摘 要：本文以2022年深圳市高三調(diào)研考試解析幾何試題為例，談一談該試題的解法探究以及結(jié)論推廣.

關(guān)鍵詞：一題多解;結(jié)論推廣;圓錐曲線

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0061-04

1 試題呈現(xiàn)

題目 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），且點(diǎn)A到C的漸近線的距離為2217.

（1）求雙曲線C的方程;

（2）過點(diǎn)P（4，0）作斜率不為0的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線x=4分別交直線AM，AN于點(diǎn)E，F(xiàn). 試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo);反之，請(qǐng)說明理由.

2 解法探究

2.1 第（1）問解析

所以以EF為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（1，0）和（7，0）.

3 結(jié)論延伸

細(xì)品解題過程，筆者感覺第（2）問的解答耐人尋味，似乎隱藏一個(gè)定點(diǎn)的結(jié)論，于是筆者思考，對(duì)于一般形式的雙曲線，上述問題該如何表示？本例中的定點(diǎn)P、以EF為直徑的圓所過的定點(diǎn)、以及a，b之間是否存在著內(nèi)在聯(lián)系？如果背景的圓錐曲線換成橢圓、拋物線，是否又有類似的結(jié)論呢？基于上述思考，筆者得到如下結(jié)論：

結(jié)論1 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)P（λ，0）（λ>a）的直線l1與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN分別與直線l2：x=λ交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則以EF為直徑的圓過定點(diǎn)T（λ±baλ2-a2，0）.

結(jié)論2 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)P（λ，0）（-a<λ

證明 橢圓結(jié)論的證明過程與雙曲線類似，這里不再給出.

結(jié)論3 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)為O，過點(diǎn)P（λ，0）（λ>0）的直線l1與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN分別與直線l2：x=λ交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則以EF為直徑的圓過定點(diǎn)T（λ±2pλ，0）.

結(jié)論4 已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（λ，0）（λ>0且λ≠p2）的直線l1與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，直線FM，F(xiàn)N分別與直線l2：x=λ交于E，G兩點(diǎn)，則當(dāng)0<λp2時(shí)，以EG為直徑的圓過定點(diǎn)T（λ±（λ-p2）2pλ，0）.

圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題，可謂一花一世界，一樹一菩提，在解題后，若能夠靜心思考，潛心研究，必能有所收獲.

參考文獻(xiàn)：

[1] 唐洵.揭秘直線與圓錐曲線4大熱點(diǎn)問題[J].高中數(shù)理化，2014（21）：9-11.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：唐洵（1988-），男，福建省福州人，中學(xué)一級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.