李心軍 魏柏婷

摘 要：圓錐曲線問題在高考中既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，其面積最值問題更是熱點(diǎn).本文探究2023年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第20題的多種解法，并在此基礎(chǔ)上溯源試題的命題背景，分析試題對解析幾何中圓錐曲線教學(xué)的引導(dǎo)作用，提出一些教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；解法探究；教學(xué)建議

3 試題的變式

【變式1】設(shè)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，M，N為拋物線C上的兩點(diǎn)，且以M，N為直徑的圓過點(diǎn)F，求當(dāng)△MNF面積取最小值時(shí)，直線MN的方程.

【變式2】過拋物線E：y²=2px（p＞0，p為常數(shù)）的焦點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于點(diǎn)A，B和C，D，求四邊形ACBD面積的最小值.

以上變式問題用上述方法類似可解，同時(shí)此方法可以推廣到橢圓或雙曲線中.

4 近年高考中的面積問題

在2019—2022年高考試題中，以面積為命題點(diǎn)的試題數(shù)量達(dá)到7個(gè)以上，解答題和選填題都有，例舉如下：2022新高考全國Ⅰ卷第21題第（2）問；2021年全國乙卷理科第21題第（2）問；2020年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)第21題第（2）問；2019年全國Ⅲ卷理科第21題；2019年全國Ⅱ卷理科第21題第（2）問；2021年全國甲卷理科第15題：2020年課標(biāo)Ⅰ卷文科第11題.說明圓錐曲線的面積問題是高考的熱點(diǎn)以及難點(diǎn).

5 教學(xué)建議

圓錐曲線中與焦點(diǎn)相關(guān)的面積計(jì)算問題的求解策略蘊(yùn)含了解析幾何的核心思想——幾何問題代數(shù)化，用坐標(biāo)、向量、方程、函數(shù)表示問題中涉及的幾何元素，利用函數(shù)與方程思想、基本不等式、極坐標(biāo)與參數(shù)方程等求解.在借助幾何圖形，尋求“最值”的特殊位置的探究中，立意培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；在建立目標(biāo)函數(shù)的過程中需要進(jìn)行“動(dòng)因”分析，立足培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；在建立了相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)后就要合理選擇運(yùn)算方法，提高解題效率，立足培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；通過拋物線中與焦點(diǎn)三角形面積最值問題的求解策略的探究，在反思過程中讓學(xué)生逐漸形成此類題目的一般解法，立足培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)；通過試題的求解過程需要直觀想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)處理等素養(yǎng)相互發(fā)揮作用才能完成，而邏輯推理貫穿于課堂教學(xué)的始終，并與其他核心素養(yǎng)相互融合發(fā)揮作用，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.對此，提出如下教學(xué)建議.

5.1 立足基礎(chǔ)——以定義為根基，凸顯解題通性通法

高考圓錐曲線試題大多屬于中檔題或壓軸題，解答題中第一問主要考察圓錐曲線的相關(guān)定義和其它基礎(chǔ)知識，總體難度不高；第二問常見面積問題、最值問題、定值定點(diǎn)問題等，雖然計(jì)算量比較大，但離不開圓錐曲線的通性通法，一般都有章可循——幾何問題代數(shù)化.所以圓錐曲線的教學(xué)應(yīng)以定義為根，以公式為本，以數(shù)學(xué)思想方法為魂，重視通性通法.

5.2 強(qiáng)化綜合——以綜合為主導(dǎo)，感悟數(shù)學(xué)思想方法

高考圓錐曲線試題中，無論是選擇題還是填空題，對學(xué)生綜合能力的考查要求較高，雖然整體思路有章可循，但計(jì)算量以及數(shù)學(xué)思想方法的選擇卻很重要，恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的計(jì)算方法，則可達(dá)到事半功倍的效果.學(xué)生需加強(qiáng)限時(shí)訓(xùn)練，采用靈活多樣的思維方式，努力提高解答的準(zhǔn)確性；需要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想以及配方法、換元法等方法，把握內(nèi)在聯(lián)系，尋求變化發(fā)展，有效提升思維能力.

5.3 拓展思維——以思維為目標(biāo)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“數(shù)學(xué)思想方法是思維的工具，是形成數(shù)學(xué)能力

的必要條件.”這正是數(shù)學(xué)三會(huì)里用“數(shù)學(xué)思維來思考世界”的完美體現(xiàn)；數(shù)學(xué)是思維的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)的教學(xué)過程實(shí)則是培養(yǎng)學(xué)生思維的過程，在新高考命題趨勢中也出現(xiàn)了“無思維，不命題”的重要趨勢.因此，在新課程的大背景下，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀的核心是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).在圓錐曲線的教學(xué)過程中，則應(yīng)著眼于對學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］教育部考試中心.中國高考評價(jià)體系［Ｍ］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］趙思林，紀(jì)定春，盧勇剛.例談高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的特點(diǎn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（5）：3235.