.凡可利用升階法計算的行列式都具備特點是：除主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對應元素成比例.升階時，根據(jù)原行列式的特點作出適當?shù)倪x擇.

8　拆開法

此法的具體做法是，根據(jù)行列式的形式，將行列式的某一行或某一列的元素拆成兩數(shù)之和的形式，再利用行列式的性質(zhì)（性質(zhì)4）將行列式拆成兩個新行列式的和，使問題簡化便于計算.

9　利用拉普拉斯展開定理計算行列式

根據(jù)拉普拉斯展開定理可知：在行列式D中任取k（1≤k≤n）行（列），由著k行（列）元所組成的一切k階子式分別與它們的代數(shù)余子式的乘積之和，等于行列式D.

解按1，2行展開，則不為0的2階子式分別為

所以D=S14（-1）1+2+1+2M13+S35（-1）1+2+3+5M13=0

由上述可以看出，計算行列式有定義法、按行（列）展開、化三角法等9種方法，通過上述9道例題可以發(fā)現(xiàn)，選擇不同的方法計算，難易繁簡程度不一，所以要使計算過程簡單，必須選擇合適的方法，我們更需要掌握一定的解題技巧.本文，也只是總結了一部分行列式的計算，還有其他的計算方法和技巧需要我們繼續(xù)探討和歸納.

〔1〕張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，1997.

〔2〕北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編.高等代數(shù)（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

〔3〕徐仲，陸全，張凱院，等.高等代數(shù)（北大·第三版）導教·導學·導考［M］.西安：西北工業(yè)大學出版社，2003.

〔4〕張新功.行列式的計算方法探討［J］.重慶師范大學學報：自然科學版，2011，28（4）：88-92.

〔5〕李蕾.行列式的計算［J］.科技資訊，2014（29）：135-137.

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