曾凡炳

摘要：在中學(xué)新課程的背景下，老師們對(duì)于學(xué)生的培養(yǎng)也不僅僅局限于會(huì)做或者能做上，而更多的是在思維方式上，培養(yǎng)學(xué)生們的實(shí)踐能力、創(chuàng)新精神，多角度考慮問題的能力成為了初中階段各科教學(xué)活動(dòng)的最終目標(biāo)。正如現(xiàn)在挺火的一句話：創(chuàng)新，是數(shù)學(xué)課堂永恒的主題。而多解問題愈加成為考察的重點(diǎn)，在多解問題中，我們不僅能夠考察學(xué)生的細(xì)心仔細(xì)的程度，更加可以考察學(xué)生的邏輯思維能力。多解問題中我們需要從各個(gè)角度中看待這個(gè)問題，考察的點(diǎn)特別多，從而獲得現(xiàn)在老師們的青睞。如果能夠以點(diǎn)概面，在多解問題中對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的指導(dǎo)，并加以科學(xué)思維角度的分析，這樣將會(huì)更加有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的把握。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)多解問題；一題多解；教學(xué)研究；新思路新模式；發(fā)散思維

一、常見的多解問題圓的多解問題

已知點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最大距離是6cm，最小距離是2cm，則圓的半徑r=？

解析：分析題意可知，點(diǎn)P不在圓上，因此，應(yīng)對(duì)點(diǎn)P與圓O位置進(jìn)行分類 。分點(diǎn)P在圓O內(nèi)和圓O外這兩種情況進(jìn)行討論。做出如圖所示，點(diǎn)P在圓內(nèi)和點(diǎn)P在圓外。

解：當(dāng)點(diǎn)P在圓0內(nèi)時(shí)，如圖1所示。

P A = 6 c m，P B = 2 c m，則A B=6+2=8（cm），所以r=4cm

當(dāng)點(diǎn)P在圓0外時(shí)，如圖2所示，PA=2cm ， PB=6cm，則A B=6-2=4（cm），所以r=2cm

綜上所述，r=4cm或2cm

總結(jié)來說，確定了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，從本質(zhì)上來說就是確定點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系。一般的多解問題中并不會(huì)明確點(diǎn)與圓的關(guān)系，所以應(yīng)該考慮點(diǎn)在圓上、圓內(nèi)、圓外這三種可能。而在有些題目中，需要使用數(shù)形結(jié)合的手法進(jìn)行討論或者圓的角度問題，這些都是出題的的重點(diǎn)。但是萬變不離其中，只要記住重要的定理命理，多解問題也就變得非常簡(jiǎn)單了。

三角形的多解問題；若等腰三角形腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則底角為分析題中等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，因而其腰上的高可能在三角形內(nèi)也可能在三角形外，同學(xué)們受習(xí)慣思維的影響，往往只考慮前一種情況，所以答案只有75°而缺少15°。

已知 ABC內(nèi)接于⊙ O，∠BOC=100°，則∠ BAC=

分析：題中圓心O與A點(diǎn)可在弦BC的同側(cè)，也可在弦BC的兩側(cè)，許多同學(xué)往往忽略后一種情形，答案中只有50°而少130°。

總結(jié)來說，解答三角形的多解問題時(shí)，同學(xué)們往往會(huì)產(chǎn)生思維定勢(shì)或者審題不清，導(dǎo)致漏解和錯(cuò)解。三角形的邊長(zhǎng)和角度問題是解答的重點(diǎn)，而這類題往往會(huì)把三角形和圓結(jié)合起來，把兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來，多解中包含著錯(cuò)解，這樣在無形之中就更增加了難度，成為熱點(diǎn)問題。

方程的多解問題

例4、y2+（k+ 1）y+ 9是完全平方式，求k.

分析 完全平方式有兩種形式，同學(xué)們往往只注意k+ 1= 6，忽略k+ 1=- 6情形

例5、如果x2= 25，則x= ？

分析 本題實(shí)質(zhì)是求25的平方根，應(yīng)為x=± 5.但有些同學(xué)往往忽略x=- 5，說明對(duì)平方根概念理解得不夠深刻.

例6、有兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，兩個(gè)數(shù)字之積是483，求出這兩個(gè)奇數(shù)。

分析 這個(gè)題的多解解法的核心就是兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相差為2，相乘為483，把握住方程的等量關(guān)系，變得也只是未知數(shù)的形式而已。當(dāng)我們把方程的等量關(guān)系都找出來的時(shí)候，就可以減少漏解了。

解法一：通過對(duì)問題的分析得出，較小的奇數(shù)為x，則與這個(gè)較小奇數(shù)想連續(xù)的另一個(gè)奇數(shù)大小是x+2，則得出x（x+2）=483，可以得出兩個(gè)奇數(shù)的值為21，23或者-23，-21（很多時(shí)候同學(xué)們會(huì)忽略這種情況）

解法二：設(shè)兩個(gè)奇數(shù)的大小分別為2x+1，2x-1，同樣可以得出結(jié)果；還可以較大的奇數(shù)為x，較小的奇數(shù)為483/x，方程為-483/x=2.

二、一題多解模式下的課堂學(xué)習(xí)

1、教師與學(xué)生的“雙向選擇”。使用多解模式，教師們?cè)谥v課過程中展現(xiàn)的解題思路、解題方法會(huì)使學(xué)生們影響深刻。教師的示范性作用，通過例題的講解，讓學(xué)生們體會(huì)到一題多解的趣味性，進(jìn)而讓他們變換自己的解題思路，更好的解決問題。對(duì)于學(xué)生來說，一題多解代表著一種合作能力，同學(xué)們對(duì)于同一道題總是有著自己不同的想法，各自獨(dú)特的解題思維才是多解題型最好的答案，而這就需要學(xué)生們進(jìn)行合作，提升自己的發(fā)散性思維。

其實(shí)，在多解問題這個(gè)平臺(tái)上，教師通過一個(gè)帶頭、領(lǐng)導(dǎo)的作用，把多解的思想傳遞給學(xué)生，引導(dǎo)他們進(jìn)入正軌，讓學(xué)生合作探討一個(gè)題型，教師同樣也獲得了成長(zhǎng)。師生雙向選擇，逐步展現(xiàn)了多解問題的魅力，可以說，多解問題是學(xué)生在理科上的引路人。

2、發(fā)散式思維的重點(diǎn)培養(yǎng)。傳統(tǒng)教學(xué)中，老師們只是要求學(xué)生“怎么做”，而不會(huì)告訴學(xué)生“為什么這么做”，死板，約束學(xué)生的思想。新課標(biāo)中，我們不只是告訴學(xué)生這個(gè)題怎么做，而且要告訴他怎么來的，這就是新課標(biāo)，新思維。多解問題是一個(gè)創(chuàng)新，在中學(xué)課堂上，一題多解式的問題架構(gòu)對(duì)于學(xué)生的成長(zhǎng)起到的作用無疑是巨大的。

三、結(jié)語

初中數(shù)學(xué)中有各種各樣的多解問題，解答這類多解問題，就要求學(xué)生必須有縝密細(xì)膩的思維，扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和豐富的想象能力，所謂“見多識(shí)廣”，學(xué)生應(yīng)該在掌握了理論知識(shí)的同時(shí)，廣見題型，理論與實(shí)踐相結(jié)合，這樣才能有更好的發(fā)展。同時(shí)，汲取發(fā)生漏解錯(cuò)解的教訓(xùn)，提高準(zhǔn)確率，

一題多解式教學(xué)，體現(xiàn)的不只是一個(gè)題型，這也是新課標(biāo)改革的進(jìn)步性發(fā)展，是里程碑式的教育建設(shè)，這個(gè)需要教師和學(xué)生共同 ，積極探索學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奧妙，在探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的多樣性和趣味性。當(dāng)然，不論教育模式，教育方法如何變化，教育的最終目的就是提升學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)全面素質(zhì)，這點(diǎn)毋庸置疑。

參考文獻(xiàn)

[1] 錢小強(qiáng). 例析初中數(shù)學(xué)的最值問題[J]. 新課程學(xué)習(xí)（上），2014，02：84-85.

[2] 林鄭娜. 初中數(shù)學(xué)解題中《圓》中易錯(cuò)問題例析[J]. 中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2014，14：74+76.

[3] 馮竹林. 初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的調(diào)查與研究[D].云南師范大學(xué)，2009.

[4] 李亞章. 例析初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的高斯函數(shù)問題[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012，05：30-32.