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        例談求解二面角大小的幾種方法

        2023-07-30 06:16:20房維維
        數(shù)理化解題研究 2023年19期
        關(guān)鍵詞:平面角適用范圍二面角

        解 曼 房維維

        (哈爾濱師范大學(xué),黑龍江 哈爾濱 150025)

        中學(xué)數(shù)學(xué)中的二面角是立體幾何的基礎(chǔ)概念,值得學(xué)生思考重視,對于學(xué)生而言,只有在平時學(xué)習(xí)中多多積累求解二面角的方法,才能在問題探索中不斷提高解題能力,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文對求解二面角的方法進行歸納和總結(jié),以供讀者借鑒和參考.

        1 定義法

        在定義法中,二面角的大小是用二面角的平面角來衡量的,就是在平面α和平面β的交線l上找一點,過該點在平面α和平面β內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線.如圖1,射線OA與射線OB所夾的角∠AOB就是所求的二面角.在定義法中,二面角的大小是用二面角的平面角來衡量的.

        圖1 二面角圖

        適用范圍:定義法是最直接的做法,它適用于比較明顯的兩個平面相交圖形,在解題時只需要找出兩個平面、兩個射線及射線夾角即可,對于不太容易找出射線的圖形可以借助輔助線來解決,如例1中的圖形[1].

        例1如圖2,在三棱錐S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°,SA=AB,SB=BC,求二面角A-SC-B的平面角的正弦值.

        圖2 例1圖 圖3 例1定義法解析

        解析如圖3,取SC中點E,連接BE,

        因為SB=BC,

        所以△SBC是等腰三角形.

        由等腰三角形三線合一知BE⊥SC.

        過點A作AF⊥SC于點F,過點E作EM∥AF交AC于點M,連接BM,此時∠MEB就是所求的二面角的平面角.

        設(shè)SA=2,則AB=2.

        因為∠SAB=90°,

        因為∠ABC=90°,

        因為∠SAC=90°,

        由面積相等,知

        因為△CEM∽△CFA,

        由余弦定理,知

        BM2=AM2+AB2-2AM·ABcos∠CAB

        2 補形法

        這種方法也是求解二面角大小的重要方法,通過補形能夠順利地作出二面角的平面角,從而整體上把握點、線、面之間的關(guān)系,與定義法有異曲同工之妙.

        適用范圍:補形法顧名思義適用規(guī)則不完整的圖形,利用輔助線將平面的圖形完整化,使之有明確的交線,然后進行解題[2].

        圖4 例2圖 圖5 例2解析圖

        所以AB∥CD,CD⊥AD,AB⊥AD,AE=AD=1.

        因為PA⊥平面ABCD,

        所以PA⊥AB,PA⊥AD,DE=AE+AD=2.

        所以DE2=PE2+PD2.

        即PE⊥PD.

        因為PA∩AD于點A,

        所以AB⊥平面PED,CD⊥平面PED.

        所以CD⊥PE,CD⊥PD.

        因為PD∩CD于點D,

        所以PE⊥平面PCD.

        所以PE⊥PC.

        又因為PE⊥PD,

        所以∠CPD就是平面PAD和平面PBC所成的二面角.

        以上是在圖形中找二面角的平面角從而求出二面角的大小,除此之外,還可以用公式法來求解二面角,公式法的特點是代入公式中就可直接求出二面角的大小,使用方便,下面給出兩種用公式求二面角的方法[3].

        3 射影面積法

        適用范圍:這種方法適合一個面在另一個面內(nèi)的投影確定的圖形[4],對于這種方法我們依舊看例1.

        解析如圖6,過點B作BD⊥AC于點D,

        圖6 例1射影面積法圖

        因為∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°,

        所以SA⊥AB,SA⊥AC.

        所以SA⊥平面ABC.

        所以SA⊥BD.

        又因為BD⊥AC,

        所以BD⊥平面SAC.

        所以△SDC是△SBC在平面SAC內(nèi)的投影.

        設(shè)二面角A-SC-B的平面角為θ,

        4 向量法

        圖7 兩條法向量方向相同時 圖8 兩條法向量方向相反時

        適用范圍:向量法適用于所有能作平面直角坐標系的圖形,通過找出兩個半平面的法向量進而解出題目.其中,直角坐標系的建立是基礎(chǔ),而判斷兩平面的法向量是相等還是互補是難點和關(guān)鍵[5].

        例3 如圖9所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,求二面角A1-BD-C1的余弦值.

        圖9 例9圖

        設(shè)平面DA1B的法向量為m=(x,y,z),則

        所以m=(1,-1,-1).

        設(shè)平面DBC1的法向量為n=(a,b,c),則

        所以n=(-1,1,-1).

        設(shè)平面DA1B和平面DBC1所成的二面角為θ,

        以上就是求解二面角大小的四種方法即相應(yīng)的例題,在求解二面角的大小時可以根據(jù)不同的題型采取不同的方法,其中有的題型可以用多種方法來進行解決,需要視情況而定.

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