李志娜

求二面角問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，常見的命題形式有：（1）求二面角的大??；（2）求二面角的余弦值及其取值范圍；（3）證明某個(gè)二面角為直角.解答此類問題，往往要先根據(jù)圖形的特點(diǎn)和已知條件確定二面角的平面角，然后運(yùn)用平面幾何知識(shí)和立體幾何知識(shí)求得平面角的大小或其余弦值.常用的方法有定義法、射影面積法、垂面法、三垂線法等.本文重點(diǎn)談一談三種常見的解題途徑：作三垂線、利用定義法、采用射影面積法.

一、作三垂線

運(yùn)用三垂線法求二面角的大小，主要是根據(jù)三垂線定理作二面角的平面角，并根據(jù)其中的垂直關(guān)系和勾股定理求得平面角的大小.運(yùn)用三垂線法求解二面角問題，要先在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)選取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A 向另一個(gè)半平面作垂線AB；再由垂足 B 向二面角的棱作垂線 BC，則棱上的點(diǎn) C 為斜足，那么∠ABC 即為二面角的平面角.

例1.在四面體 ABCD 中， AB⊥平面BDC，BC ⊥ CD 且 BC = CD =1，AD = 求二面角 B - CD - A 的大小.

解：∵ AB⊥平面BCD，BC ⊥ CD，

∴由三垂線定理得CD⊥ AC，

∴∠ACB為二面角B - CD - A的平面角，

∵ BC ⊥ CD， ∴ BD = BC2+ CD2=

∵ AB⊥平面BCD， ∴ AB⊥ BC，AB⊥ BD，

∴ AB = AD2- BD2=1，

在RtΔABC中， tan ∠ACB = =1，

∴二面角 B - CD - A的大小為.

解答這道題主要運(yùn)用了三垂線法.先根據(jù) AB⊥平面BDC ，確定二面角 B - CD - A 的一個(gè)半平面內(nèi)的一點(diǎn)A、垂線AB、斜線AC 以及其射影 BC，便可根據(jù)三垂線定理確定二面角的平面角∠ACB ；再根據(jù)勾股定理即可求得二面角 B - CD - A 的大小.

例2.如圖1，已知∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC， AB =4， SA = BC =2，N，D分別是AB，BC的中點(diǎn)，求二面角 S - ND - A 的大小.

解：過 A 作 AF⊥ DN ，交 DN 的延長(zhǎng)線于F，連接 SF，∵ SA ⊥平面ABC， ∴由三垂線定理得DF⊥ SF ，? ∴∠SFA是二面角S - ND - A的平面角，

在RtΔBDN中，DN = BD2+ BN2=? ，

在RtΔAFN中，

sin ∠ANF = = sin ∠BND = = ，

∴ AF = AN = ， ∴ tan ∠SFA = =

∴二面角 S - ND - A 為 arctan .

由 SA ⊥平面ABC ，便能確定垂線 AF、斜線 AF 及其射影AF，根據(jù)三垂線定理就可以快速確定二面角的平面角為∠SFA .可見，運(yùn)用三垂線法求解二面角問題，需先找到二面角的一個(gè)半平面的垂線，然后確定斜線、射影，這樣就能快速確定二面角的平面角.

二、利用定義法

定義法是指利用二面角的平面角的定義來解題.根據(jù)二面角的平面角的定義，需先在二面角的棱上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，那么這兩條垂線之間的夾角即為二面角的平面角；再根據(jù)垂線與棱之間的垂直關(guān)系，以及勾股定理、正余弦定理求得平面角的大小，就能求得二面角的大小.

例3.如圖2，三棱錐A - BCD 中，AC ⊥平面BCD， BD⊥ CD，AC =2AD ，求平面ABD 與平面 BCD 所成角的大小.

解：∵ AC ⊥平面BCD，BD?平面BCD，

∴ BD⊥ AC，

解答本題，需根據(jù)二面角的平面角的定義，在兩 個(gè)半平面內(nèi)找到垂直于棱DB的兩條直線DA、DC，且 兩條直線交于D點(diǎn)，這樣利用定義法，即可快速確定 平面ABD與平面BCD所成角的平面角.

例4.如圖3，在三棱錐V - ABC中，VA = AB = VB = AC = BC = 2，VC = 3， 求二面角 V - AB - C 的大小.

由圖可知二面角 V - AB - C 的棱為AB，而根據(jù)已 知的邊角關(guān)系可得 VD ⊥ AB 、CD ⊥ AB ，即可根據(jù)二面 角的平面角的定義確定 二面角V - AB - C的平面角為 ∠ADC .運(yùn)用定義法求解二面角問題，關(guān)鍵在根據(jù)二面 角的平面角的定義作出二面角的棱的垂線，以確定平 面角.

三、采用射影面積法

當(dāng)不方便作出二面角的平面角時(shí)，可考慮運(yùn)用射 影面積法來求二面角的大小.可先在二面角的一個(gè)半 平面內(nèi)找到另一個(gè)半平面的投影，通常要找到其中一 個(gè)半平面內(nèi)的三角形、平行四邊形、梯形等規(guī)則圖形 的射影，這樣便可直接利用三角形、平行四邊形、梯形 等的面積公式求出這些圖形及其射影的面積；再將原 圖形與射影的面積相除，得到二面角的余弦值，即?? cos θ= S（S）斜（射）面（影），從而求得二面角的大小.

例5.如圖4， 在三棱錐P - ABC中，AC= BC =2， ∠ACB =90°， AP = BP =AB，PC ⊥ AC，PC ⊥ AB ， 求二面角 B - AP - C的大小.

解：∵ AC= BC，AP = BP， ∴ΔAPC ?ΔBPC， ∵ PC ⊥ AC， ∴ PC ⊥BC，

∵∠ACB =90°， 即AC ⊥BC， 且AC ?PC = C， ∴ BC ⊥平面PAC，

取AP中點(diǎn)E， 連接BE， CE，

∵ AB = BP， ∴ BE⊥ AP，

∴EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，

∴ CE⊥ AP，

ΔACE是ΔABE在平面ACP內(nèi)的射影，

∴ AB = BP =AP = AC2+ CB2=2? ，

∴ BE = = ， AE = EC = ，

∴ S ΔACE = AE?CE =? ? =1，

S ΔABE = AE?EB =? ? = ，

∴ cos θ= = =，

∴二面角B - AP - C的大小為arccos??? 3 .

我們根據(jù)題意很容易證明 BC ⊥平面PAC， 就可以確定ΔABE 在平面ACP 內(nèi)的射影為ΔACE ；再根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式求得這兩個(gè)三角形的面積，便可利用面積射影法快速求得二面角 B - AP - C 的大小.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用三垂線法、定義法、射影面積法求二面角的大小，都需要根據(jù)二面角的平面角的定義，確定二面角的平面角，或建立平面角的兩條線段之間的關(guān)系，因此熟練并靈活運(yùn)用二面角的平面角的定義，是解答這類問題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省泗洪姜堰高級(jí)中學(xué)）