黃林佳

二面角問(wèn)題在立體幾何中比較常見(jiàn).一般地，要求二面角的大小，要先作出二面角的平面角，然后求得二面角的平面角的大小，二面角的平面角的大小即為二面角的大小.求二面角的大小一般有兩種思路，即采用定義法和向量法.下面我們結(jié)合一道典型例題來(lái)探討求二面角大小的兩種思路.

例題：已知圓O的直徑AB的長(zhǎng)為2，上半圓弧有一點(diǎn)C，∠COB=60°，點(diǎn)P是弧AC上的點(diǎn)，點(diǎn)D是下半圓弧的中點(diǎn).現(xiàn)以AB為折痕，使下半圓所在平面垂直于上半圓所在平面，連接PO，PD，PC，CD，如圖1所示.當(dāng)三棱錐P-COD體積最大時(shí)，求二面角D-PC-O的余弦值.

該題較為復(fù)雜，不僅考查了三棱錐的體積、平面與平面的垂直關(guān)系，還考查了求二面角大小的方法.我們需首先根據(jù)題意和幾何圖形，明確各點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，然后合理添加輔助線，作出二面角的平面角，然后再求出平面角的大小.有以下兩種思路.

一、采用定義法求二面角的大小

定義法是求二面角大小的常用方法，也是基本方法.以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.在求二面角的大小時(shí)，我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，然后將平面角的兩條邊或角置于某一個(gè)三角形或平行四邊形內(nèi)，運(yùn)用平面幾何知識(shí)，如正余弦定理、解三角形知識(shí)、勾股定理等求出平面角的大小.

解：由題意可知DO⊥平面PCD，∴VP-COD=VD-COP，

∵，

∴當(dāng)OC⊥OP時(shí)，三棱錐P-COD體積最大，

如圖2所示，取PC中點(diǎn)H，連接OH，DH，

∵OC=OP，DC=DP，

∴OH，DH都與PC垂直，即∠OHD是所求二面角的平面角，

在Rt△OPC中，;在Rt△OHD中，，

∴，

∴二面角D-PC-O的余弦值為??? .

我們先根據(jù)二面角的平面角的定義在幾何圖形上添加輔助線，找到二面角的平面角，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得二面角的平面角的大小.

二、利用向量法求二面角的大小

向量法是指通過(guò)向量運(yùn)算解答問(wèn)題的方法.在求二面角的大小時(shí)，我們可以先結(jié)合幾何體的特點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后求出各點(diǎn)、線段、平面的坐標(biāo)，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得二面角的大小.對(duì)于本題，要先利用已知條件找出兩兩相互垂直的直線，即OP，OD，OC，建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，再運(yùn)用夾角公式進(jìn)行求解即可.

解：由題意可得DO⊥平面PCD，所以VP-COD=VD-COP，

因?yàn)?，所以?dāng)OC⊥OP時(shí)，三棱錐P-COD體積最大，由題意可知OP，OD，OC兩兩垂直，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則有P（1，0，0），D（0，1，0），C（0，0，1），，??? .設(shè)平面DPC的法向量為，則，可得，同理可求得平面PCO的法向量，設(shè)二面角D-PC-O的平面角為α，則，即二面角D-PC-O的余弦值為??? .

從上述分析可以看出，求解二面角問(wèn)題可以從兩個(gè)不同的角度，即定義和向量運(yùn)算出發(fā)來(lái)尋找解題的思路.運(yùn)用第一種思路解題，需靈活運(yùn)用立體幾何中的定理、定義來(lái)處理空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;運(yùn)用第二種思路解題，需熟練掌握空間向量運(yùn)算的法則，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題來(lái)求解.

（作者單位：江蘇省南通市海門(mén)四甲中學(xué)）