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        時標(biāo)上動態(tài)方程的化簡

        2016-10-10 08:51:32劉艷花
        關(guān)鍵詞:時標(biāo)呼和浩特指數(shù)函數(shù)

        劉艷花

        (呼和浩特民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

        時標(biāo)上動態(tài)方程的化簡

        劉艷花

        (呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)系,內(nèi)蒙古呼和浩特010051)

        本文主要利用時標(biāo)理論討論了時標(biāo)T上一類特殊方程組的化簡問題,并舉例說明其方便之處,得到相應(yīng)的推論.

        時標(biāo);△-導(dǎo)數(shù);動態(tài)方程組;化簡

        1 引言

        在時標(biāo)T上定義兩個算子σ,ρ:T→T

        且補(bǔ)充定義inf?=supT,sup?=infT.

        T中的點(diǎn)t分別稱為右疏的,右稠的,左疏的,左稠的,如果σ(t)>t,σ(t)=t,ρ(t)<t,ρ(t)=t.

        如果T中不存在左疏的最大值點(diǎn),則用Tk表示T.

        定義函數(shù)μ:T→[0,+∞),μ(t)=σ(t)-t

        令f是時標(biāo)T上的一個函數(shù),稱f在t∈Tk處是Δ—可導(dǎo)的,如果存在一個α,使得對任意的ε>0,存在t的一個鄰域N,使得

        此時α記為fΔ(t).若f在每一個點(diǎn)t∈Tk處Δ—可導(dǎo),則稱f在T上Δ—可導(dǎo),且fΔ是Tk上的一個新函數(shù).因此,如果f在r∈Tk處是Δ—可導(dǎo)的,則

        由上,若f在t∈Tk處Δ—可導(dǎo),則有

        在應(yīng)用(2)式時,無需分別討論μ(t)=0和μ(t)>0的情形,該式符合這兩種情形.

        如果f,g是Δ—可導(dǎo)的,則

        定理1可導(dǎo)(Δ—可導(dǎo))函數(shù)是連續(xù)的.

        稱時標(biāo)T上的函數(shù)f是rd-連續(xù)的,如果f在每一個右稠點(diǎn)連續(xù)且在每一個左稠點(diǎn)的左極限存在.

        稱函數(shù)p:T→R是退化的,如果對所有的t∈T,1+μ(t)p(t)≠0.

        考慮初值問題

        定理2如果p(t)是rd-連續(xù)的,且是退化的,則(3)有唯一解.

        稱(3)的唯一解為指數(shù)函數(shù),記為ep(·,t0)

        指數(shù)函數(shù)ep(t,s)的計算公式為

        是一個變換.

        最后,定理2可寫成矩陣形式.

        令P是T上的n×n函數(shù)矩陣且rd-連續(xù),即P的每一個元素是T上的rd-連續(xù)函數(shù).稱P是退化的,如果對所有的t∈T,I+μ(t)P(t)是可逆的,這里I是n×n單位矩陣.

        考慮初值問題

        定理3如果P(t)是rd-連續(xù)的,且是退化的,則(5)有唯一解.

        這個解稱為矩陣指數(shù),記為ep(·,t0).若P(t)是常數(shù)矩陣A,則eA(·,t0)可計算出[3].

        2 主要結(jié)果

        引理設(shè)y是時標(biāo)T上的函數(shù),則

        其中k是大于等于2的整數(shù),yσ=y(σ(t).

        證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.k=2時,(y2)△=(y·y)△=y△y+ yσy△=y△(y+yσ),等式成立.假設(shè)k=n-1時,等式也成立,即

        下面證明k=n時也成立.

        即對k=n時等式也成立.由數(shù)學(xué)歸納法,引理成立.

        那么x2△=y2△=λ2y2

        因此,由上兩式得

        不妨令α取方程α△=p(t)α+a的滿足初值條件α(t0)=α0的解α1(t),即α=α1

        定理得證.

        那么(6)滿足初值條件y(t0)=y0的解是

        這樣我們可由方程組(6)較容易的得到方程組(7)的初值問題的解.

        〔1〕HilgerS.AnalysisonMeasureChainsaUnified Approach to Continuous and Discrete Calculus.Results Math.1990,18:18-56.

        〔2〕AgarwalR,BohnerM,O’ReganD,PetersonA. DynamicEquationsonTimeScalesaSurvey.J. Computational and Applied Mathematic.2002,141:1-26.

        〔3〕劉愛蓮,朱思銘.時標(biāo)上矩陣指數(shù)函數(shù)的計算[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2008,31(6):1056-1067.

        O175

        A

        1673-260X(2016)04-0006-03

        2015-11-12

        內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)??茖W(xué)研究項(xiàng)目(NJZY14210)

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