【摘要】即將頒布的《普通高中數(shù)學課程標準》認為數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關鍵能力，提出了六個具體的數(shù)學核心素養(yǎng)要素，其中之一是數(shù)學運算，并對數(shù)學運算進行了內(nèi)涵和外延的闡述。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》沒有提出核心素養(yǎng)的理念和目標，但是提出的十個核心詞之一的運算能力，與數(shù)學運算相對應；二者的界定有所區(qū)別。綜上所述，本文界定了小學數(shù)學核心素養(yǎng)體系下的運算能力，并從數(shù)學認知、數(shù)學思想、個人發(fā)展這三個維度論述運算能力。

【關鍵詞】數(shù)學核心素養(yǎng) 數(shù)學運算 運算能力

關于運算能力，筆者在《小學數(shù)學教育》雜志2012年第10期發(fā)表的《小學數(shù)學運算能力的培養(yǎng)應與時俱進》及2016年第4期發(fā)表的《小學數(shù)學計算教學改革的有效探索》均進行了主要觀點的闡述，為什么還要再寫這方面的文章呢？一是數(shù)學核心素養(yǎng)成為數(shù)學教育界的熱門話題，運算能力在數(shù)學核心素養(yǎng)中的地位和意義是什么？二是經(jīng)常有中學數(shù)學教師通過各種方式給我們提建議，應加強小學數(shù)學與中學數(shù)學的銜接，其中加強計算能力的培養(yǎng)是一個重要方面。從而促使我不斷地思考數(shù)學核心素養(yǎng)下的運算能力究竟是什么，這是撰寫本文的初衷。

談起數(shù)學核心素養(yǎng)，首先要從高中說起，因為這個話題是從高中課程改革開始的。

一、高中數(shù)學核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算

即將頒布的《普通高中數(shù)學課程標準》（以下簡稱《高中課標》）把數(shù)學核心素養(yǎng)描述為：“數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的。數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關鍵能力。高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體?！?/p>

《高中課標》的課程目標為：“通過高中數(shù)學課程的學習，獲得進一步學習以及未來發(fā)展必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”）；提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）；學會用數(shù)學眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng)；學會用數(shù)學思維分析世界，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；學會用數(shù)學語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)?！?/p>

根據(jù)以上目標闡述，高中數(shù)學核心素養(yǎng)主要有六個，前三個為：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模，即義務教育階段“四基”中的第三基；后三個為：直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析，基本上代表了幾何、數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計三大領域的基本思想或者能力。高中課程目標基本上延續(xù)和傳承了義務教育階段的“四基”“四能”目標；并在此基礎上概括數(shù)學核心素養(yǎng)，同時把數(shù)學核心素養(yǎng)與“學會用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界”（可概括為“三用”）融合，體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)，即外延。

由此可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學核心素養(yǎng)和“三用”是對“四基”“四能”目標的進一步提煉、聚焦和提升，是整體數(shù)學素養(yǎng)中的精華部分，是把數(shù)學能力從數(shù)學內(nèi)部和一般生活中的應用上升到用數(shù)學面對現(xiàn)實世界的高度，即具備數(shù)學核心素養(yǎng)的標志是學會“三用”。

六個數(shù)學核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算，《高中課標》是這樣界定的：“數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等?！睌?shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，同時數(shù)學運算是一種演繹推理，是計算機解決問題的基礎。

《高中課標》對數(shù)學運算的界定，既說明了內(nèi)涵是什么，又比較全面地對外延做了闡述。即數(shù)學運算不僅僅關注運算的結果，還包括對問題的理解和分析、解決問題的過程與方法，這個問題不僅僅是純數(shù)學問題，更重要的是現(xiàn)實生活中的問題，這是具備核心素養(yǎng)的標志。

二、《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中的運算能力

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《義務課標》）關于運算能力，是這樣描述的：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?！薄稊?shù)學課程標準（2011年版）解讀》明確指出：“運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡潔。換言之，運算能力不僅是一種數(shù)學的操作能力，更是一種數(shù)學的思維能力?！?/p>

從《義務課標》對運算能力的描述來看，其著眼點在正確運算上，其次是理解算理和解決問題。

而《高中課標》沒有用“運算能力”這個概念，而是用“數(shù)學運算”代替，其著眼點在解決問題的素養(yǎng)上，其外在表現(xiàn)是理解問題、掌握法則、探究思路、選擇算法等。

從《義務課標》到《高中課標》對運算闡述的變化來看，把運算從傳統(tǒng)的強調(diào)純數(shù)學計算正確的技能，向解決問題、理解問題、掌握法則、探究思路、選擇算法等數(shù)學核心素養(yǎng)的高度轉(zhuǎn)變，強調(diào)了數(shù)學核心素養(yǎng)目標的重要性和貫徹落實。這個變化既是理念的轉(zhuǎn)變，又是能力的轉(zhuǎn)變，當然解決問題的能力包括正確計算的能力，包括理解算理等方面，即體現(xiàn)了數(shù)學知識觀的轉(zhuǎn)變。

三、小學數(shù)學核心素養(yǎng)體系下的運算能力

關于小學數(shù)學核心素養(yǎng)，筆者在《小學數(shù)學教育》2016年第12期發(fā)表的《學生發(fā)展核心素養(yǎng)視域下的小學數(shù)學核心素養(yǎng)》中已經(jīng)進行闡述。主要是從數(shù)學認知、數(shù)學思想、個人發(fā)展三個維度來分析，這三個維度并不是并列和獨立的關系，是融為一體的，數(shù)學認知既是數(shù)學思想和個人發(fā)展的基礎和載體，又是一個形成和運用數(shù)學思想、個人發(fā)展的心理活動。形成數(shù)學核心素養(yǎng)的終極標志是實現(xiàn)個人發(fā)展、用數(shù)學思想面對現(xiàn)實世界。

綜上所述，小學數(shù)學核心素養(yǎng)體系下的運算能力可以理解為：數(shù)學運算是指在理解算理和運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則和運算律進行正確計算并解決問題的素養(yǎng)，主要包括：理解算理和運算對象，掌握運算法則，分析數(shù)量關系，選擇運算方法，求得運算結果等。

對運算能力這樣界定，體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)的要求，只有理解算理和運算對象，掌握運算法則，分析數(shù)量關系的正確計算和解決問題的方法，才是具備數(shù)學核心素養(yǎng)的標志。

據(jù)有關抽樣檢測表明：我國四年級學生筆算乘法的正確率是76%，居世界前列，這是可喜的結果。但是這個檢測并沒有對學生理解算理的情況進行檢測，我們并不知道76%的學生中理解算理的學生所占的比例，這值得進一步調(diào)查研究。也就是說，按照數(shù)學核心素養(yǎng)的要求，76%中的部分學生在運算能力上可能不具備數(shù)學核心素養(yǎng)的標志。具有數(shù)學思維和思想方法含金量的計算技能是可持續(xù)發(fā)展的，是對中學以及后續(xù)學習有支撐的。

有大學對大學生入學后用當年高考數(shù)學試卷隔一段時間進行測試，研究表明，學生數(shù)學高考成績平均達125分，到大學一段時間后的數(shù)學平均成績降到只有60分。也就是說，學生高中畢業(yè)后，有些知識技能會逐漸遺忘。通俗地說就是高中畢業(yè)多年后還有沒遺忘的東西，還能夠繼續(xù)用數(shù)學的理性思維去學習、面對世界，繼續(xù)會“三用”，這是數(shù)學核心素養(yǎng)形成的重要標志。

下面從數(shù)學認知、數(shù)學思想、個人發(fā)展這三個維度論述運算能力。

（一）數(shù)學認知

數(shù)學認知就是不斷構建數(shù)學認知結構的心理活動。數(shù)學認知結構是形成數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎，而數(shù)學認知結構的完善程度決定了核心素養(yǎng)水平的高低。在數(shù)學認知維度中，主要包括三個方面：數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)律、數(shù)學關系。

1.與運算能力相關的概念

在課程改革和核心素養(yǎng)的理念下，我們應堅持這樣一個觀點，人的數(shù)學能力包括：考試能力、生活能力和工作能力，而不應該把考試能力排除在外。另外，有研究表明：學生的數(shù)學成績與對數(shù)學概念的理解和表征水平正相關，因此，數(shù)學核心素養(yǎng)下的運算能力在強調(diào)解決問題的同時，仍然要加強純數(shù)學運算能力的培養(yǎng)，加強對概念的理解。

（1）整數(shù)、小數(shù)。數(shù)是對數(shù)量的抽象，我們一般的計數(shù)系統(tǒng)采用的是十進位值制，其核心要素有兩個：數(shù)字符號和位值制（數(shù)位）思想，即把十個數(shù)字符號中的若干個放在不同的數(shù)位上，即表示了一個數(shù)的大小。把握了這個本質(zhì)，才有利于理解算理和算法。當然，低年級學生理解數(shù)的抽象意義是有困難的，但是要逐步讓學生通過各種方式去感悟。

（2）分數(shù)。分數(shù)產(chǎn)生于度量和除法計算的需要，因此，分數(shù)也是從表示一個量的大小中抽象出來的，即分數(shù)與整數(shù)、小數(shù)類似，也是表示大小的數(shù)，這樣的分數(shù)可以帶計量單位。另外，分數(shù)還可以表示兩個數(shù)（量）之間的倍數(shù)（比例）關系，如蘋果是梨的個數(shù)的1/3，即蘋果的數(shù)量：梨的數(shù)量=1：3，這樣的分數(shù)不能帶計量單位，百分數(shù)就是這樣的分數(shù)中分母是100的分數(shù)。

分數(shù)單位是分數(shù)系統(tǒng)中的重要概念，是理解分數(shù)四則運算算理的基礎，尤其是分母為10、100……的分數(shù)單位，是小數(shù)概念的基礎。

（3）四則運算。任何一個具體的數(shù)的運算，包括四則混合運算，本質(zhì)上都是把一些數(shù)按照一定的法則重新組合，最終求得一個結果，這個結果還是一個數(shù)。這樣有利于理解算理算法，如9+3=？這是十進位值制計數(shù)系統(tǒng)的自然數(shù)加法計算，把9和3兩個數(shù)合起來，其結果是十進位值制計數(shù)系統(tǒng)的一個自然數(shù)；因為是十進位值制，所以當結果超過9，個位不夠用時，就要用兩個數(shù)位（十位、個位）來表示，因此產(chǎn)生了湊十法，即把3分成1和2，9和1湊成10，9+3=9+1+2=10+2=12，結果是12。如果是十二進制，就是湊十二法。

再如，乘法和除法的豎式與橫式只是形式上的變化，它們的意義沒有變。多數(shù)學生能夠把橫式432×6理解成6個432相加，乘法是加法的簡便算法；而有些學生對豎式就束手無策了，不理解其意義，這說明有些學生對十進位值制的計數(shù)原理沒有真正理解，無論乘法還是除法，每一步計算的結果表示多少？寫在什么位上？這需要理解十進位值制的計數(shù)原理。當然，對于有些學習困難的學生，需要借助幾何直觀來理解算理算法。如：有6排小棒，每排432根，一共有多少根？那么學生就應該理解這樣的題用加法算比較麻煩，用乘法口算容易出錯，所以要用乘法豎式計算；即6要與432這三個數(shù)字分別相乘，分別表示有多少個百、十、一，超過十的要進位；同時理解每步乘錯了就會把小棒的數(shù)量算錯，哪個數(shù)字漏乘，就會少算一部分小棒。因此乘錯和漏乘都是不可以的。

2.與運算能力相關的規(guī)律

什么是數(shù)學中的規(guī)律？什么是數(shù)學中的關系？二者有什么區(qū)別？筆者經(jīng)過思考和研究，還無法完全分清二者的區(qū)別，就數(shù)學教育界而言，似乎也沒有嚴格的區(qū)分。那么，什么是數(shù)學中的規(guī)律呢？筆者認為規(guī)律類似于數(shù)學中的“真理”，如性質(zhì)、法則、運算律、定理、公理等，是在數(shù)學概念的基礎上抽象概括出來的通理通法，是運算和推理的依據(jù)。

與運算能力相關的規(guī)律主要有：（1）整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、比的性質(zhì)；（2）四則運算的法則；（3）四則混合運算的順序；（4）運算律。

3.與運算能力相關的關系

什么是數(shù)學中的關系呢？（集合論對此有特定的抽象的定義，我們這里不做討論）我們通過一些例子來說明什么是關系，生活中我們說同事關系、朋友關系、夫妻關系、母子關系等，小學數(shù)學中有因數(shù)和倍數(shù)的關系，如8是4的倍數(shù)，4是8的因數(shù)；如果速度一定，路程與時間成正比例關系。我們發(fā)現(xiàn)這些例子有一些共性，就是關系一般會涉及兩個或者兩個以上的量（事物），他們之間通過某種法則對應。如果從廣義上來理解關系，還可以用聯(lián)系、關聯(lián)、結構等詞匯描述關系，如數(shù)學知識之間的聯(lián)系和關聯(lián)，形成數(shù)學知識結構，數(shù)學知識結構是屬于數(shù)學的，只有通過各種方法和途徑把數(shù)學知識結構轉(zhuǎn)化為學生的認知結構，才是屬于學生的。即學生的數(shù)學認知結構是數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎，結構化的數(shù)學可以使學生舉一反三、聞一知十、既見樹木又見森林，實現(xiàn)數(shù)學認知的高級目標。

（1）可視的結構。主要是各種數(shù)學模型，如：四則運算各部分間的關系式、幾何公式、數(shù)量關系式、方程、函數(shù)等。

（2）隱形的結構。主要是知識間的關聯(lián)和結構化，如：整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的關聯(lián)，有理數(shù)與無理數(shù)的關聯(lián)，圖形之間的關聯(lián)，數(shù)與形的關聯(lián)，數(shù)學與生活、數(shù)學與其他學科的關聯(lián)等。這些結構由于比較隱蔽，往往被很多教師忽視，而這種結構化更能夠體現(xiàn)數(shù)學的高級知識結構和認知結構。

如：除法、分數(shù)、比這三個知識點之間的關聯(lián)性很強，學生在掌握除法的概念和性質(zhì)的基礎上，分數(shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)就可以運用關聯(lián)思想（普遍聯(lián)系）和類比推理方法，結合數(shù)形結合的方法，自主探究推出。到了初中，可以進一步地推出分式的基本性質(zhì)。其中蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，還包括變中有不變的思想、恒等變形方法等。

（二）數(shù)學思想

從數(shù)學運算與其他核心素養(yǎng)的關系來看，數(shù)學抽象和數(shù)學推理是數(shù)學運算的基礎和手段，直觀想象是理解運算和培養(yǎng)運算能力的重要方法，運算能力是數(shù)學模型和數(shù)據(jù)分析的重要保障。在前文提到的筆者發(fā)表的文章中把運算與推理整合，主要是考慮小學數(shù)學中的推理并不是初中的幾何推理證明，而是主要體現(xiàn)在數(shù)與計算的內(nèi)容中，尤其是計算中算理的理解，體現(xiàn)了推理思想，而這方面是傳統(tǒng)計算教學中的弱項，為了加強計算算理和推理思想的教學，把運算和推理整合為運算推理思想。當然，除了運算外，在小學數(shù)學其他領域中同樣存在很多推理思想。

數(shù)學抽象，這個思想看起來不容易理解其內(nèi)涵及教學應用，實際上數(shù)學學習時刻離不開抽象，當然，只有抽象還不夠，概念、性質(zhì)等的學習還需要歸納和概括。如：教學數(shù)的認識時，通過對數(shù)量的數(shù)學抽象，先歸納概括形成了整數(shù)的十進位值制計數(shù)系統(tǒng)，再進一步推廣到小數(shù)、分數(shù)，進行關聯(lián)和整合，就把數(shù)系擴展到實數(shù)。十進位值制計數(shù)原理是整數(shù)、小數(shù)（甚至分數(shù)）計算的基礎。

（三）個人發(fā)展

在個人發(fā)展維度中，主要包括：思考自學、合作交流、創(chuàng)新實踐。思考自學就是要把學生放在主體地位上，建立以學生為主體的教學模式，培養(yǎng)學生獨立思考、理性思維、自主學習的能力。合作交流固然重要，但前提是每個人需要具備獨立思考和自主學習的能力。創(chuàng)新實踐主要包括創(chuàng)新思維和實踐能力兩個方面，創(chuàng)新思維的重點是培養(yǎng)學生具有好奇心和想象力，敢于質(zhì)疑；善于提出新觀點、新方法、新設想，并進行理性分析，做出獨立判斷等。實踐能力主要是問題解決，重點是善于發(fā)現(xiàn)和提出問題；有解決問題的興趣和熱情；能依據(jù)特定情境和具體條件，選擇制定合理的解決方案等。

俗話說：教之道在于度，學之道在于悟。不同的教師可以有不同的教學風格，整體上要把握教師的講授與學生自學、思考、交流的關系與平衡。教學過程中要讓所有學生先獨立思考，讓更多學生表達想法，彼此思想產(chǎn)生碰撞，再交流討論，使得學生有時間去悟。如果學生有時間和空間去做、去說、去悟，活動經(jīng)驗自然就積累了，與其說積累活動經(jīng)驗是一個教學目標，不如說是一個師生關系的問題。

2016年10月在西安舉辦的全國小學數(shù)學核心素養(yǎng)下的數(shù)與計算教學觀摩交流會，總體上很好地體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)體系下的基本理念、思想和教學方法。如啟發(fā)引導學生加強新舊知識的比較和類比，結合幾何直觀、運用推理把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識；在此基礎上理解算理、掌握算法，形成計算法則的認知結構，通過適當訓練達到熟練計算，培養(yǎng)運算能力，包括解決一些實際問題。教學目標完成度好、師生關系融洽、加強學生自主探究與合作交流、教學過程層次清楚。因篇幅所限，這里不再舉例說明，感興趣的教師可以登錄人教網(wǎng)觀看視頻。

【參考文獻】

[1]馬云鵬.關于數(shù)學核心素養(yǎng)的幾個問題[ J ].課程·教材·教法，2015（9）.

[2]中華人民共和國教育部.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《數(shù)學課程標準（2011年版）解讀》[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]王永春.《小學數(shù)學與數(shù)學思想方法》[M].上海：華東師范大學出版社，2014.