柯玉梅

摘要：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)抽象！課堂教學(xué)要提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，首先要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)抽象。本文中筆者就課堂教學(xué)中如何抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行初步探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)本質(zhì)；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是正在修訂的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)重要特點(diǎn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是什么？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，其重要性不言而喻。

一、數(shù)學(xué)概念抽象

李邦河院士：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其實(shí)是概念的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)概念是高度概括的、抽象的。對(duì)于高中數(shù)學(xué)的概念，學(xué)生最頭疼的恐怕就是函數(shù)的概念了。那么，這個(gè)函數(shù)概念的本質(zhì)如何在教學(xué)中得到充分地體現(xiàn)并抽象化呢？筆者認(rèn)為理解高中函數(shù)定義需要教師做好鋪墊，我們?cè)诤瘮?shù)概念的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)幾個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)繼續(xù)閱讀概念，回答問(wèn)題，更好地理解函數(shù)概念。

1：判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)？

此題目的：幫助理解“對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù) 和它對(duì)應(yīng)”，即A中的每一個(gè)元素在B中都要有“象”

2：下列對(duì)應(yīng)是否為A到B的函數(shù)：

此題目的：進(jìn)一步鞏固“對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù) 和它對(duì)應(yīng)”，把符號(hào)抽象化。從而歸納出：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)要從以下幾個(gè)方面去判斷：

（1）A，B必須是非空數(shù)集；

（2）A中任一元素在B中必須有元素和它對(duì)應(yīng)；

（3）A中任一元素在B中必須有惟一元素和它對(duì)應(yīng).

通過(guò)這樣的兩個(gè)練習(xí)，讓學(xué)生從圖形和符號(hào)兩方面更好地理解函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)---對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從形象到抽象的轉(zhuǎn)化。設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)活動(dòng)，是因?yàn)橹挥袑W(xué)生通過(guò)自己的獨(dú)立思考，以及和他人的討論與反思，才能形成抽象核心素養(yǎng)。所以，抽象核心素養(yǎng)本質(zhì)上是學(xué)生自己“悟”出來(lái)的，是學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行有效的思考、討論并反思，逐步養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣。

在此基礎(chǔ)上，我們可以回答高一大部分學(xué)生初學(xué)函數(shù)時(shí)的困惑了。學(xué)生的困惑是：函數(shù)概念在初中中已經(jīng)學(xué)過(guò)，高中為什么還要學(xué)習(xí)？是不是函數(shù)有兩個(gè)概念？這兩個(gè)概念是有區(qū)別的？

事實(shí)上，對(duì)于函數(shù)的概念，初中是用變量來(lái)定義的。在變量關(guān)系的函數(shù)定義中，我們可以感知物理背景：一個(gè)量變化另一個(gè)量也隨之變化。對(duì)初中生而言，這樣的定義是合適的、直觀的。但是，這樣的定義的函數(shù)判斷不了這樣的問(wèn)題： 是否是同一個(gè)函數(shù)？高中的函數(shù)概念，對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)了更高層次的抽象。通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義，抓住函數(shù)概念的本質(zhì)——對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域，而不受其表達(dá)式外在形式的影響，可以更深層次理解函數(shù)概念，感悟數(shù)學(xué)抽象，培養(yǎng)抽象核心素養(yǎng)。

二、數(shù)學(xué)符號(hào)抽象

筆者認(rèn)為經(jīng)歷數(shù)學(xué)的符號(hào)階段是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要過(guò)程，這種抽象符號(hào)的形成過(guò)程，仍然需要我們對(duì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)有深刻的理解。如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵理解不夠，忽視了數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)，只看數(shù)學(xué)符號(hào)的外形，對(duì)公式死記硬背，本末倒置，效果將很不好。以等差等比數(shù)列為例。

在等差等比數(shù)列定義中 表示某數(shù)列第n項(xiàng)，是數(shù)列第n項(xiàng)的一個(gè)符號(hào)表示。這里經(jīng)常需要把 看成一個(gè)整體符號(hào)，體現(xiàn)整體代換的思想。需要注意的是等差等比數(shù)列的本質(zhì)仍然是每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差或比值是一個(gè)常數(shù)。如：

已知 ， ；求數(shù)列的通項(xiàng)

此題中，顯然數(shù)列 不是等差也不是等比，但是如果我們稍微變形，會(huì)發(fā)現(xiàn)由 得 ，即 ，根據(jù)定義，數(shù)列{ }是以1為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列.這里，學(xué)生把 看成一個(gè)整體符號(hào)，問(wèn)題迎刃而解。

所以，在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生理解簡(jiǎn)單的等差等比數(shù)列的知識(shí)技能的同時(shí)，進(jìn)行這種整體符號(hào)代換的思維碰撞，有助于深刻理解知識(shí)本質(zhì)，感悟知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，在此基礎(chǔ)上促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨說(shuō)：“符號(hào)的巧妙和符號(hào)的藝術(shù)是人們絕妙的助手”。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表述數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓它更好地為我們研究數(shù)學(xué)服務(wù)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要能力。正確認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)在表述數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)思維中的功能，有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)。

三、數(shù)學(xué)模型抽象

數(shù)學(xué)模型是將具體屬性抽象出來(lái)構(gòu)成一種特定的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。構(gòu)造具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)踐中遇到的問(wèn)題，為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供精確的數(shù)據(jù)和可靠的指導(dǎo)。

需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成并不是孤立的，在教學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，它是與其他核心素養(yǎng)一同發(fā)展的。數(shù)學(xué)教學(xué)中，抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)合適情景、提出合適的問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是教師進(jìn)行每一節(jié)課教學(xué)中應(yīng)關(guān)注的重要目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]董毅主編《數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化》，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2012年9月.

[2]《廈門(mén)中學(xué)數(shù)學(xué)》廈門(mén)市教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)編，2017年12月.

[3]《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2018上旬1-2.