徐凱鈺　王楨宇

摘 要：本文通過求解一道模擬試題，梳理函數(shù)零點(diǎn)問題常見的處理步驟，并設(shè)計(jì)了變式訓(xùn)練，分別探討找點(diǎn)方法、隱形零點(diǎn)問題、極值點(diǎn)偏移問題.

關(guān)鍵詞：找點(diǎn);隱形零點(diǎn);極值點(diǎn)偏移

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0068-03

1 題目呈現(xiàn)與解析

例題 （2022年朝陽區(qū)高三第一學(xué)期期末試卷20題第（3）問）

設(shè)g（x）=aex-x2，當(dāng)a∈（1，e）時(shí)，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

本題可以求導(dǎo)判斷g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而通過零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，參考答案通過等價(jià)變換，轉(zhuǎn)化為第（2）問的結(jié)論，不再贅述，但測試反饋發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們大多沒有注意到兩問之間的聯(lián)系，而是直接求導(dǎo)，致使運(yùn)算難度增大，鑒于其更具有通法意義，本文采用該方法.

題目不難，解法也眾多，不再贅述，試題解罷，筆者思考一個(gè)問題，為什么原題給出了a∈（1，e）這個(gè)條件，若擴(kuò)大這個(gè)范圍會對函數(shù)零點(diǎn)的求解帶來什么樣的影響呢？命題人在此為了回避哪些難點(diǎn)呢？為了尋找答案，故做如下探索.

2 試題變式

2.1 變式改編，找點(diǎn)升級

2.1.2 指對互換找點(diǎn)

如函數(shù)含有l(wèi)nx，取點(diǎn)ea可得lnea=a，函數(shù)含有ex，則取點(diǎn)lna可得elna=a，因此指對互換找點(diǎn)可以化簡表達(dá)式.比如本題含有aex項(xiàng)，想到對數(shù)形式，并且為了化簡參數(shù)a，選取ln1a較為簡潔，由于a>1，所以ln1a<0滿足取值范圍要求，代入嘗試可得，

“極值點(diǎn)偏移”問題近年來在高考題、模擬題中頻繁出現(xiàn)，2016年全國Ⅰ卷和2021年新課標(biāo)Ⅰ卷都是以其作為壓軸題考查.這類問題包含了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，

常見解法是基于對稱變換的思想，構(gòu)造新函數(shù)討論單調(diào)性求解.特別的，上文有這樣一句話“t（2）=0，若能證明x∈（2，4）時(shí)t′（x）<0，則此題得證.”這個(gè)思維方式是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因?yàn)榇藭r(shí)t′（x）<0是t（x）<0的充分非必要條件，答題過程應(yīng)該逆序書寫，即求出t′（x）<0，說明函數(shù)單調(diào)遞減，進(jìn)而結(jié)合端點(diǎn)值說明t（x）<0.

參考文獻(xiàn)：

[1]高存明.普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊（B版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：徐凱鈺，男，在校學(xué)生.

王楨宇，男，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.