☉安徽省宣城市第二中學(xué) 朱長(zhǎng)友

一類遞推數(shù)列的直觀解釋和“變”題探究

☉安徽省宣城市第二中學(xué) 朱長(zhǎng)友

一、形如an+1=f（an）遞推數(shù)列的案例直觀解釋

我們?cè)O(shè)想把這類數(shù)列的各項(xiàng)（數(shù)）用數(shù)軸上的點(diǎn)（形）來(lái)表示，以例1［1］為例來(lái)說(shuō)明.

圖1

圖2

分別過(guò)P1，P2，P3，…，Pn引x軸的平行線與y軸交于B2， B3，…，Bn+1，與P2A2，P3A3，…，PnAn，交于Q2，Q3，…，Qn，容易觀察到點(diǎn)Q2，Q3，…，Qn，在直線y=x上，如圖2.

Q3→P3→…→Pn，可以在直線上得到一排點(diǎn)P1，

P2，P3，…，Pn，從圖中看點(diǎn)列P1，Q2，P2，Q3…是“上升階梯”狀，很明顯，這些排點(diǎn)是逐漸升高的（形），故｛an｝（數(shù)）是單調(diào)遞增的，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)換，得到此數(shù)列的單調(diào)性，這就是此類遞推數(shù)列的直觀解釋.

從圖3中可以看出：點(diǎn)列P1，Q2，P2，Q3，…，Pn是“下降階梯”狀地，故數(shù)列｛an｝是遞減數(shù)列，可以判斷，當(dāng)a1∈R時(shí)，數(shù)列｛an｝都是遞減數(shù)列，在解題時(shí)，我們可以先判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性的定義，加以證明.

圖3

二、一道高考題的解法探究

（1）｛xn｝為遞減數(shù)列的充要條件是c＜0；

（2）求c的取值范圍，使｛xn｝為遞增數(shù)列.

分析：本題設(shè)計(jì)新穎，主要考查形如an+1=f（an）的遞推數(shù)列的單調(diào)性.第（2）問(wèn)探究c的取值范圍，立意深，對(duì)考生的探究能力和創(chuàng)新思維有較高的要求.

1.常規(guī)解法（讀者自己證明，此略）

2.解法探究（利用直觀解釋）

先利用直觀解釋探究c的范圍，然后加以證明.

當(dāng)c＜0時(shí)，從圖4中看到點(diǎn)列P1，Q2，P2，Q3…是“下降階梯”狀，解釋了第（1）問(wèn)，可以判斷數(shù)列｛an｝是遞減函數(shù).

圖4

圖5

如圖5，當(dāng)c=0時(shí)，點(diǎn)列P1，P2，P3，…都重合在坐標(biāo)原點(diǎn)，故an=0，即｛an｝是常數(shù)列.

圖6

然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明.（此略）

3.賞析

（1）高等數(shù)學(xué)的背景.所給的遞推數(shù)列形如an+1=f（an）的形式，以二次函數(shù)為載體，考查數(shù)列的單調(diào)性，可以看出命題者對(duì)初、高等數(shù)學(xué)教材的理解和感悟非常深刻，反映了命題者的智慧，展現(xiàn)出中學(xué)數(shù)列知識(shí)與后續(xù)大學(xué)學(xué)習(xí)的密切聯(lián)系，體現(xiàn)出“構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái)”的新課程理念.

（2）內(nèi)蘊(yùn)厚重，余味無(wú)窮.通過(guò)本文敘述此類遞推數(shù)列的直觀解釋，先探究出c的取值，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)應(yīng)的函數(shù)是遞增函數(shù)，根據(jù)直觀解釋，通過(guò)改變函數(shù)列首項(xiàng)，得到此遞推數(shù)列的各種不同的單調(diào)性，內(nèi)蘊(yùn)厚重，耐人尋味.

（3）返璞歸真，回歸課本.課本在講解遞推數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，一般給出的是一個(gè)具體的遞推數(shù)列，而本題給出一個(gè)參數(shù)c，讓我們探究c的取值范圍，使它為遞增數(shù)列，體現(xiàn)了高考中“源于教材，又高于教材”的命題原則，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了平時(shí)教學(xué)，高考和大學(xué)內(nèi)容的對(duì)接.

（4）凸顯數(shù)學(xué)美.該題充分利用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，敘述簡(jiǎn)潔，數(shù)列表達(dá)式簡(jiǎn)單，利用直觀解釋，圖形中曲線優(yōu)美，處處洋溢著數(shù)學(xué)美，令人賞心悅目！

三、“變”題探究

1.收斂和發(fā)散

圖7

再如：數(shù)列｛xn｝由x1＞0，xn+1=確定，畫(huà)出拋物線y=x2-x+1，它與直線y=x切于點(diǎn)P（1，1）點(diǎn)（如圖7），如果x1＞1，點(diǎn)P1，Q2，P2，Q3是“上升階梯”，所以｛xn｝是單調(diào)遞增，xn趨于無(wú)窮大（此數(shù)列是發(fā)散的），此數(shù)列的極限不存在，當(dāng)0＜x1＜1，在畫(huà)出點(diǎn)列P1，P2，P3，…，Pn，這些點(diǎn)列無(wú)限趨近于點(diǎn)P（收斂）.

2.影響遞推數(shù)列an+1=f（an）的單調(diào)性的因素

利用遞推數(shù)列an+1=f（an）的直觀解釋可以判斷影響遞推數(shù)列an+1=f（an）的單調(diào)性的因素有：①數(shù)列的首項(xiàng)；②曲線y=f（x）和直線y=x的位置.

圖8

現(xiàn)舉例加以分析.

例4試證數(shù)列｛an｝滿足an+1=2an+1，當(dāng)a1=0時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)a1=-2時(shí)，是遞減數(shù)列.

分析：用本文的直觀解釋判斷（如圖8）.

證明：當(dāng)a1=0時(shí)，（1）當(dāng)n=1時(shí)，a2=2a1+1=1，顯然a2＞a1，結(jié)論成立.

若假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，結(jié)論成立，

即ak+1＞ak，

那么n=k+1時(shí)

因?yàn)閍k+2=2ak+1+1，①

ak+1=2ak+1，②

①-②得ak+2-ak+1=2（ak+1-ak）＞0.

所以ak+2＞2ak+1，

這就是說(shuō)對(duì)n∈N*，結(jié)論都成立.

所以｛an｝是單調(diào)遞增數(shù)列.

同理證明當(dāng)a1=-2時(shí)，數(shù)列是遞減的.

顯然有x1＜x2，結(jié)論成立.

（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，結(jié)論成立，即xk＜xk+1，

那么n=k+1時(shí)，

又x1=1，由條件可知xk＞0，所以1+xk＞0，1+xk+1＞0.

由歸納假設(shè)知，xk+1-xk＞0，故xk+2＞xk+1.

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

結(jié)合（1）（2）得出，數(shù)列｛xn｝是單調(diào)遞增的.

圖9

3.大膽“變”題，提升思維的創(chuàng)造性

由圖9，可以編出這個(gè)遞推數(shù)列的各種單調(diào)性問(wèn)題：

（4）當(dāng)x1＜-1時(shí)，點(diǎn)列P1，Q2，P2，Q3，…是“下降階梯”狀，是單調(diào)遞減數(shù)列.

只有理解了形如an+1=f（an）遞推數(shù)列的直觀解釋，就可以“變”出此類數(shù)列的各種單調(diào)性問(wèn)題，對(duì)一線教師在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行發(fā)散式探究的教學(xué)起到一定的導(dǎo)向作用.由于篇幅，請(qǐng)讀者自己玩味.