關(guān)于范德蒙行列式計(jì)算類型的探討及其運(yùn)用

黃 威1，呂維東2

(1.咸寧市青龍山高中，湖北 咸寧 437005；2.咸寧高中，湖北 咸寧 437005)

范德蒙行列式是法國數(shù)學(xué)家范德蒙首次提出的，在行列式的計(jì)算中，范德蒙行列式由于其獨(dú)有的特質(zhì)被人們所吸引，也因?yàn)槠浜唵魏糜浀慕Y(jié)果受到了很多學(xué)者的關(guān)注，對(duì)范德蒙行列式的研究不僅僅只是在行列式計(jì)算中，在其它方面也有廣泛的地方。

定義：稱行列式

為n級(jí)范德蒙(Vandermonde)行列式。

一、范德蒙行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用

對(duì)于某一缺行或是缺列的范德蒙行列式可以通過加邊法將其轉(zhuǎn)化成范德蒙行列式再進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于某些行列式也可以通過分別提取各行或是各列的公因式從而轉(zhuǎn)化成范德蒙行列式。

例1 計(jì)算行列式

二、范德蒙行列式在多項(xiàng)式中的應(yīng)用

在多項(xiàng)式中，有很多問題是關(guān)于求根的，而范德蒙行列式運(yùn)用在多項(xiàng)式求根方面，是會(huì)帶有一定的便利的，因此熟練的掌握范德蒙行列式對(duì)于解決問題能起到關(guān)鍵作用。

例2 對(duì)于平面上的任意n個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(1≤i≤n,xi≠xj,i≠j),證明存在唯一的一個(gè)次數(shù)不超過n-1次多項(xiàng)式經(jīng)過該n個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(1≤i≤n)，即有f(xi)=yi。

證明：設(shè)f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1

又f(x)經(jīng)過該n個(gè)點(diǎn)，所以將這n個(gè)點(diǎn)代入得

(1)

將a0,a1,a2,…，an-1看作未知數(shù)，則其系數(shù)行列式為

由于xi≠xj,i≠j時(shí)，所以D≠0，從而方程組⑴有唯一解b0，b1，b2，…,bn-1,即存在唯一的次數(shù)不超過n-1次的多項(xiàng)式f(x)=b0+b1x+b2x2+…+bn-1xn-1經(jīng)過該n個(gè)點(diǎn)。

三、范德蒙行列式在向量空間中的應(yīng)用

向量空間中的有些問題需要通過范德蒙行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，才能比較方便的解決問題，下面就舉一范德蒙行列式在向量空間中的應(yīng)用的例子.

例3 設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，任給正整數(shù)m≥n，則在V中存在m個(gè)向量，其中任取n個(gè)向量都線性無關(guān)。

證明：因?yàn)閂是數(shù)域F上的n維向量空間，所以只需在Fn中考慮即可，即證明在V中任意n個(gè)向量線性無關(guān)。

?。?/p>

b1=(1,3,32,33,…，3n-1)

b2=(1,32,(32)2,(33)2,…，(3n-1)2)

b3=(1,33,(32)3,(33)3,…，(3n-1)3)

…………

bm=(1,3m,(32)m,(33)m,…，(3n-1)m)

則對(duì)于這m個(gè)向量中的任意n個(gè)向量：

bk1=(1,3k1,(32)k1,…，(3n-1)k1)

bk2=(1,3k2,(32)k2,…，(3n-1)k2)

…………

bkn=(1,3kn,(32)kn,…，(3n-1)kn)

其中1≤k1

若要證明這n個(gè)向量線性無關(guān)，則需證明對(duì)任意的數(shù)m1，m2，…，mn，當(dāng)m1bk1+m2bk2+m3bk3+…+mnbkn=0時(shí)，m1=m2=…=mn=0

從而可知這n個(gè)向量線性無關(guān)，得證。

四、范德蒙行列式在微積分中的應(yīng)用

在微積分中，某些問題如果引用范德蒙行列式及其結(jié)果能起到事半功倍的效果。

例4 設(shè)f(x)至少有n階導(dǎo)數(shù)，且對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)l有

其中f(0)(x)表示f(x)。

解：由泰勒公式可知

(2)

其中x

的線性方程組，其系數(shù)行列式為

由于D≠0，所以對(duì)于方程組⑵有唯一解，即f(1)(x),f(2)(x),…，f(n-1)(x)可由f(x+a)(a=1,2,…，n)與f(n)(ya)(a=1,2,…，n)線性表示。

又因?yàn)?/p>

對(duì)任意的x<ξ

所以得：

又因?yàn)椋?/p>

f(1)(x),f(2)(x),…，f(n-1)(x)可由f(x+a)(a=1,2,…，n)與f(n)(ya)(a=1,2,…，n)線性表示。

所以有：

因此通過對(duì)范德蒙行列式的運(yùn)用在保證能夠編碼的情況下還能提高它的安全性。這就是范德蒙行列式在非數(shù)學(xué)方面的充分運(yùn)用，它不僅能幫助人類有效解決問題，也能給人類帶來方便和利益。

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2015-06-05