張茂祥

摘要：本文結(jié)合非邏輯思維中的直覺(jué)思維、形象思維、靈感思維及其綜合運(yùn)用，探討發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑，對(duì)于提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性有一定的啟發(fā)和指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：非邏輯思維;直覺(jué)思維;形象思維;靈感思維;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，存在許多不受具體模式限制的不合邏輯的思維方式，這些非邏輯思維極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。非邏輯思維是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，創(chuàng)新數(shù)學(xué)理論的重要工具，同時(shí)也對(duì)學(xué)習(xí)和發(fā)展數(shù)感非常重要。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)創(chuàng)造一切機(jī)會(huì)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的非邏輯思維能力，以發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。接下來(lái)，我談?wù)勗诮虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生非邏輯思維能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一些實(shí)踐和思考。

一、 培養(yǎng)直覺(jué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

直覺(jué)思維是一種沒(méi)有完整的分析過(guò)程與邏輯程序的思維類(lèi)型，它依靠靈感或洞察力快速理解并做出判斷和結(jié)論。這種直覺(jué)給我們帶來(lái)了解決問(wèn)題的快速性和猜測(cè)性。當(dāng)然直覺(jué)思維也是我們平時(shí)長(zhǎng)期大量邏輯思維的積累。愛(ài)因斯坦曾指出真正有價(jià)值的思維是直覺(jué)思維，僅靠傳統(tǒng)的邏輯思維很難甚至不可能發(fā)現(xiàn)新的東西。因此在平時(shí)的教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)直覺(jué)思維的訓(xùn)練，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)是十分必要和重要的。

【例1】（2019年福建省中考題）若二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)

解析：〖HTK〗本題參數(shù)多且沒(méi)有圖像，大多數(shù)同學(xué)看到后無(wú)從下手，若用常規(guī)方法求解費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且做對(duì)的概率極小。若能直覺(jué)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，利用函數(shù)圖像的直觀性來(lái)求解，問(wèn)題輕松就能解出來(lái)。由點(diǎn)A（m，n）、C（3-m，n）的對(duì)稱(chēng)性，可求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3 2，再由|a|>0可知函數(shù)開(kāi)口向上，這樣就輕易地能畫(huà)出函數(shù)的草圖來(lái)（如圖1），再由B（0，y1）、D 2y2）、E（2，y3）與對(duì)稱(chēng)軸的距離，根據(jù)圖像的直觀性能輕松地得出y1>y3>y2，從而輕易得到答案。

評(píng)析：上述解題方法基于第一直覺(jué)。因?yàn)檫@是一個(gè)二次函數(shù)問(wèn)題，立刻想到了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)題意畫(huà)出了該題的圖形，然后利用圖形的直觀特性，抽象出圖形與數(shù)量之間的一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)化了解題的過(guò)程和方法，很容易解決問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中，培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。

二、 培養(yǎng)形象思維，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

形象思維是運(yùn)用圖像，直觀模型來(lái)研究問(wèn)題，它不是以知識(shí)點(diǎn)和公式定理來(lái)進(jìn)行思維，而是用直觀形象來(lái)研究思維，這種形象直觀的思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用。

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面，它主要包括：從實(shí)際問(wèn)題模型中的數(shù)學(xué)方面分析問(wèn)題和構(gòu)造問(wèn)題、使用模型來(lái)解決和驗(yàn)證結(jié)論，從而解決實(shí)際問(wèn)題。

【例2】 如圖2，已知直線l1：y=4 3x+4與y軸交與A點(diǎn)，將直線l1繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至l2，求l2的函數(shù)解析式。

解析：〖HTK〗本題許多學(xué)生拿到手后無(wú)從下手，若能撲捉題目中的關(guān)鍵信息和熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)基本模型，則該問(wèn)題能輕而易舉地解決。抓住45°這個(gè)條件，過(guò)點(diǎn)B作直線AB的垂線交l2于點(diǎn)C，再過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線（如圖3），則構(gòu)成了一個(gè)等腰直角三角形和數(shù)學(xué)中最常用的如圖4所示的“一線三等角型”的數(shù)學(xué)模型，輕松求出了點(diǎn)C的坐標(biāo)，問(wèn)題就解決了。

評(píng)析：上面解題是利用了“一線三等角型”的數(shù)學(xué)模型的特征，在實(shí)際問(wèn)題中巧妙構(gòu)建了該模型、再利用該模型求解，從而解決實(shí)際問(wèn)題。以上解題過(guò)程中，正是緣于直觀圖形的特征，我們將隱含條件進(jìn)行了補(bǔ)充作了輔助線，抽象成數(shù)學(xué)基本模型，使問(wèn)題變得具體，隱含變得清晰，使數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展。

三、 培養(yǎng)靈感思維，發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)

靈感是一種特殊的思維方式，通常它是指人們?cè)谡J(rèn)真思考某一個(gè)問(wèn)題，且經(jīng)過(guò)苦苦思索挖空心思仍無(wú)答案時(shí)，卻因受某種特殊原因的啟發(fā)，突然間出現(xiàn)出了解決問(wèn)題的方法。在科學(xué)史上，可以找到很多科學(xué)家因靈感而發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、新定理的故事。如相傳最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的畢達(dá)哥拉斯，靈感來(lái)源于方格地板;牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，因?yàn)樗惶O(píng)果擊中了。在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，很多人都碰到過(guò)對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題長(zhǎng)時(shí)間束手無(wú)策，但突然一個(gè)靈感，一條輔助線，一個(gè)模型，一個(gè)方法就使問(wèn)題得到解決的經(jīng)歷。

【例3】?（2018年福建省中考題）如圖5，直線y=x+m與雙曲線y=3 x相交于A，B兩點(diǎn)，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值為。

解析：本題如果直接求解，需要利用參數(shù)設(shè)出A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線的解析式解方程組，再利用根與系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)最值等知識(shí)才能求出來(lái)，要解煩瑣的字母方程運(yùn)算量大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力做對(duì)的可能性較小。若能直觀圖形的特征，憑靈感問(wèn)題瞬間獲得解決，且計(jì)算量小省時(shí)省力。因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，要其面積最小，只要斜邊最小即可，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性我們知道只有當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí)，AB最短，此時(shí)AB的解析式為直線y=x，這樣輕松求到了A、B的坐標(biāo)，從而快速求出了△ABC面積的最小值。

評(píng)析：上述解題方法基于第一直覺(jué)和靈感，觀察到圖形的特征，直觀地從圖形中想象出特殊的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，從而輕松解決問(wèn)題，在這一過(guò)程中，直觀想象的核心素養(yǎng)得到了發(fā)展。

四、 多策略培養(yǎng)非邏輯思維，豐富和發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)

從上述例子中，我們不難看出，非邏輯思維相比邏輯思維具有思維跳躍性強(qiáng)，靈活多變，迅速得出結(jié)果的優(yōu)勢(shì)。因此，我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中，應(yīng)該給予足夠的重視，并在潛移默化中培養(yǎng)其非邏輯思維能力，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。具體說(shuō)來(lái)，應(yīng)該從以下幾點(diǎn)著手：

1. 著重培養(yǎng)學(xué)生的思維跨度，倡導(dǎo)大步驟和跳躍思維。解題中要鼓勵(lì)學(xué)生加強(qiáng)思維的跳躍性和跨越性，解題時(shí)要重實(shí)質(zhì)輕形式，注重方法簡(jiǎn)單、實(shí)用和巧妙。

2. 著重培養(yǎng)學(xué)生思維的聯(lián)想跨度，培養(yǎng)學(xué)生敢于把我們平時(shí)易忽視的、習(xí)慣上認(rèn)為毫無(wú)關(guān)系的問(wèn)題聯(lián)想起來(lái)，充分挖掘它們之間的聯(lián)系，抽象出一般的結(jié)果和規(guī)律。

3. 著重培養(yǎng)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)化跨度，鼓勵(lì)學(xué)生敢于否定原有方法，敢于打破固定思維。學(xué)習(xí)中我們很容易形成思維定勢(shì)，因此平時(shí)要鼓勵(lì)學(xué)生敢于轉(zhuǎn)換思路，多方面多角度轉(zhuǎn)換思路和方法去探究。

【例4】 （2019年福建省中考題）如圖6，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中心與半徑為2的⊙O的圓心重合，E、F分別是AD、BA的延長(zhǎng)與⊙O的交點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是。（結(jié)果保留π）

解析：本題若用常規(guī)方法求解，要添加大量的輔助線，證三角形全等和復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)換等才算得出來(lái)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力且易算錯(cuò)。若能打破固定思路，大膽跳躍思維展開(kāi)相關(guān)的聯(lián)想，聯(lián)想到我們非常熟悉的“趙爽弦圖”，這時(shí)靈感就來(lái)了，只要如圖7所示，延長(zhǎng)DC、CB分別交圓于M、N兩點(diǎn)，這時(shí)小正方形外圍的四個(gè)圖形面積就一樣了，陰影部分的面積就等于大圓面積減去中間小正方形面積的差的四分之一，這樣問(wèn)題就輕松解決了。

評(píng)析：以上求解直觀地利用了圖形的結(jié)構(gòu)特征，打破陳規(guī)進(jìn)行了聯(lián)想大步驟地跳躍思維，將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題不費(fèi)吹灰之力就解決了，在直觀與聯(lián)想跳躍思維的過(guò)程中，豐富和發(fā)展了邏輯推理核心素養(yǎng)。

從以上的分析中，我們不難明白，非邏輯思維是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，創(chuàng)新數(shù)學(xué)理論的重要工具，非邏輯思維能力的培養(yǎng)是學(xué)生綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的必要和重要內(nèi)容，同時(shí)非邏輯思維對(duì)于我們學(xué)習(xí)和發(fā)展數(shù)學(xué)也非常重要。因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)足夠重視這項(xiàng)工作，創(chuàng)造一切機(jī)會(huì)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的非邏輯思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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