二面角
- 談?wù)?span id="mkkky00" class="hl">二面角的三種求法
林菊芳二面角問(wèn)題的常見(jiàn)命題形式有：（1）求二面角的大小或范圍；（2）證明兩個(gè)平面互相垂直；（3）根據(jù)二面角的大小求參數(shù)的取值范圍.這類問(wèn)題主要考查同學(xué)們的空間想象能力和運(yùn)算能力.那么，解答這類問(wèn)題有哪些方法呢？下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行歸納總結(jié).一、直接法直接法是指直接從題目的條件出發(fā)，通過(guò)合理的運(yùn)算和嚴(yán)密的推理，得出正確的結(jié)果.我們知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，關(guān)鍵是求其平面角的大小.在求二面角時(shí)，需先仔細(xì)審題，明確題目中點(diǎn)、線、面的位置
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2023年6期2023-08-29
- 例談求解二面角大小的幾種方法
)中學(xué)數(shù)學(xué)中的二面角是立體幾何的基礎(chǔ)概念,值得學(xué)生思考重視,對(duì)于學(xué)生而言,只有在平時(shí)學(xué)習(xí)中多多積累求解二面角的方法,才能在問(wèn)題探索中不斷提高解題能力,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文對(duì)求解二面角的方法進(jìn)行歸納和總結(jié),以供讀者借鑒和參考.1 定義法在定義法中,二面角的大小是用二面角的平面角來(lái)衡量的,就是在平面α和平面β的交線l上找一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)在平面α和平面β內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線.如圖1,射線OA與射線OB所夾的角∠AOB就是所求的二面角.在定義法中,二面角的大小
數(shù)理化解題研究 2023年19期2023-07-30
- 一個(gè)二面角公式的應(yīng)用與推廣
立體幾何中求解二面角問(wèn)題是高考中比較重要的考查內(nèi)容,主要考察學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力,備受命題者的青睞.因此,掌握求二面角的一些特殊方法或公式是快速解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵.本文是從一個(gè)公式出發(fā),通過(guò)例題解析的方式探究二面角問(wèn)題的解法,以期對(duì)讀者有所幫助.圖1cosγ=cosα·cosβ②.下面以一道例題來(lái)說(shuō)明公式的應(yīng)用.例1 (2022年湖北聯(lián)考題節(jié)選)如圖2,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E在CC1上,且CE=2EC1=2．試求
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年6期2023-06-01
- 求解二面角問(wèn)題的兩個(gè)“妙招”
蘇亞亞二面角問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中，此類問(wèn)題不僅考查同學(xué)們對(duì)立體幾何中二面角知識(shí)的掌握程度，還考查了運(yùn)算與直觀想象能力.求解二面角問(wèn)題主要有兩個(gè)“妙招”.一、巧用定義二面角的大小通常用二面角的平面角的大小來(lái)表示.運(yùn)用定義法求解二面角問(wèn)題，需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，并過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條直線，則這兩條直線所夾的角即為二面角的平面角.最后借助幾何知識(shí)，如線面垂直的性質(zhì)定理、正余弦定理、勾股定理等求得平面角的大小，
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2023年1期2023-03-23
- 立體幾何中二面角問(wèn)題的解法例析
的方法，是求解二面角問(wèn)題最有效的方法之一.利用向量法求解，避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩，有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟：①根據(jù)題設(shè)找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系，這是正確求解的關(guān)鍵之一；②將待求的兩個(gè)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)及每個(gè)面的法向量表示出來(lái)；③計(jì)算向量的坐標(biāo)，并利用向量的夾角公式計(jì)算，最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個(gè)法向量的夾角之間的關(guān)系，結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角[1].圖1例1直四棱柱ABCD-A1B1C1
中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期2022-12-04
- 怎樣求解二面角問(wèn)題
趙萍二面角問(wèn)題在立體幾何中比較常見(jiàn)，常見(jiàn)的命題形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，證明兩個(gè)平面互相垂直等.此類問(wèn)題的難度一般較大，需綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)、平面幾何知識(shí)、解三角形知識(shí)、三角函數(shù)知識(shí)，才能順利求得問(wèn)題的答案.本文結(jié)合實(shí)例，重點(diǎn)探討一下求解二面角問(wèn)題的幾種常用方法.一、定義法二面角是由從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小來(lái)表示，因此在求二面角的大小時(shí)，通常要用到二面角的平面角的定義：過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)在兩
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2022年9期2022-11-27
- 立體幾何中二面角問(wèn)題的解法例析
的方法，是求解二面角問(wèn)題最有效的方法之一.利用向量法求解，避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩，有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟：①根據(jù)題設(shè)找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系，這是正確求解的關(guān)鍵之一；②將待求的兩個(gè)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)及每個(gè)面的法向量表示出來(lái)；③計(jì)算向量的坐標(biāo)，并利用向量的夾角公式計(jì)算，最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個(gè)法向量的夾角之間的關(guān)系，結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角[1].圖1例1直四棱柱ABCD-A1B1C1
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年21期2022-11-22
- 精解二面角
）中學(xué)數(shù)學(xué)中的二面角是立體幾何的基礎(chǔ)概念。求解二面角的大小在數(shù)學(xué)解題中具有基礎(chǔ)的、重要的意義。在傳統(tǒng)的建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角大小的過(guò)程中，由于選取的是平面的法向量，而這個(gè)法向量方向的選取是隨意的（常常無(wú)法“精確”），直接導(dǎo)致精解二面角的大小困難。本文試著從二面角原始的定義出發(fā)，探討精解二面角的大小的過(guò)程與方法，并給出具體求解一個(gè)二面角大小的實(shí)例。一、二面角與求角（一）二面角設(shè)平面α和平面β相交于直線l，稱α-l-β為二面角（如圖所示）。它由2個(gè)半平面
科學(xué)咨詢 2022年6期2022-04-21
- 解答二面角問(wèn)題的兩種路徑
組成的圖形叫做二面角.以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.一般地，二面角的大小可用其平面角的大小來(lái)表示.因此，解答二面角問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到二面角的平面角，求得該平面角的大小.下面介紹兩種求解二面角問(wèn)題的路徑.一、運(yùn)用向量法有些問(wèn)題中二面角的平面角不易找到或求得，此時(shí)，我們可根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)、位置建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得兩個(gè)法向量的夾
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年2期2022-04-09
- 解答二面角問(wèn)題的三種途徑
李志娜求二面角問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，常見(jiàn)的命題形式有：（1）求二面角的大小；（2）求二面角的余弦值及其取值范圍；（3）證明某個(gè)二面角為直角.解答此類問(wèn)題，往往要先根據(jù)圖形的特點(diǎn)和已知條件確定二面角的平面角，然后運(yùn)用平面幾何知識(shí)和立體幾何知識(shí)求得平面角的大小或其余弦值.常用的方法有定義法、射影面積法、垂面法、三垂線法等.本文重點(diǎn)談一談三種常見(jiàn)的解題途徑：作三垂線、利用定義法、采用射影面積法.一、作三垂線運(yùn)用三垂線法求二面角的大小，主要是根據(jù)三垂線定理作二
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年12期2022-03-09
- 怎樣求解二面角問(wèn)題
吳文二面角是高中立體幾何中的重要知識(shí)點(diǎn).二面角問(wèn)題是各類試題中的常見(jiàn)考點(diǎn).常見(jiàn)的命題形式是：???? （1）求二面角的大小或余弦值；（2）證明二面角為直二面角；（3）求二面角的取值范圍.解答此類問(wèn)題主要有兩種方法：定義法和向量法.一、定義法二面角的大小通常由其平面角的大小決定，因此求二面角的大小，往往要求得其平面角的大小.這就需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面中分別作垂直于棱的直線，根據(jù)勾股定理或正余弦定理求得這兩條垂線
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2022年12期2022-03-09
- 例談無(wú)棱二面角的求解策略
田鵬無(wú)棱二面角并不是指二面角沒(méi)有棱，而是說(shuō)二面角的棱在幾何圖形中沒(méi)有顯現(xiàn)出來(lái).這需要綜合分析圖形結(jié)構(gòu)，找到合適的解決策略，方能順利解決此類問(wèn)題.總的來(lái)講，解決無(wú)棱二面角的問(wèn)題主要有兩大策略，其一是通過(guò)線面平行（面面平行）性質(zhì)定理或圖形中的幾何關(guān)系將棱補(bǔ)出來(lái)，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)求解;其二是不補(bǔ)棱而直接求解，主要有射影面積法，垂面法，向量法等方法.本文主要從這兩個(gè)方面進(jìn)行探究，以供參考.
中學(xué)生理科應(yīng)試 2021年10期2021-12-07
- 求二面角的方法
平面所成的角、二面角.二面角是指從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.求二面角的大小是一類常見(jiàn)的問(wèn)題.本文重點(diǎn)介紹求二面角大小的四種方法：定義法、向量法、面積投影法、三垂線定理法.一、定義法過(guò)二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小時(shí)，我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義來(lái)求解.首先在二面角的棱上選取一點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2021年9期2021-11-19
- 解答二面角問(wèn)題的兩種途徑
華恩亨二面角問(wèn)題是高中立體幾何中的一類常見(jiàn)題目.雖然此類問(wèn)題的命題方式多種多樣，但解題的方法卻是大同小異.因此在解答二面角問(wèn)題時(shí)，我們要學(xué)會(huì)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，牢牢抓住題目的特點(diǎn)，選擇合適的解題方法和思路進(jìn)行求解.本文主要介紹以下兩個(gè)求解二面角的辦法.一、構(gòu)造三垂線在解題時(shí)，我們常根據(jù)二面角的平面角的定義來(lái)添加輔助線，構(gòu)造三垂線，利用三垂線定理來(lái)解題.如圖1所示，已知平面α、平面β和線段l，假設(shè)α-l-β為銳二面角，過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)P作一條垂直于面β的垂線PA
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2021年7期2021-11-10
- 求二面角大小的兩種思路
黃林佳二面角問(wèn)題在立體幾何中比較常見(jiàn).一般地，要求二面角的大小，要先作出二面角的平面角，然后求得二面角的平面角的大小，二面角的平面角的大小即為二面角的大小.求二面角的大小一般有兩種思路，即采用定義法和向量法.下面我們結(jié)合一道典型例題來(lái)探討求二面角大小的兩種思路.例題：已知圓O的直徑AB的長(zhǎng)為2，上半圓弧有一點(diǎn)C，∠COB=60°，點(diǎn)P是弧AC上的點(diǎn)，點(diǎn)D是下半圓弧的中點(diǎn).現(xiàn)以AB為折痕，使下半圓所在平面垂直于上半圓所在平面，連接PO，PD，PC，CD，如圖
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2021年7期2021-11-10
- 面積法解二面角高考題
DE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值；(3)若點(diǎn)P在線段DG上，且BP與面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長(zhǎng).由已知可得BC⊥面GDCF，于是△OBC和△FBC都是Rt△.圖2圖3(1)證明：平面AMD⊥平面BMC;(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.圖4例3(2018年高考北京卷)(1)求證：AC⊥面BEF；(2)求二面角B-CD-C1的余弦值；(3)證明：直線FG與平面BCD相交.解析(1)(3)略.(
數(shù)理化解題研究 2020年34期2021-01-12
- 探究二面角的教學(xué)與應(yīng)用
在立體幾何中，二面角及其它的平面角是一個(gè)十分重要而又抽象的概念。如何理解二面角概念，怎樣找出二面角的平面角，是學(xué)好二面角的關(guān)鍵。由于二面角大小的計(jì)算范圍廣，變化多，難度大，是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。也是歷屆高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)。學(xué)生在練習(xí)或在高考中經(jīng)常弄錯(cuò)，找不出解題的有效方法。為此，從二面角的定義出發(fā)，正確理解其概念、作法、求法，并靈活運(yùn)用到多面體的教學(xué)之中。下面談?wù)勛砸训囊恍┛捶ǎ瑑H供大家參考。綜述上列十種求二面角大小的方法，并在多面體中例舉解題。在教學(xué)或練習(xí)過(guò)
學(xué)校教育研究 2021年23期2021-01-02
- 換一個(gè)視角看向量法求二面角問(wèn)題的新思路
743000)二面角的求解是高考命題中常出現(xiàn)的問(wèn)題．空間向量的引入，利用平面的法向量的夾角來(lái)度量二面角的大小，對(duì)二面角的大小求解帶來(lái)了很大的方便，不失為一個(gè)好方法．但兩個(gè)法向量均指向二面角的內(nèi)部或外部，則法向量的夾角等于二面角的平面角的補(bǔ)角；兩個(gè)法向量中一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部，則法向量的夾角等于二面角的平面角，需在寫(xiě)出二面角的平面角的大小前做出判斷后進(jìn)行準(zhǔn)確回答．當(dāng)二面角接近直角或不宜觀察時(shí)，要判斷二面角的大小范圍就有一定的難度了．我
數(shù)理化解題研究 2020年28期2020-10-19
- 巧用“三招”，妙求二面角
譚忠念二面角是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，求二面角問(wèn)題也是一類難點(diǎn)問(wèn)題，主要考查同學(xué)們的空間想象能力、轉(zhuǎn)化能力以及直觀想象能力，那么如何快速求二面角呢？下面，筆者介紹三種求二面角大小的方法。一、定義法我們把從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，而二面角的大小一般用其平面角的大小來(lái)表示，過(guò)二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角，當(dāng)容易作二面角的平面角時(shí)，我們常用定義法來(lái)求二面角的大小。
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2020年10期2020-09-10
- 怎樣求二面角
組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，要求二面角的大小，我們只需要求其二面角的平面角的大小即可，常見(jiàn)的方法有定義法、三垂線定理法和空間向量法。一、定義法二面角的平面角：過(guò)二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角，在運(yùn)用定義法求二面角時(shí)，我們可以結(jié)合題意作出二面角的平面角，然后運(yùn)用解三角形的知識(shí)來(lái)求得其平面角的大小。
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬 2020年7期2020-09-10
- 例談解答立體幾何二面角問(wèn)題的兩種方法
黃日東立體幾何二面角問(wèn)題不僅考查了同學(xué)們對(duì)立體幾何二面角知識(shí)的掌握情況，還考查了大家的運(yùn)算能力和空間想象能力_彳艮多二面角問(wèn)題有多種不同的解法，我們從不同的角度去思考不同的解法，有助于拓寬解題的思路，提升解題的效率，本文結(jié)合一道立體幾何二面角題目，談一談解答立體幾何二面角問(wèn)題的兩種方法：定義法和空間向量法。一、定義法二面角的大小是指二面角的平面角大小，因此在求解二面角問(wèn)題時(shí)，我們可以利用二面角的平面角的定義“過(guò)二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2020年6期2020-09-10
- 從一道聯(lián)考題總結(jié)求解二面角的幾種思路
正明 龍 宇二面角問(wèn)題是高考的?？紗?wèn)題,本文以一道聯(lián)考題為例,介紹求解二面角的幾種思路.其中除了綜合法以及向量法(多數(shù)情況下是坐標(biāo)法)之外,還介紹了三面角的正、余弦定理以及射影定理.1 問(wèn)題呈現(xiàn) 圖1(1)略;(2)求二面角B-C1D-B1的余弦值.分析本題以直三棱柱為載體,考查二面角問(wèn)題,常用解答方法有綜合法、向量法(包括坐標(biāo)法)，除此以外,還可利用射影定理及三面角的相關(guān)知識(shí)求解.2 解析與探究2.1 綜合法本題通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化回避了作二面角的平面角的過(guò)
高中數(shù)理化 2020年2期2020-06-13
- 用法向量求二面角大小的一個(gè)問(wèn)題
武在用法向量求二面角時(shí)，必須解決一個(gè)問(wèn)題：所求得的兩個(gè)半平面的法向量的夾角，是等于二面角的大小，還是等于此二面角的補(bǔ)角的大??？這取決于兩個(gè)法向量的方向.為區(qū)分二面角兩個(gè)半平面的法向量的方向，先定義一個(gè)“向內(nèi)法向量”和“向外法向量”概念.結(jié)論1：設(shè)向量m和n分別是二面角α-a-β的面α和β的法向量.若m和n都向該二面角內(nèi)，或都向該二面角外，則向量夾角〈m，n〉與二面角α-a-β的平面角互補(bǔ)；若m和n一個(gè)向二面角內(nèi)，另一個(gè)向二面角外，則〈m，n〉與二面角α-a
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年23期2019-12-26
- 不用法向量求解二面角
——以2018年高考題為例
學(xué) 湯華翔求解二面角對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的理想內(nèi)容，故而在全國(guó)和各省市近年高考中屢屢出現(xiàn)涉及二面角的考題.傳統(tǒng)的綜合法求二面角是過(guò)棱上一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，再通過(guò)解三角形將兩條射線的夾角求出，此法相對(duì)來(lái)說(shuō)比較難；教材上介紹的向量法是利用法向量的夾角為二面角的平面角或其補(bǔ)角，再根據(jù)圖形判斷是銳角還是鈍角.此法對(duì)于復(fù)雜圖形來(lái)說(shuō)難度較大.本文給出不依賴于求兩個(gè)半平面的法向量求二面角的新方法，且計(jì)
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年5期2019-03-28
- 例談如何結(jié)合圖形判定二面角的平面角
江榮芬求二面角的平面角是立體幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)之一.解題時(shí)可以先求兩個(gè)平面的法向量所成的角，由于一個(gè)平面的法向量不唯一，長(zhǎng)度不等且有兩個(gè)方向，二面角的平面角范圍是0≤θ≤π.二面角的大小與其兩個(gè)面的法向量所成的角是“相等”還是“互補(bǔ)”成為難點(diǎn)和關(guān)鍵，本文擬給出一個(gè)簡(jiǎn)單的判斷方法.先來(lái)分析一下二面角與兩個(gè)法向量n1，n2所成角的關(guān)系，以便突破上述難點(diǎn)：已知二面角α-l-β，在二面角內(nèi)任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，則l
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2018年11期2018-12-27
- 運(yùn)用不同解法，開(kāi)拓思維深度*
——以二面角的平面角常見(jiàn)解法為例
學(xué) 張滿成尋求二面角的平面角是立體幾何學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一，解決二面角問(wèn)題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，可使空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決.下面結(jié)合實(shí)例，就初學(xué)二面角的平面角時(shí)常見(jiàn)的求解策略加以剖析.一、定義法根據(jù)二面角的平面角的定義，在棱l上取一點(diǎn)A，分別在兩個(gè)半平面α，β內(nèi)作AB⊥l，AC⊥l，則∠BAC即為二面角α-l-β的平面角.例1 在四面體ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB=AC=，BC=2，求以BC為棱、以平面BCD和平
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年23期2018-12-15
- 例談立幾中無(wú)棱二面角的純幾何解法
中，有一類無(wú)棱二面角的問(wèn)題，只在圖形中給出了二面角的兩個(gè)半平面的一個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有給出二面角的棱，學(xué)生在解答時(shí)往往因?yàn)檎也坏?span id="ukeau0c" class="hl">二面角的棱而感到無(wú)從下手.下面筆者舉例說(shuō)明這類二面角的五種純幾何求法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象和邏輯推理能力不無(wú)幫助.一、延長(zhǎng)線段找棱法分析：要求平面SCD與平面SBA所成二面角的正切值，必先確定所求二面角的平面角，而所求二面角的棱在圖中未給出，故關(guān)鍵是先確定二面角的棱.為此，延長(zhǎng)BA，CD相交于點(diǎn)E，連接SE，則SE是所求二面角的棱.下面
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2018年5期2018-12-07
- 向量法在求二面角中的應(yīng)用
肅 定西）一、二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角與二面角的關(guān)系1.確定法向量的指向圖1 圖2 圖3 2.確定兩個(gè)法向量的夾角與二面角的關(guān)系如圖1，當(dāng)兩個(gè)法向量一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，一個(gè)指向二面角的內(nèi)部時(shí)，法向量的夾角就是二面角；如圖2和圖3，當(dāng)兩個(gè)法向量都指向內(nèi)或者都指向外時(shí)，法向量的夾角就是二面角的補(bǔ)角。二、法向量在求二面角中的應(yīng)用求二面角的大小或二面角的余弦值：當(dāng)二面角為銳二面角時(shí)，二面角的余弦值為正值，當(dāng)二面角為鈍二面角時(shí)，二面角的余弦值為負(fù)值，二面角
新課程(下) 2018年4期2018-03-26
- 加強(qiáng)綜合法提升核心素養(yǎng)
——2017年高考數(shù)學(xué)中二面角的純幾何解決
7年高考數(shù)學(xué)中二面角的純幾何解決安徽省壽縣第一中學(xué) 柴化安 常 清 (郵編：232200)立體幾何中的二面角是一個(gè)非常重要的概念,求二面角的大小是高考命題的熱點(diǎn).遇到二面角,言必用向量,這可不是好現(xiàn)象.一方面,高考中的二面角用綜合法解決并不像我們想象的那么難,一般高考試題中求二面角的兩種方法總體難度懸殊并不大;另一方面,立體幾何主要擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和直觀想象核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的任務(wù),老用空間向量解決二面角問(wèn)題,就削弱了立體幾何的教學(xué)價(jià)值.下面我們?cè)囉镁C合法
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2017年6期2017-12-18
- 二面角求解的七種方法
河北 陳寶友二面角求解的七種方法河北 陳寶友立體幾何中的二面角是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二面角的大小更是歷年高考命題的熱點(diǎn)，在每年全國(guó)各省市的高考試題的大題中幾乎都出現(xiàn). 而這類問(wèn)題又是很多學(xué)生感到困惑的，表現(xiàn)為求解困難，失分較為嚴(yán)重.究其原因有二：一是不能正確地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時(shí)存在計(jì)算障礙.常見(jiàn)基本題型包括：(1)求二面角的大?。?2)已知二面角的大小，求其它量；(3)求二面角的取值范圍.其實(shí)求二面角的方法很多，本文討論七種
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2017年5期2017-12-14
- 二面角相關(guān)問(wèn)題的解法
班 鮑 蓉求解二面角是立體幾何中最基本、最重要的題型之一,也是高考中的“熱點(diǎn)”問(wèn)題。那么如何求二面角呢?學(xué)習(xí)之余,總結(jié)了幾點(diǎn)方法,望與大家相互學(xué)習(xí)借鑒。此法是最典型也是最常用的方法,是基于對(duì)二面角的平面角定義理解后的熟練運(yùn)用。已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4,E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上,且不與點(diǎn)C重合。設(shè)二面角CAF-E的大小為θ,求tanθ的最小值。解析:如圖1,過(guò)E作EN⊥AC于點(diǎn)N,過(guò)N作MN⊥AF于點(diǎn)M,連接ME。易知EN⊥
- 求二面角的平面角的一種新方法
要：傳統(tǒng)法求二面角是作出二面角的平面角，構(gòu)造的輔助線有時(shí)很難找；而坐標(biāo)法求二面角寫(xiě)起來(lái)比較繁瑣。本文用“等體積法”求二面角的平面角，擴(kuò)大“等體積法”適用范圍，至此，等體積法可用于求點(diǎn)到面的距離、線面角、面面角。關(guān)鍵詞：等體積法 二面角中圖分類號(hào)：O123.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）09-0024-02在文[1]中給出求二面角的常用的九種方法，作為傳統(tǒng)法求二面角的平面角，筆者認(rèn)為可以多加一種，等體積法求二面角的平面角。1
讀與寫(xiě)·教育教學(xué)版 2017年9期2017-09-06
- 利用“棱法向量”求二面角
“棱法向量”求二面角湖北省麻城實(shí)驗(yàn)高中余志(郵編：438300)二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角是“相等”還是“互補(bǔ)”的問(wèn)題，一直困擾著大家. 本文從二面角的定義出發(fā)，利用“棱法向量”求二面角，有效地解決了這個(gè)問(wèn)題.二面角；棱法向量；高考試題別解向量法求解二面角，將面與面的平面角轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角，回避了復(fù)雜程度高的幾何技能. 但是，二面角的大小與法向量的夾角是“相等”還是“互補(bǔ)”的問(wèn)題，一直困擾著大家. 本文立足二面角的定義，利用棱法向量，
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2017年3期2017-07-24
- 由一道高考題探究二面角的解法
一道高考題探究二面角的解法☉安徽省阜陽(yáng)市臨泉第一中學(xué) 熊文文立體幾何試題是高考的常客，其中二面角問(wèn)題是立體幾何的考查中的重點(diǎn)，它既可考查邏輯推理能力，又可考查運(yùn)算求解能力.對(duì)學(xué)生知識(shí)以及思維能力要求較高，學(xué)生在求二面角時(shí)，往往無(wú)從下手，正確率較低.本文就一道全國(guó)卷立體幾何問(wèn)題，從代數(shù)方法和幾何推理兩方面探究二面角的解法，僅供大家參考.一、二面角常見(jiàn)解法回顧（1）幾何法.通過(guò)幾何推理，找到二面角的平面角，再用解三角形的知識(shí)，求出平面角的大小.如圖1，通常先確
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年9期2017-05-12
- 利用向量求解二面角大小
其中面面角又叫二面角，是高中立體幾何中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，常常出現(xiàn)在高考的解答題中，難度屬于中等題。它的解法可以使用傳統(tǒng)的幾何方法（如定義法、三垂線定理法、垂面法、射影法等），但是這些解法在思維上難度都太大，往往思路明確，算無(wú)結(jié)果。我們知道，向量是連接幾何與代數(shù)的橋梁，我們可以利用向量的方法把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，利用代數(shù)運(yùn)算算出最終結(jié)果。這樣減少了思維按照一類方法計(jì)算下去，很多學(xué)生特別是中等生容易接受。下面我將從空間向量方法的角度，談?wù)勗鯓永每臻g向量求二面
試題與研究·教學(xué)論壇 2016年34期2016-12-07
- 向量暗藏玄機(jī)利用向量確定二面角的大小
機(jī)利用向量確定二面角的大小梁仕權(quán)（貴州省息烽縣第一中學(xué)）在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，求二面角是立體幾何的重要組成部分之一。確定二面角的大小是高考的重點(diǎn)。二面角問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為利用法向量夾角求解，它把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。本文將從利用法向量與平面之間的關(guān)系，通過(guò)實(shí)例分析怎樣利用法向量確定二面角大小。在確定二面角大小這一問(wèn)題上，利用向量的基本原理，往往是通過(guò)兩個(gè)半平面的法向量轉(zhuǎn)化為線線直線所成的角的方法可以求二面角大小，并能通過(guò)這種方法有效地解決對(duì)二面角難以求解的問(wèn)
新課程(下) 2016年8期2016-10-31
- 芻議高中數(shù)學(xué)中求二面角的學(xué)習(xí)技巧
議高中數(shù)學(xué)中求二面角的學(xué)習(xí)技巧張雨嫣●湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校(410000)二面角的求解是高中三維立體幾何中，難度比較大的一類，這一向是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是歷屆高考中經(jīng)常出現(xiàn)的考點(diǎn)之一.在解決這類題目時(shí)，由于題中給出的幾何圖形千姿百態(tài)，使得我們很難對(duì)二面角做出判斷，從而影響解題的速度與質(zhì)量.本文針對(duì)立體幾何中出現(xiàn)的有無(wú)棱的二面角題型，提出了不同解題過(guò)程中的技巧，并強(qiáng)調(diào)了向量法在解決二面角問(wèn)題中的重要性.立體幾何；二面角；學(xué)習(xí)技巧二
數(shù)理化解題研究 2016年28期2016-04-12
- 二面角的大小的一個(gè)簡(jiǎn)單求法
本文簡(jiǎn)介了二面角大小的幾種求法，并針對(duì)法向量法求二面角時(shí)存在的兩法向量的夾角與二面角的大小的關(guān)系判定問(wèn)題提出了一種改良解法——指向向量法.常見(jiàn)的二面角的求法以幾何法和向量法為主. 其中幾何法有定義法、垂面法、三垂線法和射影面積法等；向量法通常是指法向量法. 在運(yùn)用法向量法求二面角的大小中的難點(diǎn)是兩個(gè)平面的法向量的夾角與二面角的大小相等或互補(bǔ)的判定，教材和眾多資料上的處理大多數(shù)是通過(guò)觀察立體圖形，主觀判斷二面角的大小，這樣處理學(xué)生總感覺(jué)很難把握，教師們也十分
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2015年12期2016-01-18
- 用向量法求空間角
線角、線面角和二面角，下面對(duì)這三種角的求法進(jìn)行總結(jié).點(diǎn)撥 求二面角的方法有兩種：（1）利用向量的加法及數(shù)量積公式求出與兩半平面的棱垂直的向量的夾角，從而確定二面角的大??；（2）根據(jù)幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系，先求二面角兩個(gè)半平面的法向量，再求法向量的夾角，從而確定二面角的大小.
高中生學(xué)習(xí)·高二版 2015年4期2015-08-04
- 淺談“無(wú)棱”二面角的解法
)淺談“無(wú)棱”二面角的解法王 丹(鄂南高級(jí)中學(xué)，湖北 咸寧 437100)二面角問(wèn)題是歷年高考考查的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)。求二面角的基本步驟是作、證、算，即先作出一個(gè)平面角，再證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角，最后將這個(gè)平面角放在一個(gè)三角形中計(jì)算求解，其中作出二面角的平面角是關(guān)鍵。所謂“無(wú)棱”二面角，是指所給二面角的兩個(gè)面直觀上只有一個(gè)公共點(diǎn)，而不是一條公共直線(即二面角的棱)，這就大大增加了求二面角的難度。本文通過(guò)一道例題介紹“無(wú)棱”二面角的常規(guī)求法，以供參考
湖北科技學(xué)院學(xué)報(bào) 2015年8期2015-06-23
- 巧用三面角求二面角
元巧用三面角求二面角☉湖北省孝感高級(jí)中學(xué) 姚繼元二面角是立體幾何的重要內(nèi)容，是歷年各省份高考的重點(diǎn)，然而我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中掌握的情況并不理想.幾何法雖然很直觀但是二面角的平面角很難作，而用向量法運(yùn)算量較大且在判斷法向量的方向時(shí)容易出錯(cuò).現(xiàn)在有一種較為簡(jiǎn)潔、易操作的方法.定理：如圖1，空間中有從O點(diǎn)出發(fā)的三條射線OA、OB、OC（OA、OB、OC不共面），∠AOC=α，∠BOC= β，∠AOB=γ，二面角A-OC-B為θ（注：由三個(gè)面構(gòu)成的多面角稱為
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年1期2015-05-05
- 判斷法向量的方向準(zhǔn)確求解二面角
的方向準(zhǔn)確求解二面角●裘春風(fēng)(鄞江中學(xué)浙江寧波315151)利用空間向量法求證空間位置關(guān)系及空間角已為大家所熟知.利用法向量公式求出余弦值后，僅僅通過(guò)觀察和憑直覺(jué)來(lái)判斷，有時(shí)不能確定究竟是鈍二面角還是銳二面角(二面角的余弦值是正的還是負(fù)的).事實(shí)上，筆者在課堂上也陷入了同樣尷尬的局面.對(duì)于學(xué)生提出來(lái)的“怎樣正確判斷是鈍二面角還是銳二面角”這一問(wèn)題，也沒(méi)有提供完美的答案.課后，筆者對(duì)這一問(wèn)題作了思考，查閱了相關(guān)的文獻(xiàn)，并對(duì)文獻(xiàn)中提供的各種方法和途徑作了分析、
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2015年4期2015-04-05
- 例析無(wú)棱二面角的常用求法
宋春燕求二面角的大小是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.其中二面角的棱在示意圖中未出現(xiàn)，即所謂無(wú)棱二面角的情形又為難點(diǎn).因此掌握無(wú)棱二面角大小的常用求法是至關(guān)重要的.本文就其常用求法例析如下.一、隱棱顯化法把被隱藏的二面角的棱通過(guò)相應(yīng)手段和方法顯現(xiàn)出來(lái)，即把無(wú)棱二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有棱二面角問(wèn)題，再根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，然后求解.這里關(guān)鍵是作棱，有以下幾種基本方法.1.已知一個(gè)公共點(diǎn)，找出另一個(gè)公共點(diǎn)作棱法如果兩個(gè)平面α、β有一個(gè)公共
中學(xué)生理科應(yīng)試 2014年11期2015-01-15
- 淺談轉(zhuǎn)化與化歸思想在解二面角中的運(yùn)用
重要思想方法,二面角的求法也不例外。如“定義法 ”、“垂面法 ”、“三垂線法 ”、“射影面積法 ”等無(wú)不是這一思想方法的重要體現(xiàn)。例 1：已知三條射線 SA、SB、SC所成的角∠ASB=45°,∠ASC=∠BSC=30°,求平面 ASC和平面BSC所成二面角的大小。解：如圖1,過(guò) SC上任意一點(diǎn) D,在平面 ASC內(nèi)作 DE⊥SC交 SA于 E,在平面 BSC內(nèi)作 DF⊥SC交 SB于 F,則∠EDF是二面角 A-SC-B的平面角,可證得△ESD≌△FSD
克拉瑪依學(xué)刊 2011年2期2011-01-26
- 例談?dòng)霉椒ㄌ幚砹字械慕菃?wèn)題
、用公式法處理二面角的平面角三面角余弦定理：若記三面角O-ABC中的∠AOC=α,∠BOC=β,∠AOB=γ，二面角A-OC-B=θ，則cosθ=cosγ-cosαcosβsinαsinβ.證明：在OC上取點(diǎn)C′，過(guò)C′作A′C′⊥OC′，B′C′⊥OC′，連A′B′，則∠A′C′B′即為A-OC-B的平面角.在Rt△OA′C′和Rt△OB′C′中，sinα=A′C′OA′,cosα=OC′OA′,sinβ=B′C′OB′,cosβ=OC′OB′,在△OA
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年5期2008-12-10
- 對(duì)兩個(gè)反證法證明的邏輯分析
點(diǎn)，證明或否定二面角A-SQ-B是直二面角.命題二：已知x>0，y>0，且x+y>2，求證：1+xy與1+yx中至少有一個(gè)小于2.對(duì)于命題一，有同學(xué)是這樣證明的：如圖2，取弧AB的中點(diǎn)為Q，取SQ的中點(diǎn)為E，連AE，BE，OQ，有OQ⊥AB.由三垂線定理得SQ⊥AB.∵軸截面為等腰直角三角形，∴SO=OB.于是SB=BQ=SQ,即三角形SBQ為正三角形.∴BE⊥SQ.同理AE⊥SQ.∴∠AEB為二面角A-SQ-B的平面角.設(shè)底面圓的半徑為R，∵軸截面為等腰
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年8期2008-12-09