☉安徽省阜陽(yáng)市臨泉第一中學(xué) 熊文文

由一道高考題探究二面角的解法

☉安徽省阜陽(yáng)市臨泉第一中學(xué) 熊文文

立體幾何試題是高考的常客，其中二面角問(wèn)題是立體幾何的考查中的重點(diǎn)，它既可考查邏輯推理能力，又可考查運(yùn)算求解能力.對(duì)學(xué)生知識(shí)以及思維能力要求較高，學(xué)生在求二面角時(shí)，往往無(wú)從下手，正確率較低.本文就一道全國(guó)卷立體幾何問(wèn)題，從代數(shù)方法和幾何推理兩方面探究二面角的解法，僅供大家參考.

一、二面角常見(jiàn)解法回顧

（1）幾何法.通過(guò)幾何推理，找到二面角的平面角，再用解三角形的知識(shí)，求出平面角的大小.如圖1，通常先確定二面角的棱，再在棱上確定一點(diǎn)，找棱的垂面，從而找到平面角.

圖1

（2）代數(shù)法.如圖2，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量，求二面角的余弦值.

圖2

（3）代數(shù)幾何法.如圖3，通過(guò)幾何法，找到棱的垂線(xiàn)，再由代數(shù)法，求出兩條垂線(xiàn)（或者向量）所成的角.

圖3

二、解法展示

例題（2013年全國(guó)卷理19）如圖4，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形.

圖4

（1）證明：PB⊥CD；（證明不再給出）

（2）求二面角A-PD-C的余弦值.

解法1：取BC中點(diǎn)E，連接AE，交BD于點(diǎn)O，連接OP.由（1）知，OE，OB，OP兩兩垂直.

圖5

設(shè)平面PCD的法向量為n1=（x1，y1，z1），

取y1=-1，得x1=0，z1=1，故n1=（0，-1，1）.

設(shè)平面PAD的法向量為n2=（x2，y2，z2），

取x2=1，得y2=1，z2=-1，

故n2=（1，1，-1）.于是

由于〈n1，n2〉等于二面角A-PD-C的平面角，

解法2：由（1）知，CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO=P，

故CD⊥平面PBD.

又PD?平面PBD，所以CD⊥PD.

如圖6，取PD的中點(diǎn)F，PC的中點(diǎn)G，連接FG，

圖6

則FG∥CD，F(xiàn)G⊥PD.

連接AF，由△APD為等邊三角形可得AF⊥PD.

所以∠AFG為二面角A-PD-C的平面角.

連接AG，EG，則EG∥PB.

又PB⊥AE，所以EG⊥AE.

解法3：由（1）知，二面角C-PD-B為直角，只需要求A-PD-B的大小.下面求二面角A-PD-B的余弦值.如圖，取DP的中點(diǎn)為F，BD的中點(diǎn)為O，則由題意知，BD=

所以∠AFO即為二面角A-PD-B的平面角.

由解法2知，∠AOF=π 2.在直角三角形AOF中，，所以二面角C-PD-B的余弦值為

圖7

分析：由解法3知，只需求二面角A-PD-B的大小.可以像解法2一樣，建系來(lái)求.不建系，可不可以利用向量來(lái)求呢？

圖8