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        立體幾何中二面角問題的解法例析

        2022-12-04 14:48:23江蘇省淮安中學
        中學數(shù)學 2022年21期
        關鍵詞:平面角二面角輔助線

        江蘇省淮安中學 丁 軍

        1 向量法

        向量法,是指將待求的兩個平面放入直角坐標系中,通過向量的知識(例如向量的夾角公式等)進行求解的方法,是求解二面角問題最有效的方法之一.利用向量法求解,避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩,有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟:①根據(jù)題設找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標系,這是正確求解的關鍵之一;②將待求的兩個平面上的點的坐標及每個面的法向量表示出來;③計算向量的坐標,并利用向量的夾角公式計算,最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個法向量的夾角之間的關系,結合實際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角[1].

        圖1

        例1直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,已知AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,BC,BB1,A1D的中點分別是E,M,N,求二面角A-MA1-N的正弦值.

        圖2

        (1)求直線AM與平面BCD所成的角的大小;

        (2)求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.

        2 定義法

        定義法是指利用二面角的定義進行求解的一種方法.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形就叫做二面角.一般利用二面角的平面角度量二角面,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度(平面角的取值范圍是0°≤θ≤180°).二面角的定義也是求解二面角問題的有效手段,關鍵在于正確找出二面角的平面角.利用定義法解題的主要步驟:①根據(jù)題意作輔助線,準確找出二面角的平面角;②根據(jù)題設條件證明上述角是二面角的平面角;③根據(jù)題意利用余弦定理等公式計算求解.簡要概括為“一作、二證、三計算”.

        圖3

        例2在四面體ABCD中,AC=AB=1,CD=BD=2,AD=2.5,BC=1.5,求二面角A-BC-D的余弦值.

        分析:如圖3所示,設E為BC的中點.選擇輔助線AE,DE,然后利用二面角的定義確定角A-BC-D的平面角為∠AED,再分別計算線段AE,DE的長度,利用余弦定理進行求解.

        解析:設線段BC的中點是E,連接AE,DE.

        由AC=AB=1,CD=BD=2,可得

        AE⊥BC,DE⊥BC.

        所以∠AED是二面角A-BC-D的平面角.

        拓展:如圖4,在四棱錐P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求二面角B-PC-D的大小.

        圖4

        圖5

        3 垂面法

        求解二面角問題的常用方法還包括垂面法.垂面法,就是指作一個與二面角的棱垂直的平面,該垂面與二面角兩半平面相交得到交線所成的角為二面角的平面角.適用于銳二面角或直角二面角問題.利用垂面法解題的主要步驟:①根據(jù)題意作出與棱垂直的平面;②結合實際問題找出二面角的平面角;③證明上述平面角為二面角的平面角并求出其大小[2].

        圖6

        例3在平面角等于60° 的二面角α-l-β中有一點P,點P到α,β的垂線段長分別為PC=3 cm,PD=5 cm,求點P到棱l的距離.

        分析:如圖6所示,本題所選擇的垂面為平面PCD,進而確定二面角α-l-β的平面角為∠CED=60°,最后根據(jù)l⊥平面PCED,得l⊥PE,PE即為點P到棱l的距離.

        解析:設過P,C,D三點的平面分別交平面α,β于CE,DE.易證l⊥平面PCD.

        ∴l(xiāng)⊥DE,l⊥CE.

        ∴∠CED即為二面角α-l-β的平面角.

        ∴∠CED=60°,∠CPD=120°.

        由余弦定理,可知CD=7.

        ∵l⊥平面PCED,

        ∴l(xiāng)⊥PE.

        ∴PE即為點P到棱l的距離.

        又∵P,C,E,D四點共圓,∠PCE=90°,

        ∴PE是該圓的直徑.

        圖7

        (1)求證:PC⊥平面BEF;

        (2)求二面角C-BE-F的大小.

        求解二面角問題是高中數(shù)學的重要內容,在全國各地高考數(shù)學試卷中也經(jīng)常出現(xiàn),求解二面角的方法中,筆者認為最簡單且最普遍適用的方法莫過于向量法,只要合理建系,正確計算求解即可.

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