劉艷花

（呼和浩特民族學(xué)院　數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古　呼和浩特　010051）

時標(biāo)上動態(tài)方程的化簡

劉艷花

（呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古呼和浩特010051）

本文主要利用時標(biāo)理論討論了時標(biāo)T上一類特殊方程組的化簡問題，并舉例說明其方便之處，得到相應(yīng)的推論.

時標(biāo)；△-導(dǎo)數(shù)；動態(tài)方程組；化簡

1　引言

在時標(biāo)T上定義兩個算子σ，ρ：T→T

且補(bǔ)充定義inf?=supT，sup?=infT.

T中的點(diǎn)t分別稱為右疏的，右稠的，左疏的，左稠的，如果σ（t）＞t，σ（t）=t，ρ（t）＜t，ρ（t）=t.

如果T中不存在左疏的最大值點(diǎn)，則用Tk表示T.

定義函數(shù)μ：T→［0，+∞），μ（t）=σ（t）-t

令f是時標(biāo)T上的一個函數(shù)，稱f在t∈Tk處是Δ—可導(dǎo)的，如果存在一個α，使得對任意的ε＞0，存在t的一個鄰域N，使得

此時α記為fΔ（t）.若f在每一個點(diǎn)t∈Tk處Δ—可導(dǎo)，則稱f在T上Δ—可導(dǎo)，且fΔ是Tk上的一個新函數(shù).因此，如果f在r∈Tk處是Δ—可導(dǎo)的，則

由上，若f在t∈Tk處Δ—可導(dǎo)，則有

在應(yīng)用（2）式時，無需分別討論μ（t）=0和μ（t）＞0的情形，該式符合這兩種情形.

如果f，g是Δ—可導(dǎo)的，則

定理1可導(dǎo)（Δ—可導(dǎo)）函數(shù)是連續(xù)的.

稱時標(biāo)T上的函數(shù)f是rd-連續(xù)的，如果f在每一個右稠點(diǎn)連續(xù)且在每一個左稠點(diǎn)的左極限存在.

稱函數(shù)p：T→R是退化的，如果對所有的t∈T，1+μ（t）p（t）≠0.

考慮初值問題

定理2如果p（t）是rd-連續(xù)的，且是退化的，則（3）有唯一解.

稱（3）的唯一解為指數(shù)函數(shù)，記為ep（·，t0）

指數(shù)函數(shù)ep（t，s）的計算公式為

是一個變換.

最后，定理2可寫成矩陣形式.

令P是T上的n×n函數(shù)矩陣且rd-連續(xù)，即P的每一個元素是T上的rd-連續(xù)函數(shù).稱P是退化的，如果對所有的t∈T，I+μ（t）P（t）是可逆的，這里I是n×n單位矩陣.

考慮初值問題

定理3如果P（t）是rd-連續(xù)的，且是退化的，則（5）有唯一解.

這個解稱為矩陣指數(shù)，記為ep（·，t0）.若P（t）是常數(shù)矩陣A，則eA（·，t0）可計算出［3］.

2　主要結(jié)果

引理設(shè)y是時標(biāo)T上的函數(shù)，則

其中k是大于等于2的整數(shù)，yσ=y（σ（t）.

證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.k=2時，（y2）△=（y·y）△=y△y+ yσy△=y△（y+yσ），等式成立.假設(shè)k=n-1時，等式也成立，即

下面證明k=n時也成立.

即對k=n時等式也成立.由數(shù)學(xué)歸納法，引理成立.

那么x2△=y2△=λ2y2

因此，由上兩式得

不妨令α取方程α△=p（t）α+a的滿足初值條件α（t0）=α0的解α1（t），即α=α1

定理得證.

那么（6）滿足初值條件y（t0）=y0的解是

這樣我們可由方程組（6）較容易的得到方程組（7）的初值問題的解.

〔1〕HilgerS.AnalysisonMeasureChainsaUnified Approach to Continuous and Discrete Calculus.Results Math.1990，18：18-56.

〔2〕AgarwalR，BohnerM，O’ReganD，PetersonA. DynamicEquationsonTimeScalesaSurvey.J. Computational and Applied Mathematic.2002，141：1-26.

〔3〕劉愛蓮，朱思銘.時標(biāo)上矩陣指數(shù)函數(shù)的計算［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，31（6）：1056-1067.

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A

1673-260X（2016）04-0006-03

2015-11-12

內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（NJZY14210）