焦鳳龍

摘 要： 新課程的核心理念是 “以人為本”、“以學(xué)生的發(fā)展為本”，新課程目標(biāo)除了要授予學(xué)生基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、數(shù)學(xué)邏輯思維能力等外，還要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識、探究精神，自主地對問題進(jìn)行探討和研究.隨著教育體制的改革，高考對學(xué)生的考查日益能力化，原有的課堂教學(xué)模式已不能滿足當(dāng)前的教育形勢.新課程理念下的課堂教學(xué)更應(yīng)該轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念和教學(xué)方式，“面向全體學(xué)生”，“提高每個學(xué)生的數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng)”，“倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)，力圖促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革”.數(shù)學(xué)新教材倡導(dǎo)學(xué)生主動探索、自主學(xué)習(xí)、合作討論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過程.數(shù)學(xué)教學(xué)不再是教師向?qū)W生傳授知識的過程，而是鼓勵學(xué)生觀察、操作、引導(dǎo)自主探究、獨(dú)立再學(xué)習(xí)，建立一種自主、合作、孕育創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式.

關(guān)鍵詞： 新課改 數(shù)學(xué)教學(xué) 問題設(shè)計(jì)

2010年9月，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（A版）在我地區(qū)首次使用，筆者深入研究新課程教材內(nèi)容及新教法是在2011年9月，較新課程實(shí)驗(yàn)地區(qū)整整遲6年左右的時間.在實(shí)驗(yàn)地區(qū)推行新課程教材時，在教育一線的筆者深感責(zé)任的重大和緊迫感，課余時間相繼閱讀并學(xué)習(xí)新課改的目的，新教材的編排及教法，筆者直接并深入地接觸新教材時不那么陌生和盲目.

筆者在設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)選修2-1第二章（圓錐曲線與方程）2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第2課時）”的導(dǎo)學(xué)案時，設(shè)計(jì)了如下一個問題：

問題一①：已知圓O：x+y=r（r>0），在圓O上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且垂直于x軸（垂足為D）的動弦交圓O于兩點(diǎn)P、Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，

（1）動弦PQ的四等分點(diǎn)M的軌跡是什么？

（2）在該問題中，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

筆者在該問題下預(yù)設(shè)了10分鐘的時間，并讓學(xué)生分組討論，然后讓組內(nèi)組長總結(jié)發(fā)表并在黑板上展示自己的成果，展示成果如下：

圖1

甲組：解：（1）如圖1所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則

x=x，y=2y.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，

所以x+4y=r（r>0），即+（r>0）.

所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，且長半軸為r，短半軸為的橢圓.

（2）發(fā)現(xiàn)：過圓上任一點(diǎn)且與對稱軸垂線段中點(diǎn)的軌跡是一個橢圓.

乙組. （1）同甲組.

（2）發(fā)現(xiàn)：過圓上任一點(diǎn)且與對稱軸垂直的有向線段PD的定比分點(diǎn)的軌跡是一個橢圓.

此時的課堂，學(xué)生的這個發(fā)現(xiàn)讓筆者眼前一亮，筆者給予學(xué)生充分的肯定及鼓勵表揚(yáng)后，追問道：“你能否把你們的這個發(fā)現(xiàn)更詳盡地展示給同學(xué)們？”筆者話音剛落，有一位學(xué)生踴躍地站起來并在黑板上展示了自己的成果（同學(xué)們給予該同學(xué)熱烈的掌聲，課堂氣氛比較活躍），展示如下：

如圖2所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），有向線段PD定比分點(diǎn)的M的坐標(biāo)為（x，y），定比為λ（λ≠-1），則有

圖2

x=x，y=（1+λ）y.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，

所以x+（1+λ）y=r（r>0且λ≠-1），

即+=1（r>0且λ≠-1）.

當(dāng)r>，即λ>0或λ>-2時，有向線段PD定比分點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，且長半軸為r，短半軸為的橢圓，此時橢圓內(nèi)切于圓O，切點(diǎn)分別為（-r，0），（r，0）；當(dāng)r<，即-2<λ<0（λ≠-1）時，有向線段PD定比分點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上，且長半軸為，短半軸為r的橢圓，此時橢圓外切于圓O，切點(diǎn)分別為（-r，0），（r，0）；當(dāng)r=，即λ=0或λ=-2時，有向線段PD定比分點(diǎn)M的軌跡是圓O本身.

此時，看到學(xué)生在黑板上的板演過程，筆者情不自禁地也為該學(xué)生鼓了掌，同學(xué)們再次響起了熱烈的掌聲，同學(xué)們的情緒顯得非常高漲.筆者順著學(xué)生高漲的激情繼續(xù)問道：“同學(xué)們是否還有其他的發(fā)現(xiàn)？” 同學(xué)們細(xì)微地查看著筆者的眼神，筆者靜候同學(xué)們的再一次風(fēng)波.一分鐘、兩分鐘，時間慢慢地流逝，筆者覺著學(xué)生沒有了發(fā)現(xiàn)（但時刻關(guān)注著的丁組喋喋不休），剛要進(jìn)入導(dǎo)學(xué)案的下一個問題.此時，丁組的一位學(xué)生站起來說話了.老師，該問題能否改變一下已知條件求動點(diǎn)的軌跡？筆者肯定地說“能”，但心想著是不是改動了就偏離了本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)和主干，矛盾的心理正在心中徘徊.此時此刻，該學(xué)生卻毫不保留地將自己的問題及成果一一展示出來，筆者整理如下：

問題二：已知圓O：x+y=r（r>0），圓O與x軸的交點(diǎn)分別記為A、A，在圓O上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且垂直于x軸（垂足為D）的動弦交圓O于兩點(diǎn)P、Q.過點(diǎn)A、P和A、Q的直線交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，交點(diǎn)M的軌跡方程是什么？

解：如圖3所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-y），點(diǎn)A、A的坐標(biāo)分別為（-r，0），（r，0）.

圖3

因?yàn)辄c(diǎn)A、P、M共線，點(diǎn)Q、A、M共線，則有

=（x，x≠-r）①，=（x，x≠±r）②.

由①×②得=（x，x≠r）③，

又因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在圓O上，所以x+y=r，即x-r=-y，將其代入③式化簡整理得-=1（y≠0）.

筆者根據(jù)學(xué)生表述以板書的形式展示給學(xué)生后，繼續(xù)追問：

1. 上述方程為什么y≠0，若y=0時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為什么，它滿足方程嗎？

2. 方程的軌跡是什么？

剛平靜了的課堂又起軒然大波，學(xué)生興趣頓時高漲，這時，45分鐘的課堂已臨近尾聲，筆者將提出的問題留給學(xué)生在課外探討，學(xué)生帶著問題走進(jìn)了課外的探討學(xué)習(xí)中.

讓筆者更欣慰的是學(xué)生將課外探討的成果匯集后交了一份非常滿意的答卷.

答卷一：特別地，當(dāng)y=0時，x=±r，仍是方程-=1的解，故點(diǎn)M（±r，0）在方程-=1的曲線上，當(dāng)y=r時，x=0，此時，l∥l，直線l與直線l無交點(diǎn)，故此時無軌跡.

答卷二：方程-=1的軌跡是§2.3介紹的“雙曲線”.

繼本節(jié)的討論，筆者在設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)選修2-1第二章（圓錐曲線與方程）2.3.3雙曲線簡單幾何性質(zhì)（第3課時）”的導(dǎo)學(xué)案時，又設(shè)計(jì)了如下問題：

問題三：在“2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第2課時）”課后討論答卷一中，同學(xué)們提出了“當(dāng)y=r時，x=0，此時，l∥l，直線l與直線l無交點(diǎn)，故此時無軌跡”，那么此時直線l與直線l的方程是什么？方程-=1表示的軌跡——雙曲線的漸近線方程是什么？其與直線l、l的位置關(guān)系是怎樣的？筆者結(jié)合學(xué)生的討論結(jié)果給予學(xué)生如下反饋：

問題四：已知圓O：x+y=r（r>0），圓O與x軸的交點(diǎn)分別記為A、A，在圓O上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且垂直于x軸（垂足為D）的動弦交圓O于兩點(diǎn)P、Q.過點(diǎn)A、P和A、Q的直線交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，交點(diǎn)M的軌跡是什么？

圖4

解：如圖4所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-y），點(diǎn)A、A的坐標(biāo)分別為（-r，0）、（r，0）.

ⅰ.當(dāng)動弦PQ為圓O的直徑時，l∥l，直線l與直線l無交點(diǎn)，故此時無軌跡.

ⅱ.當(dāng)動弦PQ不是圓O的直徑時，因?yàn)辄c(diǎn)A、P、M共線，點(diǎn)Q、A、M共線，則有

=（x，x≠-r且x≠0） ①，=（x，x≠r且x≠0） ②.

由①×②得=（x，x≠±r且x≠0） ③，

又因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在圓O上，所以x+y=r，即x-r=-y，將其代入③式化簡整理得-（y≠0）.

特別地，當(dāng)y=0時，x=±r，仍是方程-=1的解，故點(diǎn)M（±r，0）在方程-=1的曲線上.點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線，且漸近線方程為y=±x，它與動弦PQ為圓O的直徑時的連線l、l都是平行的，故此，當(dāng)動弦PQ為圓O的直徑時，點(diǎn)M自然無軌跡.

上述問題中反映了“圓與橢圓和雙曲線即若即離的關(guān)系”，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一種“內(nèi)在美和對稱美”.

問題五：通過上述問題的探討，你能找到橢圓與雙曲線的一種“情侶”關(guān)系嗎？（查找相關(guān)的資料，有條件的學(xué)生可上網(wǎng)查找.）

答卷三：“情侶線”之一.

如圖5甲，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：+=1（a>b>0）的動弦PQ和x軸垂直，A、A是橢圓與x軸的兩個交點(diǎn)（稱為橢圓的頂點(diǎn)），則直線AP與直線AQ的交點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C：-=1（a>0，b>0）；反之，如圖5乙，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C：+=1（a>b>0）的動弦PQ和x軸垂直，A、A是雙曲線與x軸的兩個交點(diǎn)（稱為雙曲線的頂點(diǎn)），則直線AP與直線AQ的交點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：+=1（a>b>0）.

甲 乙

圖5

答卷四：“情侶線”之二.

如圖6甲，F(xiàn)、F是橢圓C的焦點(diǎn)，P是橢圓C的任一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)向∠FPF的鄰補(bǔ)角的角平分線作垂線，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，橢圓C長半軸長為半徑的圓；F、F是雙曲線C的焦點(diǎn)，P是雙曲線C的任一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)向∠FPF的角平分線作垂線，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，雙曲線C實(shí)半軸長為半徑的圓.

甲 乙

圖6

筆者看到學(xué)生有這樣的探討成果心中暗自高興，學(xué)生雖不能在即時課堂知道上述方程的軌跡（雙曲線），但這為雙曲線的教學(xué)設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案（“情侶線”——橢圓與雙曲線）埋下了伏筆，更體現(xiàn)了新課程的理念，將課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生做課堂的主人.課堂問題的藝術(shù)設(shè)計(jì)是教師面臨的一個重大問題，它既有緊迫感又有責(zé)任感.國家的發(fā)展與富強(qiáng)要靠科技，“科技興國”是偉大領(lǐng)導(dǎo)人鄧小平提出的，而科技是要教育支撐的.藝術(shù)的課堂問題設(shè)計(jì)，正確地引導(dǎo)學(xué)生探索知識是激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效手段，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要途徑，培養(yǎng)新一代人才是引領(lǐng)科技發(fā)展的重要基礎(chǔ).只有開發(fā)并挖掘?qū)W生的內(nèi)在潛能，才能培育出新一代優(yōu)秀的人才.

在教育一線的筆者看到了新課改的需要性、重要性和責(zé)任性，更希望一線的教育工作者認(rèn)真研究新教材、新教法，逐步并認(rèn)真貫穿新課程的理念，展望新課改的成果.

注釋：

①普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版，數(shù)學(xué)選修2-1，第二章 圓錐曲線與方程，2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，例2變式）

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版.數(shù)學(xué)選修2-1.