朱超

摘 要：隱含條件在初中題目中比較常見(jiàn)，屬于一種特殊的條件，極具隱蔽性.隱含條件雖然在題目中并未明確給出，但卻可利用題目中的關(guān)鍵詞語(yǔ)推斷而出，以便于幫助學(xué)生打開(kāi)解題思路.本文就以此出發(fā)，結(jié)合大量的數(shù)學(xué)題目，針對(duì)初中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘途徑進(jìn)行了詳細(xì)的研究，具備一定的參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；隱含條件；解題；挖掘路徑

顧名思義，隱含條件就是隱藏在題目?jī)?nèi)部，出題者常常并未將其明確給出，而是將其隱藏在題目之中，需要解題者通過(guò)分析、推理、轉(zhuǎn)換等方式才能從中獲得.在日常解題中，隱含條件往往是“突破口”，是學(xué)生正確、高效率解答題目的關(guān)鍵.鑒于此，初中數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中，應(yīng)立足于當(dāng)前數(shù)學(xué)題目靈活多變的現(xiàn)狀，引導(dǎo)學(xué)生在扎實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生掌握隱含條件的挖掘方法，能夠借助聯(lián)想、比較分析、推理、轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)方式，促進(jìn)未知到已知、隱含到明顯，最終在隱含條件的輔助下，形成正確的解題思路.

1 靈活挖掘隱含條件，助力數(shù)學(xué)解題

隱含條件是初中數(shù)學(xué)解題的一大“利器”，是打開(kāi)學(xué)生解題思維的“鑰匙”.同時(shí)，隱含條件又極具隱蔽性，常常存在于各個(gè)“地方”，如：已知條件、數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)圖形等，給學(xué)生的識(shí)別和應(yīng)用帶來(lái)了極大的難度.鑒于此，筆者就結(jié)合大量的題目，針對(duì)隱含條件的具體挖掘路徑進(jìn)行了如下分析：

1.1 基于數(shù)學(xué)概念挖掘隱含條件

鑒于初中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是隱含條件的“藏身之處”.隨著數(shù)學(xué)題目發(fā)展，多數(shù)題目中的隱含條件都回歸到了基本的數(shù)學(xué)概念與定義中.通常這種類(lèi)型題目的難度系數(shù)比較低，但也是學(xué)生最容易忽視從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的題目.

例2 已知關(guān)于x的一元二次方程（a²-2）x²-（4a+2）x+1=0存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

解析：這題也屬于基礎(chǔ)題目范疇，難度系數(shù)比較小，但依然有部分學(xué)生會(huì)出現(xiàn)失分的現(xiàn)象.主要是學(xué)生看到題目中“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”，就直接運(yùn)用了“判別式大于零”進(jìn)行求解，忽視了一元二次方程在定義中隱含的條件，即：二次項(xiàng)系數(shù)不能為零.鑒于此，在求解時(shí)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足判別式大于0、二次項(xiàng)系數(shù)不等于0兩個(gè)條件，方可得到正確的答案.

總結(jié)上述兩道例題，難度系數(shù)非常低，但卻是學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的題目，主要原因就是學(xué)生在做題時(shí)，忽視了數(shù)學(xué)概念、定義中的隱含條件，最終出現(xiàn)了考慮不周全的現(xiàn)象，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.鑒于此，在日常的教學(xué)中，不僅要重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)，還要引導(dǎo)學(xué)生圍繞數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深入分析，了解每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的細(xì)節(jié)、每一個(gè)約束條件等，并圍繞數(shù)學(xué)概念進(jìn)行例題講解、變式訓(xùn)練等，以便于學(xué)生真正完成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的理解、深化等^［1］.

1.2 基于代數(shù)公式挖掘隱含條件

代數(shù)占據(jù)了初中數(shù)學(xué)的半壁江山，代數(shù)公式不僅是學(xué)生解題的關(guān)鍵，也是隱含條件的“藏身之處”.尤其是在很多數(shù)學(xué)題目中，都包含了大量的數(shù)學(xué)公式信息，并將題目中的關(guān)鍵條件隱藏于此.鑒于此，在引導(dǎo)學(xué)生挖掘隱含條件，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)著眼于相關(guān)的數(shù)學(xué)公式，以此作為切入點(diǎn)，挖掘其中的隱含條件.

例3 已知（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=0，求a²+b²=__________.

解析：這一題目難度系數(shù)比較低，但多數(shù)學(xué)生在解題時(shí)，常常出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.主要原因就是在解題時(shí)，忽視了隱含條件的挖掘，而是直接采用了換元法：令a²+b²=x，則（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=x²-3x-10=0，通過(guò)解方程，即可得出x=5或x=-2，于是很多學(xué)生就直接將這兩個(gè)答案寫(xiě)在試卷上.但實(shí)際上來(lái)說(shuō)，這樣解題是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷W(xué)生在解題時(shí)，忽視了數(shù)學(xué)公式中的隱含條件，在a²+b²=x中，x的定義域是x≥0，因此x=5符合題意，x=-2不符合題意，應(yīng)舍去.

解析：乍一看這一題，難度系數(shù)比較高，但只要通過(guò)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，題目中已經(jīng)給出了函數(shù)y的代數(shù)式，且在求解的過(guò)程中，唯有結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)公式，充分挖掘題目中的隱含條件，即：x²-1≥0，1-x²≥0，x³+1≠0，學(xué)生才可在充足的解題條件中，將所有的不等式聯(lián)立起來(lái)，最終經(jīng)過(guò)求解得出x=1時(shí)，y=0，因此，2^{3x+1 990y}=8.

綜合這兩道數(shù)學(xué)題目，我們發(fā)現(xiàn)隱含條件都隱藏在既定的數(shù)學(xué)公式中，學(xué)生在解題時(shí)，唯有緊緊圍繞題目中涉及到的數(shù)學(xué)公式，充分挖掘其中的隱含條件，學(xué)生才能準(zhǔn)確地解答問(wèn)題.鑒于此，在日常教學(xué)中，教師必須要高度關(guān)注數(shù)學(xué)公式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)公式的深刻學(xué)習(xí)中奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)解題基礎(chǔ)^［2］.

1.3 基于圖形挖掘隱含條件

鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩大組成部分，且兩者之間相輔相成、互為促進(jìn).尤其是在數(shù)學(xué)解題的時(shí)候，許多條件都蘊(yùn)含在圖形中，學(xué)生唯有仔細(xì)觀察圖形，最大限度挖掘其中蘊(yùn)含的條件，方能在以形助數(shù)、以數(shù)促形中，明確數(shù)學(xué)解題思路.否則，一旦忽視了數(shù)學(xué)圖形的研究，就會(huì)導(dǎo)致隱含條件挖掘不夠，從而學(xué)生在解題時(shí)就會(huì)步步受限.

例5 如圖1所示，已知圓O的半徑為3 cm，B為圓外的一點(diǎn)，OB與圓相交于A點(diǎn)，已知AB=OA，點(diǎn)P到點(diǎn)A的圓上距離為π cm，對(duì)直線(xiàn)BP與圓O之間的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.

解析：題目已知條件中，已經(jīng)明確了圓的半徑和圓弧AP之間的距離，學(xué)生要想進(jìn)行計(jì)算，還應(yīng)圍繞圓弧AP和圓周長(zhǎng)之間的關(guān)系進(jìn)行探究，進(jìn)而對(duì)三角形AOP的形狀進(jìn)行證明，得出其是一個(gè)等邊三角形，并以此進(jìn)行求解.而這一解題思路的關(guān)鍵，就是隱藏在圖形中有關(guān)邊的關(guān)系，即根據(jù)題目中的已知條件可得出圓的周長(zhǎng)為6π cm.∵點(diǎn)P到點(diǎn)A的圓上距離為π cm，∴圓弧AP所對(duì)應(yīng)的圓心角∠O=60°.又OP=OA，∴△POA為等邊三角形，即AB=AP.在三角形PAB中，∵AB=AP，∠PAB=120°，∴∠ABP=∠APB=30°.因此，在三角形OPB中，∠OPB=90°，即直線(xiàn)BP與圓O之間的位置關(guān)系是相切.

基于上述條件，就針對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.針對(duì)①來(lái)說(shuō)，可將x=1帶入其中進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到二次函數(shù)的最小值為-4a，因此結(jié)論①正確；針對(duì)②來(lái)說(shuō)，-1≤x₂≤4，當(dāng)x₂=4時(shí)，y₂存在最大值，即y₂的最大值為a×（4+1）×（4-3）=5a，因此-4a≤y₂≤5a，所以本結(jié)論錯(cuò)誤；針對(duì)③來(lái)說(shuō)，若是要y₂＞y₁，可直接結(jié)合圖像得出x₂＞4或者x₂＜-2，本結(jié)論錯(cuò)誤；針對(duì)④來(lái)說(shuō)，因?yàn)閥=ax²+bx+c=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，因此得出b=-2a，c=-3a，將其帶入公式中，結(jié)合a≠0的條件，得出x₁=-1、x₂=3，因此本結(jié)論錯(cuò)誤.

結(jié)合上述兩道例題即可得知，多數(shù)數(shù)學(xué)題目已經(jīng)將大量的條件隱藏在圖像中，學(xué)生在解題的時(shí)候，唯有認(rèn)真觀察圖像，充分挖掘題目中隱藏的條件，才能充分發(fā)揮隱藏條件的價(jià)值，幫助學(xué)生迅速形成明確的解題思路^［3］.

1.4 基于題設(shè)挖掘隱含條件

在初中數(shù)學(xué)解題中，題設(shè)條件不僅僅是向?qū)W生傳達(dá)信息的重要載體，同時(shí)在題設(shè)中的關(guān)鍵之處，也為學(xué)生隱藏了大量的隱含條件.在這種情況下，學(xué)生在審題的時(shí)候，一旦稍有忽略，錯(cuò)過(guò)題目中的關(guān)鍵字眼，就會(huì)導(dǎo)致其在解題時(shí)，因?yàn)闊o(wú)法挖掘其中的隱含條件，導(dǎo)致其陷入到解題困境中.

例7 已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，7），并且在x軸上截取的線(xiàn)段長(zhǎng)為3，其圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，求該二次函數(shù)的解析式.

可見(jiàn)，在這一數(shù)學(xué)題目解答中，隱藏條件就蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)關(guān)系中，學(xué)生唯有具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從已有的數(shù)學(xué)關(guān)系出發(fā)，最大限度挖掘其中隱藏的條件，才能形成正確的解題思路.

2 隱含條件在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用價(jià)值總結(jié)

通常在數(shù)學(xué)考試中，不會(huì)直接將所有的條件都清晰地告訴學(xué)生，而是給學(xué)生設(shè)置了重重障礙.尤其是在新課程改革背景下，教師在教學(xué)中還承擔(dān)著培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重任.在這一背景下，數(shù)學(xué)考試題目的形式也隨之發(fā)生轉(zhuǎn)變，致使隱含條件越來(lái)越多.面對(duì)這一現(xiàn)狀，學(xué)生在解題之前，唯有具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)體系，并進(jìn)過(guò)認(rèn)真審題、分析和推理等，將題目中蘊(yùn)含的條件找出來(lái)，才能在此基礎(chǔ)上形成正確的解題思路.

可以說(shuō)，數(shù)學(xué)新課程改革背景下，培養(yǎng)學(xué)生的隱含條件發(fā)掘能力，具備十分重要的價(jià)值.首先，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.通過(guò)大量的例題證明，隱含條件是解題的關(guān)鍵，直接決定了學(xué)生的解題正確率.因此，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)有意識(shí)的訓(xùn)練，學(xué)生在解題的時(shí)候就會(huì)形成一種良好的習(xí)慣，不再局限于題目的表層含義中，而是認(rèn)真分析題目?jī)?nèi)涵，有意識(shí)地挖掘題目?jī)?nèi)部的隱含條件，使其在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，逐漸形成了良好的解題習(xí)慣；其次，有助于訓(xùn)練學(xué)生的思維.初中階段恰恰是思維培養(yǎng)的關(guān)鍵階段，而數(shù)學(xué)學(xué)科又被稱(chēng)之為“思維體操”，不僅僅對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提出了很高的要求，也是訓(xùn)練學(xué)生思維的最佳載體.隱含條件的挖掘過(guò)程，也是學(xué)生思維發(fā)展的過(guò)程，學(xué)生在要想將隱藏在題目中的隱含條件挖掘出來(lái)，必須要經(jīng)過(guò)一系列的觀察、推理、分析等活動(dòng)，而這些活動(dòng)均屬于思維活動(dòng)的范疇，也促使學(xué)生在挖掘隱含條件的過(guò)程中，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展；最后，有助于幫助學(xué)生建立其系統(tǒng)化的知識(shí)體系，推動(dòng)知識(shí)的遷移和應(yīng)用.數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間密切相關(guān)，學(xué)生在挖掘隱含條件時(shí)，常常會(huì)產(chǎn)生“以點(diǎn)帶面”的效果，將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)知識(shí)遷移，運(yùn)用其解決相關(guān)的問(wèn)題.可以說(shuō)，學(xué)生在挖掘隱含條件的過(guò)程中，也在很大程度上提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量^［5］.

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題中，隱含條件是解題的“突破口”，能否精準(zhǔn)找到題目中的隱藏條件，是影響學(xué)生正確解題的關(guān)鍵性因素.但是隱藏條件的尋找也并非易事，需要將其蘊(yùn)含到日常教學(xué)中，促使學(xué)生在解題訓(xùn)練中，逐漸習(xí)得這一方法與能力.鑒于此，作為一名優(yōu)秀的初中數(shù)學(xué)教師，在日常解題教學(xué)時(shí)，不僅要從思想觀念上重視隱含條件，還應(yīng)結(jié)合不同類(lèi)型的題目，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)隱含條件進(jìn)行歸類(lèi)，并借助有意識(shí)的訓(xùn)練，使得學(xué)生真正掌握這一技能，全面提升學(xué)生自身的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

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［2］張翔.淺析初中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2022（11）：1416.

［3］濮維.談隱含條件在初中數(shù)學(xué)解題中的重要作用［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（4）：7678.

［4］王志軍.發(fā)掘隱含條件 助力數(shù)學(xué)解題——初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2021（32）：67.

［5］王從利.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的應(yīng)用思考［J］.數(shù)學(xué)大世界（上旬），2021（11）：2123.