張澤鋒，宋 強

(信陽職業(yè)技術(shù)學院 數(shù)學與計算機科學學院，河南 信陽 464000)

n階行列式算法研究

張澤鋒，宋 強

(信陽職業(yè)技術(shù)學院 數(shù)學與計算機科學學院，河南 信陽 464000)

行列式的計算方法有許多種，同一個行列式有不同的計算方法.為了較快地計算行列式，需要根據(jù)行列式的結(jié)構(gòu)特點選擇合適的方法.文章首先給出行列式的定義和性質(zhì)，然后結(jié)合實例論述了行列式的8種計算方法.

n階行列式；三角法；計算方法；范德蒙行列式

0 引言

隨著科學的發(fā)展，行列式被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.行列式的計算又是解決一些實際問題的關(guān)鍵.而n階行列式因為階數(shù)較高、構(gòu)造復雜，加大了計算難度.目前有許多計算n階行列式的方法，每一種方法都有其獨特之處，然而在實際的計算過程中，不同的方法往往適合于不同特征的n階行列式.因此，總結(jié)不同特點的n階行列式較為適用的計算方法顯得尤為重要.

1 行列式的定義

定義：n階行列式

等于所有取自不同行、不同列的n個元素的乘積a1p1a2p2…anpn的代數(shù)和[1]56.

2 行列式的性質(zhì)

利用行列式定義很難去計算高階行列式，下面研究行列式的性質(zhì)[2]60-67，用以簡化行列式的計算過程.

性質(zhì)1 把行列式的兩行或兩列交換, 改變行列式的正負號.

推論1 如果行列式D中有兩行或兩列元素相等, 則D=0.

性質(zhì)2 行列式D中一行的每個元素都乘以數(shù)k等于用k乘以行列式D.

推論2 如果行列式D中有兩行(列)的元素對應(yīng)成比例, 則D=0.

性質(zhì)3 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT.

性質(zhì)4 行列式任意一行的所有元素都乘以k后加到另一行的對應(yīng)元素上，則行列式的值不變.

性質(zhì)5 如果行列式中的某一行(列)所有元素都是2個數(shù)的和，則行列式具有分行(列)相加性.

3 求解n階行列式的方法

3.1 化三角形法

化三角形法是利用行列式性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式再計算的一種方法[3]40-50.

例1計算n階行列式

3.2 換元法

換元法利用到下面行列式的性質(zhì)：

設(shè)

例2計算n階行列式

3.3 利用范德蒙(Vandermonde)行列式法

根據(jù)行列式的特點，把所求行列式適當變形化成范德蒙行列式[4]60-78.

例3計算n階行列式

把上面第1個行列式的i行加到i+1行；第2個行列式的第i列提取ai-1(i=1,2...n)得：

3.4 拆項法

拆項法是利用行列式性質(zhì)5把原行列式化成2個行列式之和，從而簡化行列式的計算.

例4計算n階行列式

解：按行列式第1列把原行列式拆成2個行列式的和得：

當n≥3時，Dn=0，當n=2時，D2=(a2-a1)(b2-2b1)

3.5 加邊法

在Dn行列式中添上一行和一列得行列式Dn+1，建立Dn與Dn+1的聯(lián)系以求得結(jié)果.

例5計算n(n≥2)階行列式

其中x1x2…xn≠0．

3.6 遞(逆)推公式法

遞推法是由行列式的結(jié)構(gòu)特點，建立起Dn與Dn-1或Dn+1的遞推關(guān)系式，逐步推下去求出Dn的值.

例6計算

解：

Dn=(b-x)Dn-1+x(b-x)n-1=(b-x)2Dn-2+2x(b-x)n-1

=…=(b-x)n-2D2+(n-2)x(b-x)n-1=(b-x)n-1[b+(n-1)x].

3.7 提取公因式法

如果行列式滿足下列3個條件之一，則可以用提公因式法：1)“a,a,…,a型”行列式；2)“鄰和型”行列式；3)“全和型”行列式.

例7計算n階行列式

3.8 利用乘法定理法

乘法定理是將行列式分解為兩個簡單的行列式的乘積，從而解出原行列式的值.

例8計算n階行列式

因此，n>2時，Dn=0；當n=2時,D2=(x2-x1)(y2-y1)；當n=1時,D1=1+x1y1.

4 結(jié)語

行列式的計算方法還有很多，文中主要介紹了計算行列式的幾種常見方法.不同的題目可能會用到不同的計算方法，在計算時需要多觀察行列式的特點，根據(jù)行列式特點，靈活選取恰當?shù)姆椒ㄇ蠼庑辛惺?我們在計算行列式的時候，不應(yīng)該只滿足其中一種算法，而應(yīng)該多了解一些其他的算法.這樣我們對問題才有更深刻的理解，碰到了不熟悉的行列式也能從中找到解決問題的方法.

[1] 北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[2] 王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧[M].北京:高等教育出版社,2004.

[4] 楊桂元.線性代數(shù)[M].成都:電子科技大學出版社,2004

DiscussiononN-orderDeterminantAlgorithm

ZHANG Zefeng, SONG Qiang

(XinyangVocationalTechnicalCollege,Xinyang464000,China)

There are many kinds of method for calculating the determinant, while the same determinants have different calculation methods. For fast calculating the determinant, the appropriate method is chosen through the structure characteristics of determinant. This paper first gives the definition and properties of determinant, and then discusses the eight kinds of calculation methods of the determinant.

N-order determinant; trigonometry; computing method; Vandermonde determinant

O151.22

A

1671-8127(2017)05-0072-05

2017-01-18

張澤鋒(1987- ),男,河南信陽人,信陽職業(yè)技術(shù)學院講師,碩士,主要從事代數(shù)學研究。

[責任編輯梧桐雨]