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        對兩個反證法證明的邏輯分析

        2008-12-09 03:32:30楊錦義
        中學數(shù)學研究 2008年8期
        關鍵詞:正三角形反證法二面角

        楊錦義

        命題一:如圖1,圓錐的軸截面為等腰直角三角形SAB,Q為底面圓周上一點,證明或否定二面角A-SQ-B是直二面角.

        命題二:已知x>0,y>0,且x+y>2,求證:1+xy與1+yx中至少有一個小于2.

        對于命題一,有同學是這樣證明的:

        如圖2,取弧AB的中點為Q,取SQ的中點為E,連AE,BE,OQ,有OQ⊥AB.由三垂線定理得SQ⊥AB.∵軸截面為等腰直角三角形,∴SO=OB.于是SB=BQ=SQ,即三角形SBQ為正三角形.∴BE⊥SQ.同理AE⊥SQ.∴∠AEB為二面角A-SQ-B的平面角.設底面圓的半徑為R,∵軸截面為等腰直角三角形,SO=OB=R,SB=BQ=SQ=2R,BE=62R.由余弦定理得

        玞os∠AEB=32R2+32R2-4R22×32R2=-13<0,

        ∴∠AEB是一個鈍角.即二面角A-SQ-B是一個鈍二面角,∴二面角A-SQ-B不是直二面角.

        對于命題二,有同學是這樣證明的:

        假設1+xy與1+yx都大于或等于2,則1+xy+1+yx≥4,對于滿足x>0,y>0,且x+y>2的x、y都成立.取x=2,y=2,有1+22+1+22=3<4,故1+xy與1+yx中至少有一個小于2.

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?!?/p>

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