張 瑛 ,雷 麗

(商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院河南,商丘 476000)

一、空間維數(shù)的變化

“立體幾何問(wèn)題平面化”是解決立體幾何問(wèn)題的重要思想方法,二面角的求法也不例外。如“定義法 ”、“垂面法 ”、“三垂線(xiàn)法 ”、“射影面積法 ”等無(wú)不是這一思想方法的重要體現(xiàn)。

例 1：已知三條射線(xiàn) SA、SB、SC所成的角∠ASB=45°,∠ASC=∠BSC=30°,求平面 ASC和平面BSC所成二面角的大小。

解：如圖1,過(guò) SC上任意一點(diǎn) D,在平面 ASC內(nèi)作 DE⊥SC交 SA于 E,在平面 BSC內(nèi)作 DF⊥SC交 SB于 F,則∠EDF是二面角 A-SC-B的平面角,可證得△ESD≌△FSD。

圖1

在 △DEF中,有 EF2=

二、主與次的轉(zhuǎn)化

若所要求的二面角較難計(jì)算時(shí),可退而求其次——即求出它的“鄰補(bǔ)二面角”或“同位 (內(nèi)錯(cuò))二面角”的大小。

例 2：在長(zhǎng)方體 ABCD-A′B′C′D′中 ,E為 AB的中點(diǎn),AB=2BC,求二面角 A-D′E-C的大小。

解：如圖2,連接 B′E、BC′,B′C

設(shè) BC′與 B′C相交于 F,連接 BF。

∵BC′∥D′A ∴A、D′、E、F四點(diǎn)共面

∴二面角 A-D′EC的鄰補(bǔ)二面角為 C′-D′E-C

在矩形 ABCD中,∵AE=EB=BC ∴DE⊥EC,又 D′D⊥平面 ABCD,∴D′E⊥EC同理 ,D′E⊥EB′ ∴D′E⊥平面 B′EC ∴D′E⊥EF ∴∠CEF為二面角 C′-D′E-C的平面角

∵EB⊥平面 BCB′,BF⊥B′C ∴EF⊥FC

圖2

∴∠CEF=30°

故二面角 A-D′E-C的大小為 150°(180°-30°)。

三、未知向已知轉(zhuǎn)化

在求二面角時(shí),有時(shí)可借助圖形的幾何特征將所求二面角轉(zhuǎn)化為已知的折疊角公式或異面直線(xiàn)所成角來(lái)求,從而實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化與過(guò)渡。

例 3：在正方體 AC1中,E、F分別是 C1B、AD1的中點(diǎn),求二面角 E-BD-F的大小。

解：如圖3,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a,過(guò) E作 EF⊥BD于 G,過(guò) F作 FH⊥BD于 H,顯然,BG=DH=

圖3

設(shè) AC∩BD=0,連接 OC1

∵AC⊥BD ∴C1O⊥BD

又 EG∥C1O ∴EG⊥

所以,HG為 EG、FH的公垂線(xiàn)段,二面角 EBD-F的大小等于異面直線(xiàn) EG與 FH所成的角(或其補(bǔ)角)。設(shè)為θ,則由異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間距離公式有

四、思維觀點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

作為知識(shí),向量與復(fù)數(shù)有許多地方是可以類(lèi)比、相互貫通的,作為工具,向量比復(fù)數(shù)具有更靈活、更廣闊的應(yīng)用,而向量是數(shù)和形有機(jī)結(jié)合體,所以它在求二面體方面發(fā)揮了非凡的作用,為二面角的求法帶來(lái)了新觀點(diǎn),增加了新色彩。

例 4：如圖4,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求二面角 A-PB-C的大小。

圖4

解法一：取 PB的中點(diǎn) D,連接CD,因?yàn)?PC=CB=,所以 CD⊥PB,作 AE⊥PB于 E,則二面有 A-PB-C的大小等于異面射線(xiàn)DC與 EA所成的角θ的大小。

圖5

解法二：如圖5,建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz,取PB的中點(diǎn) D,連接 DC,可證DC ⊥PB,作 AE⊥PB,則向二面角A-PB-C的大小

解法三：如圖6,作 CD⊥AB于 D,AE⊥PC于 E,易證 CD⊥平面 APB,AE⊥平面PBC

圖6

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系c-xyz

不難看出,轉(zhuǎn)化與化歸思想在二面角求法中發(fā)揮了重要作用?？梢哉f(shuō),沒(méi)有轉(zhuǎn)化,就不可能求出任何一個(gè)二面角?？偠灾?在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地讓學(xué)生去觀察和思考問(wèn)題,揭示教材的內(nèi)在聯(lián)系和層次性,善于運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的意識(shí),找到正確的化歸轉(zhuǎn)化的方向和途徑,就能提高學(xué)生的思維能力,提高學(xué)生的解題能力。

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