盧正明 龍 宇

二面角問題是高考的常考問題,本文以一道聯(lián)考題為例,介紹求解二面角的幾種思路.其中除了綜合法以及向量法(多數(shù)情況下是坐標(biāo)法)之外,還介紹了三面角的正、余弦定理以及射影定理.

1 問題呈現(xiàn)

圖1

(1)略;

(2)求二面角B-C1D-B1的余弦值.

分析本題以直三棱柱為載體,考查二面角問題,常用解答方法有綜合法、向量法(包括坐標(biāo)法)，除此以外,還可利用射影定理及三面角的相關(guān)知識(shí)求解.

2 解析與探究

2.1 綜合法

本題通過等價(jià)轉(zhuǎn)化回避了作二面角的平面角的過程,讀者也可構(gòu)造輔助線,通過作出該二面角的平面角進(jìn)行求解.

2.2 向量法及坐標(biāo)法

求二面角問題可轉(zhuǎn)變?yōu)榍髢蓚€(gè)向量叉積的夾角問題,在半平面α,β中各找兩個(gè)向量求叉積,再通過兩個(gè)叉積的內(nèi)積求得二面角.具體如下:設(shè)a1,b1?α,a2,b2?β.因?yàn)閍1×b1是α的一個(gè)法向量,a2×b2是β的一個(gè)法向量,設(shè)二面角α-l-β的大小為θ，則有

再根據(jù)向量叉積的拉格朗日恒等式(a1×b1)·(a2×b2)=(a1·a2)(b1·b2)-(a1·b2)(b1·a2)求解即可.現(xiàn)將該結(jié)論應(yīng)用至本題.

2.3 三面角的正、余弦定理

圖2

三面角是由具有公共端點(diǎn)的不共面的三條射線,以及任兩條射線所成的角的內(nèi)部構(gòu)成的空間圖形.公共端點(diǎn)稱為三面角的頂點(diǎn),射線稱為三面角的棱,兩棱所夾的平面部分(角)稱為三面角的面(角).過每一條棱的兩個(gè)面所成的二面角稱為三面角的二面角，如圖2.

三面角的余弦定理:設(shè)三面角V-ABC的三個(gè)面角的度量分別為α,β,γ,它們所對(duì)的二面角分別為A,B,C,則

cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

2.4 射影定理

解法4 考慮平面BC1D與平面B1C1D,兩個(gè)面相互作投影都不“直接”,接下來,我們借助一個(gè)新的平面來計(jì)算投影面.