楊麗蕾

摘 要：百分位數(shù)是高中數(shù)學(xué)新教材的新增內(nèi)容，本文從內(nèi)容編排、知識(shí)呈現(xiàn)、習(xí)題設(shè)計(jì)三個(gè)維度對(duì)新人教A版、蘇教版與北師大版教材“百分位數(shù)”一節(jié)進(jìn)行對(duì)比分析，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議：關(guān)注關(guān)聯(lián)情境設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)模型優(yōu)化；加強(qiáng)定義內(nèi)涵解讀與算法過程理解；優(yōu)化習(xí)題內(nèi)容設(shè)計(jì)與概念內(nèi)涵辨析；重視信息技術(shù)介入與應(yīng)用價(jià)值挖掘.

關(guān)鍵詞：百分位數(shù)；教材比較；數(shù)學(xué)教學(xué)

1 研究背景

百分位數(shù)是數(shù)據(jù)分析中常用的一個(gè)量.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的發(fā)展，它顯得越來越重要.曹一鳴教授在與其它國家課程標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，國外很多國家都設(shè)置了“四分位數(shù)”與“盒式圖”等知識(shí)點(diǎn)^［1］，因此在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）修訂中加入百分位數(shù)概念.一方面，這是新課標(biāo)對(duì)國際課標(biāo)比較研究成果的吸收，也是適應(yīng)當(dāng)今社會(huì)發(fā)展的需要.另一反面，從知識(shí)的內(nèi)在邏輯看，初中所學(xué)的中位數(shù)是50百分位數(shù)，但僅用中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的特征信息是不夠的，須將其推廣到任意百分位數(shù)，這也是知識(shí)的螺旋上升與一般推廣.隨著新課標(biāo)的頒布，各版本教材亦同步更新，但大部分一線教師對(duì)該節(jié)內(nèi)容的教學(xué)仍有所困惑.

新課標(biāo)對(duì)這一節(jié)內(nèi)容提出的教學(xué)要求是“結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義（參見案例14）”.各版本教材遵循課標(biāo)要求，為“教”與“學(xué)”活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源.但教材編者對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解不同，對(duì)教學(xué)內(nèi)容亦有各自的見解，各版本教材各具特色，因而有必要進(jìn)行教材間的比較分析，進(jìn)一步整合資源，以便更好地進(jìn)行該節(jié)內(nèi)容的教學(xué).

2 研究設(shè)計(jì)

針對(duì)本節(jié)內(nèi)容，選取三個(gè)版本（人教A版^［2］、北師大版^［3］、蘇教版^［4］）的教材，從內(nèi)容編排、知識(shí)呈現(xiàn)、習(xí)題設(shè)計(jì)三個(gè)維度進(jìn)行比較分析，以期對(duì)教師教學(xué)和教科書修訂有所啟發(fā).

3 教材比較

3.1 內(nèi)容編排

三個(gè)版本的教材在“統(tǒng)計(jì)”一章的內(nèi)容編排上均遵循“收集數(shù)據(jù)→整理數(shù)據(jù)→分析數(shù)據(jù)→作出推斷”這一研究順序，且均將百分位數(shù)放在用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征一節(jié)中，先研究樣本頻率分布估計(jì)總體取值分布，再研究百分位數(shù)，但教學(xué)順序的細(xì)節(jié)安排略有不同.人教A版教材遵循從整體到局部的研究順序，先對(duì)總體統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行全面刻畫，再研究百分位數(shù).因?yàn)榘俜治粩?shù)是原始數(shù)據(jù)的縮影，通過這個(gè)縮影可以了解數(shù)據(jù)全貌，進(jìn)而繼續(xù)研究平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征；而北師大版和蘇教版教材則更傾向于從熟悉到陌生、從特殊到一般的研究順序，選擇將初中已學(xué)過的中位數(shù)、方差等內(nèi)容放在百分位數(shù)之前.

3.2 知識(shí)呈現(xiàn)

在整體設(shè)計(jì)上，三個(gè)版本教材本節(jié)內(nèi)容的難度都不大，相對(duì)簡單.人教A版教材通過確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)以使80%的居民用戶不受影響這一問題，引入百分位數(shù)，也是對(duì)教材上一節(jié)居民用戶月均用水量的總體取值規(guī)律估計(jì)的繼續(xù)研究.結(jié)合此實(shí)例，得到第80百分位數(shù)的含義，在此基礎(chǔ)上再給出百分位數(shù)的一般定義以及計(jì)算方法，最后通過兩個(gè)例題讓學(xué)生掌握一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的計(jì)算方法.蘇教版教材通過比較英語成績總體狀況基本相當(dāng)?shù)募?、乙兩市，甲市? 200名與乙市第1 160名相比哪個(gè)成績更好，讓學(xué)生體會(huì)百分位數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)位置水平的刻畫，在此基礎(chǔ)上再給出百分位數(shù)的一般定義以及計(jì)算方法，最后通過一個(gè)例題讓學(xué)生掌握一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的計(jì)算方法.而北師大版教材并未借助任何生活實(shí)例，而是選擇以學(xué)生熟悉的中位數(shù)，即50%分位數(shù)為例，從特殊到一般，抽象概括出一般的連續(xù)變量的p分位數(shù)的概念，并給出計(jì)算n個(gè)數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟，再通過一個(gè)例題幫助學(xué)生掌握計(jì)算.大方向上來看，三個(gè)版本的教材設(shè)計(jì)還是比較一致的，但是在細(xì)節(jié)處理上還是有明顯的不同.

在新知引入上，人教A版和蘇教版教材均以生活案例，即問題情境為載體來學(xué)習(xí)百分位數(shù)，避免了抽象地定義概念和討論方法，均在回顧以往內(nèi)容的基礎(chǔ)上提出實(shí)際生活問題，使得前后問題的解決具有連續(xù)性，這也符合新課標(biāo)對(duì)于教學(xué)的整體性與連貫性要求.人教A版教材的問題情境即為新課標(biāo)中的案例14，蘇教版教材則是將新課標(biāo)的案例14放在該節(jié)的應(yīng)用與建模一欄，而北師大版教材并未創(chuàng)設(shè)具體情境，開門見山，直接指明要學(xué)習(xí)百分位數(shù)需先回顧中位數(shù)，在中位數(shù)這一舊知的復(fù)習(xí)中，讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)百分位數(shù)的最初理解.

在定義概括上，由于統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)中百分位數(shù)的定義有多種，北師大版教材和人教A版、蘇教版教材出現(xiàn)了差異.北師大版是這樣定義的：當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí)，給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈（0，1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn)：總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.概因其考慮到離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，這種定義下的分位數(shù)不一定存在或者不唯一，而為了使得對(duì)任何一組數(shù)據(jù)都存在任意的百分位數(shù)，人教A版和蘇教版教材給出的均是一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的定義，雖然表述上不盡相同，但其內(nèi)涵是一致的：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣的一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有 （100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.然而，此定義下的百分位數(shù)可能并不唯一.比如一組數(shù)據(jù)1，2，3，…，100，顯然［90，91］間的任意一個(gè)數(shù)均符合第90百分位數(shù)的定義.為了方便統(tǒng)計(jì)分析，通常取90和91的平均數(shù)90.5作為這組數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)，這一點(diǎn)人教A版教材予以了相應(yīng)交代.雖然三版教材定義不盡相同，但給出的百分位數(shù)一般計(jì)算步驟卻是一致的，也均交代了四分位數(shù)的定義.其中人教A版教材還專門提到計(jì)算百分位數(shù)方法有多種，我們?nèi)∫环N計(jì)算方法比較簡單的，減少了讀者對(duì)于求解步驟的疑惑.此外，三版教材均表明百分位數(shù)適用于大樣本的數(shù)據(jù)定位，蘇教版教材強(qiáng)調(diào)容量較小時(shí)有時(shí)百分位數(shù)不能唯一確定，人教A版教材指出樣本量較小時(shí)對(duì)總體估計(jì)會(huì)存在較大誤差，北師大版教材則指明樣本容量越大估計(jì)越準(zhǔn)確.

在例題選擇上，人教A版選擇了兩個(gè)例題，分別對(duì)應(yīng)兩類問題：已知一組具體數(shù)據(jù)估計(jì)百分位數(shù)和利用頻率分布直方圖估計(jì)百分位數(shù)；蘇教版和北師大版均只選取一道例題，涉及一組具體數(shù)據(jù)的百分位數(shù)求解，未涉及利用頻率分布直方圖估計(jì)百分位數(shù).

在信息技術(shù)的使用上，人教A版教材在教師用書中專門提到了用電子表格軟件和R軟件計(jì)算一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的方法，有意識(shí)地在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中加強(qiáng)信息技術(shù)的使用，為利用百分位數(shù)解決實(shí)際問題打下基礎(chǔ).

3.3 習(xí)題設(shè)計(jì)

在本節(jié)練習(xí)設(shè)計(jì)上，人教A版教材三道練習(xí)題背景均選用前面已涉及過的案例，且是具有現(xiàn)實(shí)意義的統(tǒng)計(jì)問題，在內(nèi)容上也包括了例題的兩個(gè)方面.蘇教版教材呈現(xiàn)兩道練習(xí)題，包括百分位數(shù)求解的兩類問題：一類是求一組數(shù)據(jù)的k百分位數(shù)，另一類為求一組數(shù)據(jù)中的某個(gè)已知數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的百分位數(shù)是多少.其中練習(xí)1給出具體數(shù)據(jù)，對(duì)上述兩類問題均有涉及，練習(xí)2則是求24人的測試成績中第5名成績的百分位數(shù)是多少，未給出具體數(shù)據(jù)，更考查學(xué)生對(duì)百分位數(shù)概念的理解，需要根據(jù)計(jì)算步驟進(jìn)行逆向求解.北師大版教材是一道從現(xiàn)實(shí)生活抽象出的練習(xí)，共兩小問，第一小問求中位數(shù)，第二小問則意在讓學(xué)生辨析百分比和百分位數(shù)，整個(gè)練習(xí)對(duì)百分位數(shù)的求解著墨不多.

縱觀百分位數(shù)一節(jié)后續(xù)的習(xí)題設(shè)計(jì)，北師大版教材未涉及利用頻率分布直方圖估計(jì)百分位數(shù)，蘇教版教材則有一道逆向問題，需求頻率直方圖中某一具體數(shù)據(jù)的百分位數(shù).此外，蘇教版教材有這樣一道題“在一次長跑測試中，小明是班上跑的最快的，小彬是班上跑得最慢的，全班共40人，分別求小明、小彬長跑成績的百分位數(shù).”蘇教版教材給出的答案是小明長跑成績的百分位數(shù)為1或2.小彬長跑成績的百分位數(shù)為98或99或100.從中可以看出，蘇教版教材對(duì)于定義中的第p百分位數(shù)p的取值為［1，100］內(nèi)的整數(shù)，而人教A版教材p的取值為［0，100］內(nèi)的整數(shù).同時(shí)，人教A版在教師用書中作了如下補(bǔ)充說明：（1）第0百分位數(shù)為數(shù)據(jù)組中的最小數(shù)，第100百分位數(shù)為數(shù)據(jù)組中的最大數(shù)；（2）一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)；（3）一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個(gè)數(shù).顯然，第0百分位數(shù)和第100百分位數(shù)都符合百分位數(shù)的定義，但卻不能按照教材所給百分位數(shù)的計(jì)算步驟計(jì)算出來，所以人教A版教材給出如上規(guī)定，使得邏輯更嚴(yán)謹(jǐn).如此，教師也對(duì)百分位數(shù)的理解更為具體深入.

4 研究結(jié)論

在內(nèi)容編排上，人教A版教材遵循從整體到局部的研究順序，從統(tǒng)計(jì)的整體看局部的統(tǒng)計(jì)方法，研究思路一以貫之，結(jié)構(gòu)性強(qiáng)，而北師大版和蘇教版教材，更傾向于從熟悉到陌生，從特殊到一般，貼近學(xué)生學(xué)習(xí)心理.本節(jié)內(nèi)容整體設(shè)計(jì)上難度不大，但在新知引入上，人教A版和蘇教版教材均注重真實(shí)情境的設(shè)計(jì)，有意識(shí)地用一個(gè)案例來貫穿相關(guān)內(nèi)容.人教A版教材在此基礎(chǔ)上更注重在實(shí)際問題解決中發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，而北師大版、蘇教版教材則更傾向于百分位數(shù)概念本質(zhì)的理解和計(jì)算步驟的程序化操作.在百分位數(shù)的定義概括上，三版教材均強(qiáng)調(diào)它的直觀含義——用以考察一個(gè)具體數(shù)據(jù)在所有數(shù)據(jù)中所處的位置.北師大版教材強(qiáng)調(diào)百分位數(shù)定義下的總體是連續(xù)變量，該定義直觀易理解，且突出百分位數(shù)本質(zhì)，但緊接著給出的卻是一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的計(jì)算步驟，而一組數(shù)據(jù)往往又涉及到離散型變量，這與前述的百分位數(shù)定義似乎不甚統(tǒng)一，而人教A版與蘇教版教材的百分位數(shù)定義中包含有“至少”“小于或等于”“大于或等于”等表述的多個(gè)不等關(guān)系，這使得百分位數(shù)定義不那么直觀和易理解，但該定義與后續(xù)計(jì)算步驟和諧統(tǒng)一，且教材解釋充分，內(nèi)容翔實(shí).在例題和習(xí)題選擇上，人教A版教材更側(cè)重具有現(xiàn)實(shí)意義的統(tǒng)計(jì)問題，題型全面，相較于蘇教版與北師大版教材，多了利用頻率分布直方圖估計(jì)百分位數(shù)的題目，而蘇教版教材則更關(guān)注百分位數(shù)的正向與逆向應(yīng)用，意在深化對(duì)百分位數(shù)概念的理解.此外，人教A版教材相較于其他兩版教材，有意識(shí)地在教學(xué)中加強(qiáng)了信息技術(shù)的使用.

5 教學(xué)建議

5.1 關(guān)注關(guān)聯(lián)情境設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)模型優(yōu)化

讓學(xué)生在實(shí)際問題的解決中了解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上類比中位數(shù)的定義得到一般的第p百分位數(shù)的定義是水到渠成的.在此基礎(chǔ)上，建議教師教學(xué)過程中盡可能使用具有現(xiàn)實(shí)意義的同一個(gè)案例背景，為學(xué)生提供探索學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)情境，通過不同的統(tǒng)計(jì)問題，引入不同的統(tǒng)計(jì)概念和方法讓學(xué)生比較，以更好地理解各自的統(tǒng)計(jì)含義及特點(diǎn)，讓學(xué)生保持思維的連貫性，也使得問題的解決具有連續(xù)性，更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性.在此基礎(chǔ)上，也要重視統(tǒng)計(jì)模型的優(yōu)化意識(shí)，比如人教A版教材在確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)這一案例中還設(shè)計(jì)了讓學(xué)生思考14 t這個(gè)用水量標(biāo)準(zhǔn)的合理性和可能出現(xiàn)差別的原因的問題，現(xiàn)實(shí)又富有研究意義，這其實(shí)是在反思整個(gè)統(tǒng)計(jì)過程，提出改進(jìn)方案，也是在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，值得在教學(xué)過程中借鑒.

5.2 加強(qiáng)定義內(nèi)涵解讀與算法過程理解

日常教學(xué)中，由于課時(shí)、應(yīng)試?yán)砟罴澳芰λ降榷喾揭蛩氐挠绊懀處熢诮虒W(xué)過程中往往將重心放在百分位數(shù)計(jì)算步驟的程序化解題操作上，而不注重對(duì)于百分位數(shù)概念本身的理解，這實(shí)際上偏離了我們統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的重點(diǎn).教學(xué)過程中，應(yīng)重視對(duì)百分位數(shù)定義的直觀理解，加強(qiáng)對(duì)定義內(nèi)涵的解讀，需要幫助學(xué)生明確：對(duì)于任意一組數(shù)據(jù)，滿足第p百分位數(shù)定義的值可能是不唯一的，計(jì)算百分位數(shù)的方法有多種，通常會(huì)取一種比較簡單的計(jì)算方法來操作，而且通常在樣本容量比較大時(shí)才使用百分位數(shù).在此基礎(chǔ)上，還需幫助學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)算法過程的理解，比如從特殊到一般歸納概括出計(jì)算步驟，或依據(jù)定義，從代數(shù)運(yùn)算的角度闡明計(jì)算步驟的合理性：假設(shè)一組數(shù)據(jù)a₁，a₂，a₃，…，a_n從小到大排列，不妨設(shè)這組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)為第k個(gè)數(shù)（k∈N^*），則由百分位數(shù)定義可知，

5.3 優(yōu)化習(xí)題內(nèi)容設(shè)計(jì)與概念內(nèi)涵辨析

在習(xí)題選擇上，由于百分位數(shù)的求解過程并不復(fù)雜，先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定百分位數(shù)的位置，再確定百分位數(shù)的具體數(shù)值即可.題目數(shù)量不需要太多，但應(yīng)當(dāng)涉及求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)和根據(jù)頻率分布直方圖求百分位數(shù)這兩類基本題型.如此，離散型變量和連續(xù)型變量都有，教學(xué)結(jié)構(gòu)才更完整，前后也更統(tǒng)一.像蘇教版教材中的逆向求解問題，可以作為思考題來深化學(xué)生對(duì)百分位數(shù)定義本身的理解.以1，2，3，…，100為例，若要求這組數(shù)據(jù)中20的百分位數(shù)是多少，則按計(jì)算步驟逆向求解，設(shè)20的百分位數(shù)是k（k∈Z，且k∈［1，100］），列式100*k/100∈（19，20），會(huì)發(fā)現(xiàn)k無解，但根據(jù)百分位數(shù)的定義，20應(yīng)該是第19或20百分位數(shù)，所以教學(xué)中不光要重視計(jì)算步驟，也要注重回到概念本身.當(dāng)然，對(duì)于百分位數(shù)而言，習(xí)題設(shè)計(jì)也應(yīng)結(jié)合具體案例，借助更加豐富的實(shí)際背景，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).此外，習(xí)題選擇不妨在百分位數(shù)定義本身上下功夫，比如判斷“若一組樣本數(shù)據(jù)的第10百分位數(shù)是23，則這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23”“共100名學(xué)生參加的測試中，成績排名是75名的同學(xué)比成績的百分位數(shù)為75的同學(xué)成績要好”等等，像這樣的概念辨析類題目學(xué)生練習(xí)的數(shù)量比較少，但概念教學(xué)最重要的就是深刻理解概念本身，厘清概念的來龍去脈，故建議教學(xué)中在此處加強(qiáng)對(duì)百分位數(shù)概念的辨析.

5.4 重視信息技術(shù)介入與應(yīng)用價(jià)值挖掘

鑒于信息技術(shù)是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)的組成部分，統(tǒng)計(jì)教學(xué)又與我們的現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，為了更好體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的學(xué)科特點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)中，可以拓展更多關(guān)于百分位數(shù)實(shí)際應(yīng)用的內(nèi)容，比如四分位數(shù)、第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)在人機(jī)工程學(xué)、臨床檢驗(yàn)指標(biāo)中的應(yīng)用，同時(shí)介紹部分用信息技術(shù)工具求解百分位數(shù)的方法.如此，既了解了百分位數(shù)算法的原理與步驟，學(xué)會(huì)用信息技術(shù)工具求解生活中百分位數(shù)問題，又能體會(huì)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的廣泛性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

參考文獻(xiàn)：

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