羅義銘++湯強

摘 要： 2016年全國將有26個省（市）使用全國統(tǒng)一命題試卷，而且圓錐曲線是每年高考中的一個必考內(nèi)容，那么全國統(tǒng)一命題試卷在圓錐曲線的考查有什么樣的特點？針對這些特點，如何備考呢？本文主要通過對六年的全國卷高考試題圓錐曲線部分進行分析研究，以期對復習備考有些許指導意義.

關(guān)鍵詞： 圓錐曲線 全國卷 備考

圓錐曲線是高中數(shù)學課程中解析幾何部分的核心內(nèi)容，是學生進一步學習幾何的重要基礎(chǔ).由于它具有豐富的思想性（其包含了大量的數(shù)學思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，函數(shù)與方程思想、函數(shù)與不等式思想、整體思想、待定系數(shù)法、坐標法等）、較強的綜合性（它能很好地與其他知識（如函數(shù)、數(shù)列、向量、不等式、三角等）相結(jié)合）、計算的復雜性（運算量大）、題目的靈活性（形式多變，題源背景豐富）等特點，它能很好地考查學生的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)、運算求解能力、分析問題和解決問題的能力和情感意志等數(shù)學素養(yǎng)，因而成為數(shù)學高考中的一個必考熱點[1].

隨著教育公平的不斷推進，2016年全國將有26個省（市）使用全國統(tǒng)一命題試卷，那么在這樣的背景下，對于圓錐曲線這一必考內(nèi)容，應如何備考以迎接即將到來的高考呢？在此對近六年的全國新課標卷的圓錐曲線考題進行初步分析，以期對備考有些許指導意義.

1.考題解讀

1.1考題所涉內(nèi)容分析。

圓錐曲線的考查主要以橢圓、雙曲線、拋物線及其中二者的綜合為對象，考查形式主要有選擇題、填空題和解答題三種形式，其中選擇題與填空題、解答題在表1中分別以“小”、“大”代替.自2010年出現(xiàn)全國新課標卷以來，全國統(tǒng)一命題的新課標卷共18套，文、理各9套，其中2013、2014、2015年這三年每年有全國新課標卷Ⅰ、Ⅱ兩套，2010、2011、2012年每年僅有1套全國新課標卷，其在圓錐曲線的考查對象上的數(shù)據(jù)如表1.

表1 2010—2015年全國新課標卷（理科）圓錐曲線考查內(nèi)容分布情況

從表1和表2我們可以看出，在近六年的新課標全國卷中，從總體上看，無論是文科還是理科，對圓錐曲線的考查都是以橢圓為主要考查對象，在選擇、填空、解答三種題型中均有分布，基本上以“兩小一大”的方式考查，其中解答題共考查了8次，分值達94分之多，選擇和填空共考查了8次，分值占40分，累計考查分數(shù)為134分；拋物線以解答題的形式考查了3次，分值為36分，以選擇和填空的形式考查了8次，分值為40分，累計考查分數(shù)為76分；對于雙曲線則全部以選擇或填空題的方式進行考查，共12次，分值為60分.這無疑說明了全國新課標卷對雙曲線、拋物線的要求大大降低了，同時又相應提升了橢圓的地位，這對我們的復習備考有著重要的指向作用[2].

1.2考題所涉具體知識點分析。

由于圓錐曲線的綜合性較強，對它的考查往往與其他知識相結(jié)合進行，從總體上來看，其考查的知識點主要圓錐曲線的定義、圓錐曲線的標準方程、離心率、準線、漸近線、弦長公式、切線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、點到直線的距離、兩直線的位置關(guān)系、直線的傾斜角、斜率與方程、兩直線平行或垂直、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積、平面向量等.在近六年的全國新課標卷中，對各部分知識的考查情況下如表2：

表3 2010-2015年全國新課標卷圓錐曲線知識點考查分布情況

注：由于高考屬于選拔性考試，因此其具有綜合性，對各知識點的考查往往以綜合性為主，在圓錐曲線這一內(nèi)容的考查上很少出現(xiàn)某單一知識點的考查，往往以知識點的綜合、穿插的方式進行考查，因而表中所統(tǒng)計的知識點考查次數(shù)，會比實際考題數(shù)目多.其中未填數(shù)字的空格表示該考點在對應年份未考查到.

從表3中，我們可以看出，在近六年的新課標全國卷中，對圓錐曲線知識點上的考查，主要以圓錐曲線的離心率、圓錐曲線的方程、圓錐曲線與直線的位置關(guān)系為主，同時兼顧圓錐曲線的定義、準線、焦點等其他性質(zhì).這無疑對我們的備考方向有著重要的指示作用.

1.3考題意圖分析。

在數(shù)學思想、數(shù)學能力層面，近六年的全國新課標試題中，主要對數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想；數(shù)學運算能力、推理論證能力、創(chuàng)新能力等進行了著重考查；在思維與能力的考查上，充分體現(xiàn)了“多考一些思維，少考一些運算”的命題理念，因而近六年全國新課標卷圓錐曲線大多數(shù)的解答題的運算量大大降低，但更突出了對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學思想的考查，甚至在一些題目中，這些數(shù)學思想的運用與否直接決定了相應題目的解答速度與準確程度的高低.

例如：

（2015年新課標全國卷Ⅰ第20題）在直角坐標系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點.

（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

此題的第一個問雖然比較簡單，計算量小，但它考查了學生的函數(shù)與方程的思想，通過導數(shù)方程求解.第二問是一個探索性問題，具有很強的開放性，其解法多樣，但眾多解法均離不開數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及分類討論思想的應用；而且在本題中轉(zhuǎn)化與化歸思想的作用顯得尤為突出.首先在解答過程中必須把“∠OPM=∠OPN”這一條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達式，其次要選擇合適的轉(zhuǎn)化方式（如轉(zhuǎn)化為：“k+k=0”）才能減少計算量，使問題得到簡化.

這樣的例子不勝枚舉，在此就不一一列舉了.從這些例子可以看出，全國卷在圓錐曲線這一內(nèi)容的考查上，更側(cè)重數(shù)學思想方法的考查，在數(shù)學思想方法的考查中考查學生的數(shù)學能力，相對以前的試題，在計算量上有所降低，在思維量上有所上升，即“重思維，少計算”.

2.備考建議

通過前面對近六年全國卷圓錐曲線部分考題的粗略分析，從題型上看，可發(fā)現(xiàn)每年全國新課標卷對圓錐曲線部分的考查基本上都以一道選擇、一道填空題、一道解答題，即“兩小一大”的形式來考查，分值基本穩(wěn)定在22分左右，個別年份有變動；從內(nèi)容上看，解答題主要以考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的方程為主，選擇、填空則以考查圓錐曲線的性質(zhì)（離心率、焦點、準線等）為主，其中圓錐曲線的離心率的考查又為之最，而且在各考查對象中，以橢圓為主，雙曲線、拋物線次之，而且有拋物線、雙曲線的考查主要以它們所具有的特殊性質(zhì)為主；從考查意圖上看，更重在對數(shù)學思維的考查，對計算能力的要求有所降低，題目更靈活.因此在備考中要注意以下幾點：

2.1抓住重點，主次分明，有的放矢。

在復習備考中，要以橢圓為主，以拋物線、雙曲線為輔；以橢圓的性質(zhì)類比學習雙曲線、拋物線的性質(zhì)；通過類比和對比加深對橢圓、拋物線、雙曲線的理解，還要著重強調(diào)拋物線、雙曲線所具有的不同于橢圓的特殊性質(zhì)及三者之間的聯(lián)系.

2.2重視基礎(chǔ)知識、基本性質(zhì)的教學，培養(yǎng)基本技能。

在前面的分析中，我們可以看出，圓錐曲線的第一、第二定義考查高達6次之多，求圓錐曲線的標準方程共考查了12次，對圓錐曲線的基本性質(zhì)考查更加突出，例如單單是離心率就考查了15次，漸近線、準線分別考查了5次、7次；這些都是圓錐曲線中最基礎(chǔ)的知識要點，卻在高考中反復出現(xiàn)，這無疑啟發(fā)我們在復習備考中要重視基礎(chǔ)，加強基礎(chǔ)知識、基本性質(zhì)的教學與訓練.其次，由于圓錐曲線解答題的綜合性較強，對思維能力要求較高，往往一下子看出思路，因此必須要求學生熟練掌握這些概念、性質(zhì)及其之間的相互聯(lián)系與區(qū)別，以為解題奠定堅實的基礎(chǔ)、為思路的拓展做好準備.

2.3分類解析已考試題，總結(jié)方法規(guī)律、滲透解題思想。

教師要對近幾年已考試題進行深入分析，將考查題型、知識點及解題思想等方面的共性加以總結(jié)，尤其要把不同題型的解題方式方法等策略性知識顯性化，使學生能夠在對題目的整體把握的基礎(chǔ)上迅速理清解題思路、明確解題步驟，從而提高思維能力.如：定值定點問題、取值范圍問題、最值問題、存在性問題等各自均有不同的處理方式、不同的解答思維，老師要對近幾年高考題進行分類解析，總結(jié)其中具有規(guī)律性的解題思路.其次，要對各考題中思想方法進行滲透，如：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目中要利用對直線斜率的討論、存在性問題中對一些特殊情況的討論題目等滲透分類討論的數(shù)學思想，在圓錐曲線的幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化中滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，在圓錐曲線計算推理中滲透整體思想、設(shè)而不求的數(shù)學方法等.

2.4注重知識綜合，強調(diào)交叉滲透。

圓錐曲線這部分內(nèi)容的考查中常常以綜合性考法為主，很少出現(xiàn)對單一知識點的考查，因而在教學中不僅要使學生掌握圓錐曲線的單個知識點，更要讓學生理解各知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別及運用這些知識解題的思維過程.還要以圓錐曲線知識為主線聯(lián)系其他相關(guān)知識（如：向量、函數(shù)、不等式、直線方程、平面幾何等），使學生所學知識形成一個相互聯(lián)系的有機整體，從而促進思維能力的發(fā)展.相反，如果過于強調(diào)各知識點之間的相對獨立性，就會導致相關(guān)知識間的相互割裂，學生對知識的理解僅限于單一的知識點上或者限于對知識結(jié)論的記憶上，不能做到舉一反三、融會貫通，當然，這樣就達不到新課標的要求.

參考文獻：

[1]王草野.圓錐曲線學習中存在的問題及對策研究[D].江蘇：蘇州大學，2014.

[2]徐燕.高中生對圓錐曲線的理解[D].上海：華東師范大學，2009.