摘 要：圓錐曲線中的定點問題一直是高考中的熱點、難點問題.考生因不理解它的美——撲朔迷離的變化中存在的不變性，以致無法解決解析幾何問題.本文主要以2022年福建省省檢試題——圓錐曲線中動圓過定點問題為例，對解題教學中如何有效解決問題進行詳細闡述.

關(guān)鍵詞：定點;幾何條件;代數(shù)化;數(shù)學思想方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0039-03

正因為圓錐曲線千變幻化，才能成就它的美，那美在哪里呢？美在撲朔迷離的變化中存在不變的性質(zhì)，如定點、定值問題.

1 題目呈現(xiàn)

試題 （2022年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)檢試題）已知橢圓C的中心為O，離心率為22.圓O在C的內(nèi)部，半徑為63.P，Q分別為C和圓O上的動點，且P，Q兩點的最小距離為1-63.

（1）建立適當?shù)淖鴺讼担驝的方程;

（2）A，B是C上不同的兩點，且直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個交點在圓O上.求證：以AB為直徑的圓過定點.

2 題源探析

本題與2009年全國山東高考理科卷第22題如出一轍.

設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0過M2，2，N6，1兩點，O為坐標原點.

（1）求橢圓E的標準方程;

（2）是否存在圓心為原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍，若不存在，請說明理由.

兩道試題的第（2）問有異曲同工之妙，都是與定圓相切的直線與圓錐曲線相交，涉及垂直條件的運用與轉(zhuǎn)化，考查了特殊與一般思想的運用.不同之處在于：高考題是已知OA⊥OB，考查能否找到一個圓心在原點的圓與直線AB相切，而省檢試題在于試題的結(jié)論變成條件，其條件變?yōu)槲覀円C明的結(jié)論.高考題的表征形式較為清晰明了，而省檢試題描述了點、線與圓的形態(tài)與變化過程，給學生的數(shù)學表征造成了一定的障礙.

但在解題中會發(fā)現(xiàn)曲線的幾個要素在變化，雖有圓的半徑、直線方程中的斜率、截距等眾多的因素干擾，但解決問題的思路是一樣的，均考查了數(shù)學表征的能力和運用特殊與一般思想解決問題的素養(yǎng).

3 解法剖析

第（1）問不難，如圖1建立平面直角坐標系，易得C的方程為x22+y2=1.

難在第（2）問，首先需對給定條件作幾何推演，找出幾何關(guān)系，再將幾何條件代數(shù)化予以求解.

角度2 因為直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個交點在圓O上，所以直線AB與圓O相切.利用特殊情況，當直線AB垂直于x軸時，不妨設(shè)直線為x=63，則得到A63，63，B63，-63.又因為以AB為直徑的圓過定點，則所對應(yīng)的向量數(shù)量積為0.所以猜測點O即為所求的點.驗證斜率不存在的情況同法1.

角度3 當無法挖掘出以AB為直徑的圓過定點O，由于對稱性可知，經(jīng)過的定點一定在x軸上，設(shè)定點為N（t，0），驗證NA·NB=（x1-t）（x2-t）+y1y2=0時，t=0.則以AB為直徑的圓過點O.

當直線AB垂直于x軸，驗證以AB為直徑的圓過點O.

4 思想賞析

以上六個角度將解析幾何研究的基本方法和基本思想體現(xiàn)得淋漓盡致，其基本思路：幾何條件→代數(shù)形式→代數(shù)結(jié)果→幾何條件，即：充分挖掘幾何條件，轉(zhuǎn)化代數(shù)形式，通過代數(shù)運算得到代數(shù)結(jié)果，代數(shù)結(jié)果用幾何條件表達.最主要就是要理解問題的實質(zhì)，從而建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.

角度1到角度4立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為定點與AB的數(shù)量積為0，利用特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、方程思想解決問題.

角度5到角度6立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為將AB為直徑的圓方程寫出來，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想得到過定點.

上述哪個角度比較好呢？顯然，“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為“定點與AB的數(shù)量積為0”運算更為簡便.若通過對角度1到角度4對比，發(fā)現(xiàn)：（1）如若學生利用數(shù)形結(jié)合思想可以充分挖掘幾何條件：AB為直徑的圓過定點O;（2）學生利用特殊到一般思想引領(lǐng)，則大大降低求解運算.

正因如此，破解解析幾何問題的基本思想是用代數(shù)手段來研究幾何問題，這里很自然需要我們充分挖掘幾何條件，將其代數(shù)化，同樣通過代數(shù)運算得到的代數(shù)形式幾何化，進而建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，同時我們要樹立運用思想引領(lǐng)解題意識，運算就會變得簡單，解題就會揮灑自如.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2020年修訂版）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 林新建.我的教學主張——自然數(shù)學[M]. 廈門：廈門大學出版社，2020.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：林琳琳（1988.11-），女，福建省福清人，碩士，中學二級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度立項課題“基于學科融合的高中數(shù)學教學設(shè)計案例研究”（項目編號：FJJKXB20—694）;福清市教育科學研究 “十四五”規(guī)劃2021年度專項課題“‘四元五環(huán)教學在高中數(shù)學概念教學的實踐研究”（項目編號：FQ2021ZX006）.