唐 麗

(綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川綿陽 621000)

0 引言

行列式計(jì)算是線性代數(shù)中一個重要內(nèi)容，也是線性代數(shù)學(xué)習(xí)過程中一個難點(diǎn).特別是高階行列式的計(jì)算，就更是一個難上加難的事情.但就行列式的計(jì)算而言，無論是高階還是低階行列式，其計(jì)算的基本思想是“化零”和“降階”，即先根據(jù)行列式的性質(zhì)將行列式進(jìn)行恒等變換，使之出現(xiàn)較多的零元素，再利用上(下)三角行列式計(jì)算或用按行(列)展開定理實(shí)現(xiàn)降低行列式的階數(shù).在研究行列式計(jì)算的相關(guān)理論的時(shí)候，許多學(xué)者就行列式的計(jì)算進(jìn)行了探討：比如文獻(xiàn)[1-3]總結(jié)了計(jì)算行列式的常見方法與技巧：比如降階法、三角形法、加邊法，遞推與數(shù)學(xué)歸納法等計(jì)算行列式.文獻(xiàn)[4]則是探討了三對角線變形后的行列式的算法.文獻(xiàn)[5]探討了一類由Fibonacci數(shù)組成的特殊行列式的計(jì)算問題.而文獻(xiàn)[6]探討了第三類廣義Vandermonde行列式的計(jì)算結(jié)果的現(xiàn)實(shí)表達(dá)式.文獻(xiàn)[7]利用母函數(shù)導(dǎo)出具有遞推關(guān)系的行列式的計(jì)算公式.文獻(xiàn)[8]介紹了幾個行列式的基本方法與特殊方法.文獻(xiàn)[9]則是探討分塊矩陣的行列式.但很少有學(xué)者研究行列式的翻轉(zhuǎn)對行列式計(jì)算的影響.本文主要就行列式的翻轉(zhuǎn)探討了其計(jì)算.

1 行列式的翻轉(zhuǎn)

根據(jù)行列式的特點(diǎn)，某些情況下進(jìn)行行列式翻轉(zhuǎn)有利于解題.而翻轉(zhuǎn)，通常分為左右翻轉(zhuǎn)、上下翻轉(zhuǎn)，主對角線翻轉(zhuǎn)和關(guān)于副對角線翻轉(zhuǎn)等.每一種翻轉(zhuǎn)都會有所不同，但只要掌握它們的規(guī)律，相信對于行列式計(jì)算會帶來“柳暗花明又一村”的驚喜.

1.1 上下(左右)翻轉(zhuǎn)

定理1設(shè)n階行列式D=det(aij)，若D上下翻轉(zhuǎn)和左右翻轉(zhuǎn)后的行列式分別記為Duf和Dlf，即

證明：第1步：把Duf中的第n行依次與第n-1行，第n-2行進(jìn)行對換，…，直到第1行，共作了n-1次的相鄰行對換，得行列式D1，由行列式性質(zhì)得

第2步：把D1中的第n行依次與第n-1行，第n-2行進(jìn)行對換，…，直到第2行，即作了n-2次的相鄰兩行對換，得行列式D2，有

第3步：把D2中的第n行依次與第n-1,n-2行進(jìn)行對換，…，直到第3行，共進(jìn)行了n-3次的相鄰兩行對換，得到行列式記作D3，且Duf=(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-3D3

依次類推，第i步則把第i-1步的行列式Di-1的第n行依次對換到第i行，得行列式為Di，…，直到行列式Dn-2的第n行與第n-1行對換1次，得行列式Dn-1，且Dn-1=D，有

Duf=(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-3…(-1)2(-1)1Dn-1=(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-3…(-1)2(-1)1D

因此，從Duf到D一共進(jìn)行了

所以有

第1步：把n階行列Dif式第n列依次對換到第1列，得到的行列式記作D1′，其中

第2步：把D1′中的第n列依次對換到第2列，即作了n-2次相鄰列對換,得行列式D2′，Dlf=(-1)n-1(-1)n-2D2′；

第3步：把D2′中的第n列依次對換到第3列，共進(jìn)行了n-3次對換，得行列式記作Dlf=(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-3D3′；依次類推地進(jìn)行下去，…，直到行列式Dn-2′第n列與第n-1列對換1次，得行列式Dn-1′，且Dn-1′=D.因此，從Dlf到D一共進(jìn)行了

所以有

因此有

證畢

例1 計(jì)算行列式[10]

解：文獻(xiàn)[10]提示說利用范德蒙行列式的結(jié)果.但前提是要把這個行列式表示成范德蒙行列式的形式.因此，若在這之前知道上下(左右)翻轉(zhuǎn)的這樣一個結(jié)果，那么就可以直接對Dn+1進(jìn)行上下翻轉(zhuǎn)，

解法1：初看這個行列式，感覺是一道比較難的行列式計(jì)算題，盡管行列式中零比較多.但仔細(xì)觀察，可以對行列式進(jìn)行除第一列和第n列外的部分進(jìn)行左右翻轉(zhuǎn).因此利用注解1，也就是對n-2階行列式進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，就可以得到一個對角行列式.

根據(jù)行列式的特點(diǎn)，當(dāng)p1=1,p2=n-1,p3=n-2,…,pn-1=2,pn=n，D中不為零的項(xiàng)只有一項(xiàng)(-1)τ(1(n-1)(n-2)…32n)a11a2,n-1,a3,n-2…an-1,2ann，其中行標(biāo)12…n為標(biāo)準(zhǔn)排列，τ(1(n-1)(n-2)…32n)為排列1(n-1)(n-2)…32n的逆序數(shù)

綜上，通過翻轉(zhuǎn)法和定義法計(jì)算例2對比發(fā)現(xiàn)，某些時(shí)候在計(jì)算行列式時(shí)采取翻轉(zhuǎn)法會給行列式計(jì)算帶來意想不到的效果.當(dāng)然，除了上下(左右)翻轉(zhuǎn)外，還有下面即將介紹的關(guān)于主對(次)角線翻轉(zhuǎn)的問題.

1.2 主對角線和次對角線翻轉(zhuǎn)

定理2 設(shè)n階行列式D=det(aij)，D關(guān)于主對角線和次對角線翻轉(zhuǎn)后的行列式分別為

則Dmd=Dbd=D.

證明：首先證明Dmd=D.D關(guān)于主對角線進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，也就是把D中的第1行變成第1列，第2行變成第2列，依次類推的進(jìn)行下去，最后是第n行變成了第n列，最后得到Dmd.顯然，Dmd就是DT.根據(jù)行列式性質(zhì)，行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，所以Dmd=DT=D.

下面證明Dbd=D.

已知關(guān)于次對角線翻轉(zhuǎn)得到的行列式為Dbd.那么，下面從Dbd出發(fā)，來探討它與D的關(guān)系.Dbd經(jīng)過左右翻轉(zhuǎn)，再經(jīng)過上下翻轉(zhuǎn)，則

所以有Dbd=D因此，有Dmd=Dbd=D證畢

注意：在定理2中，行列式關(guān)于主對角線旋轉(zhuǎn)，實(shí)際上得到的是就是行列式的轉(zhuǎn)置.

解法1：對D進(jìn)行關(guān)于次對角線翻轉(zhuǎn)和關(guān)于左右翻轉(zhuǎn)而得到范德蒙行列式

注意:為了和例1進(jìn)行對比，這道題在關(guān)于次對角線翻轉(zhuǎn)之后進(jìn)行了左右翻轉(zhuǎn).實(shí)際上，這道題只需經(jīng)過關(guān)于次對角線翻轉(zhuǎn)就可以直接利用范德蒙行列式公式進(jìn)行計(jì)算.例3可以如下面來解答：

解法2：由定理2知

解法3：

后續(xù)解法見本題解法1.

解：書上的方法這里不講了.下面采取翻轉(zhuǎn)的方法來解這道題.這是一道下三角形行列式，可以采取左右翻轉(zhuǎn)，有

總結(jié)：對比書上的解法，很容易地通過翻轉(zhuǎn)方法求得行列式的計(jì)算結(jié)果.事實(shí)上，即使在一般的行列式，有時(shí)候利用行列式翻轉(zhuǎn)，也會讓計(jì)算變得簡單明了.比如下面例5.

解：看到這道題時(shí)，第一直覺是應(yīng)該分別把D1,D2計(jì)算出來，這樣D1,D2的關(guān)系也就自然出來了，但D1,D2的計(jì)算也是挺費(fèi)時(shí)的.因此想問：能不能在不計(jì)算行列式的前提下，就能把這兩個行列式的關(guān)系判斷出來呢？通過觀察可以看出，D2的第二行與第三行都有公因子，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可以先把D2中的公因子提到行列式的外面，有

這樣處理后的行列式D因?yàn)闆]有分?jǐn)?shù)計(jì)算起來要簡單些，但這里實(shí)際不用直接算出行列式.注意觀察：D中的元素和D1中元素都是由±1,±2,±3,4,-5所構(gòu)成的.因此考慮翻轉(zhuǎn)，根據(jù)定理1和定理2，有

這樣，有D1=D=D2.答案選A.

這道題所涉及到4階行列式，若用行列式定義計(jì)算也是可以的，只是有些麻煩的；當(dāng)然也可以直接把行列式化成上三角或下三角行列式進(jìn)行計(jì)算.只是，若巧妙地采取行列式性質(zhì)和翻轉(zhuǎn)的相關(guān)定理，會讓這道題變得簡單且有趣，計(jì)算量也會非常的小，給人一種“柳岸花明又一村”“遠(yuǎn)近高低各不同”的美感.

2 結(jié)論

本文研究了行列式的四種翻轉(zhuǎn)——上下翻轉(zhuǎn)，左右翻轉(zhuǎn)，主對角線翻轉(zhuǎn)和關(guān)于副對角線翻轉(zhuǎn)，最終以定理的形式呈現(xiàn)出翻轉(zhuǎn)的結(jié)果.通過例題，本文總結(jié)了翻轉(zhuǎn)對于行列式的計(jì)算所帶來的不同效果.