楊繼紅

摘? 要：雞兔同籠，是中國(guó)古代著名典型趣題之一，記載于《孫子算經(jīng)》之中。通過(guò)分析雞兔同籠問(wèn)題的不同解法的具體過(guò)程，幫助學(xué)生從多方面理解雞兔同籠問(wèn)題的解題策略，在合作探究中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，滿足學(xué)生追求個(gè)性發(fā)展的需求。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);雞兔同籠;解法探析;分層次教學(xué)

一、引言

“雞兔同籠”是我國(guó)古算書(shū)《孫子算經(jīng)》中著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其內(nèi)容是：“今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問(wèn)雉兔各幾何。”意思是：有若干只雞和兔在同個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有三十五個(gè)頭;從下面數(shù)，有九十四只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

這就是雞兔同籠問(wèn)題，此題出現(xiàn)在北師大版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)數(shù)學(xué)好玩板塊中，本文將從教師通過(guò)層次化教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的角度出發(fā)，梳理雞兔同籠的不同解法，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身學(xué)習(xí)情況選擇不同的解題方法，滿足不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)的需求。

二、雞兔同籠問(wèn)題的解法探析

例題：雞兔同籠，有9個(gè)頭，26條腿。雞、兔各有多少只？（以下所有的解法探析都是建立在此例題的基礎(chǔ)上。）

解法一：列表枚舉法。

題目中雞和兔的只數(shù)都不確定，只給出了雞和兔的總頭數(shù)和總腿數(shù)，考慮到每只雞和兔的腿并不相同，所以選擇從雞和兔的頭數(shù)也就是只數(shù)入手會(huì)容易些?？紤]到雞和兔的總頭數(shù)數(shù)值上不是很大，可以進(jìn)行一一枚舉。

答：雞有5只，兔有4只。

解法二：假設(shè)法。

題目中雞和兔的只數(shù)被限定在0～9之間（包括0和9），我們可以假設(shè)其中一種動(dòng)物如雞有9只，此時(shí)兔有0只，然后把得到腳數(shù)與題目中的腳數(shù)進(jìn)行比較，計(jì)算出兩則的差。此時(shí)計(jì)算得出實(shí)際有腿18條，比題目中雞和兔的總腿數(shù)少了8條。仔細(xì)探究后發(fā)現(xiàn)雞和兔總腿數(shù)少的原因是因?yàn)榘淹卯?dāng)作了雞來(lái)計(jì)算，因?yàn)橐恢浑u比一只兔少了2條腿，也就是說(shuō)如果我們把一只兔當(dāng)作一只雞來(lái)計(jì)算時(shí)實(shí)際計(jì)算出的雞和兔的總腿數(shù)就會(huì)少2條。此時(shí)用所得的腳數(shù)差除以2所得結(jié)果就是把幾只兔當(dāng)作了雞來(lái)計(jì)算，也便得出兔的只數(shù)。用雞和兔的總只數(shù)減去兔的只數(shù)進(jìn)而求出雞的只數(shù)。

[9×2=18]（條）? ? [26-18=8]（條）

[8÷2=4]（只）? ? ? [9-4=5]（只）

答：雞有5只，兔有4只。

三、砍腳法

因?yàn)殡u和兔各自的只數(shù)不確定，所以從雞和兔的總腿數(shù)的角度難以解題。但一只雞有2條腿，一只兔有4條腿是確定的，可以嘗試從雞和兔的條數(shù)入手解題。如果我們砍去每只雞和每只兔的2條腿，所以雞的腿都被砍去了，而剩下的腿都是兔子的腿，并且此時(shí)每只兔子只有2條腿。用剩余腿數(shù)除以2便得到兔子的只數(shù)，再用雞和兔的總只數(shù)減去兔的只數(shù)就可以算出雞的只數(shù)。

[9×2=18]（條）? ? [26-18=8]（條）

[8÷2=4]（只）? ? ? [9-4=5] （只）

答：雞有5只，兔有4只。

四、簡(jiǎn)易方程法

應(yīng)用一元一次方程解題時(shí)需要從實(shí)際問(wèn)題中尋找等量關(guān)系，抽象成一元一次方程可解決的問(wèn)題。題目中告訴我們雞和兔共有9個(gè)頭，也就是雞和兔一共有9只，此時(shí)我們可以利用雞和兔的只數(shù)的角度來(lái)設(shè)未知數(shù)，分別計(jì)算出雞和兔的腿數(shù)，根據(jù)雞和腿的總腿數(shù)為26條列出等量關(guān)系。假設(shè)雞有[x]只，那么兔的只數(shù)就是[9-x]只，根據(jù)每只雞有2條腿，每只兔有4條腿，雞的總腿數(shù)[2x]加上兔的總腿數(shù)[4×（9-x）]等于總腿數(shù)26。

解：設(shè)雞有[x]只，兔有[9-x]只。

[2x+4×（9-x）=26]

[2x+36-4x=26]

[36-26=4x-2x]

[2x=10]

[x=5]

[9-4=5] （只）

答：雞有5只，兔有4只。

五、雞兔同籠問(wèn)題分層次學(xué)法指導(dǎo)

“為了每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展”是基礎(chǔ)教育課程改革的核心，但是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的差異性是實(shí)實(shí)在在存在的。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)對(duì)學(xué)生的觀察、測(cè)試、摸底依據(jù)學(xué)生的成績(jī)、認(rèn)知能力、心理素質(zhì)、學(xué)習(xí)習(xí)慣等，把學(xué)生大體分為A、B、C三層。A層的基礎(chǔ)相對(duì)比較扎實(shí)，學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)良。B類的基礎(chǔ)水平一般。C層的基礎(chǔ)相對(duì)落后。

列表枚舉法需要將可能存在的情況一一枚舉，填寫(xiě)在表格中，這類方法雖然過(guò)程有些繁瑣但簡(jiǎn)單易懂。當(dāng)數(shù)據(jù)比較小時(shí)運(yùn)用此方法就比較形象直觀，易于理解，當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)就會(huì)增加計(jì)算的難度，使問(wèn)題變得繁瑣復(fù)雜。結(jié)合C層學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，抽象思維和理解能力不強(qiáng)易于接受直觀性知識(shí)的特點(diǎn)，教師在教學(xué)中可適當(dāng)引導(dǎo)采用此類方法解題。

使用一元一次方程解題需要在實(shí)際問(wèn)題中尋找等量關(guān)系且熟悉解方程的步驟，這種方法較列表枚舉法雖然便捷但同時(shí)對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力提出了更高的要求。砍腿法雖然算式看上去比較簡(jiǎn)便，但也需要學(xué)生有豐富的生活閱歷和較強(qiáng)的理解能力為基礎(chǔ)，B層學(xué)生能夠掌握基本知識(shí)和一定學(xué)習(xí)方法，對(duì)方程解題也熟悉，教師在教學(xué)中可引導(dǎo)他們采用這兩類方法解題。

假設(shè)法適合解決雞兔同籠問(wèn)題的各種題型但因?yàn)槠浔容^抽象難以理解，所以對(duì)邏輯思維要求比較高，結(jié)合A層學(xué)生基礎(chǔ)比較扎實(shí)，思維靈活，理解能力強(qiáng)且學(xué)習(xí)習(xí)慣好，愛(ài)專研的特點(diǎn)，教師可引導(dǎo)此類學(xué)生采用假設(shè)法解題。

我們不可能用一把尺子去量時(shí)間萬(wàn)物，同樣我們不能用同樣的標(biāo)準(zhǔn)去衡量不同的學(xué)生。每個(gè)學(xué)生雖說(shuō)都不是完美的但都有著自己特有的閃光點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)用欣賞的眼光看待每位學(xué)生，在日常的教學(xué)中以生為本，從學(xué)生的學(xué)習(xí)效果來(lái)中不斷改進(jìn)教學(xué)方法，指導(dǎo)學(xué)生找到適合他們自己的學(xué)習(xí)方法，為學(xué)生的發(fā)展奠基。

參考文獻(xiàn)

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