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        在小學數(shù)學課堂教學中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想的案例研析

        2018-03-06 11:15:48陳仕軍
        新課程·小學 2018年12期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學核心素養(yǎng)數(shù)學思維數(shù)形結(jié)合

        陳仕軍

        摘 要:數(shù)學的本質(zhì)特性之一是抽象性。然而,小學數(shù)學教學要求抽象的東西形象化,又通過直觀的形象來深化抽象的內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合的思想就是通過數(shù)形之間的對應(yīng)關(guān)系來研究問題、解決問題。通過數(shù)形結(jié)合,可使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀、易理解、易接受;將直觀的圖形數(shù)量化,轉(zhuǎn)化成數(shù)學運算,可以降低難度,使理解更加深刻。數(shù)學家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”。正說明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性,對提高學生的數(shù)學能力與促進思維品質(zhì)的發(fā)展有著獨特的價值?!读x務(wù)教育數(shù)學課程標準》也指出課程內(nèi)容的學習,強調(diào)學生的數(shù)學活動,發(fā)展學生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念以及應(yīng)用意識與推理能力。發(fā)展學生的空間觀念、數(shù)感和符號感在本質(zhì)上講就是一種數(shù)形結(jié)合思想,這三個目標之間并非相互獨立,而是一個互相聯(lián)系、相輔相成、密不可分的統(tǒng)一體。教師在教學活動中應(yīng)抓住其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想,引導(dǎo)學生能夠全面、深入、準確、認真地思考問題,抓住事物的本質(zhì)、規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系,重視它們之間的協(xié)調(diào)發(fā)展,這對提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)有著重要的意義。

        關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;數(shù)學課堂;數(shù)學思維;數(shù)學核心素養(yǎng)

        一、以圖識律,培育數(shù)學興趣,提高抽象思維能力

        對抽象的數(shù)學算式、代數(shù)式給予直觀形象的推證解釋,以直觀圖形解釋數(shù)學公式和數(shù)學規(guī)律,使得學生數(shù)形思想同步發(fā)展。例如學生在課堂中學習乘法分配律時都經(jīng)歷“實例—感知—驗證—判析—抽象—定義”這么一個思維過程,從大量的數(shù)學實例中學生初步抽象出運算規(guī)律,但尚不能進行數(shù)學思維層次上的推證。就小學高年段學生來說,他們具備較強直觀形象思維能力,抽象思維能力正在發(fā)展,我們可以借助下面的課堂活動將這一運算規(guī)律予以推證和說明。

        課堂活動要求:這是由兩個小長方形拼成的大長方形,請用含字母的式子表示出大長方形的面積。

        數(shù)學課堂活動:

        (1)觀察大長方形面積的要素:a(b+c)=大長方形的面積

        (2)觀察大長方形面積的構(gòu)成:ab+ac=大長方形的面積

        綜合比較兩次得到的結(jié)果,分析后自然推得:a(b+c)=ab+ac

        課堂提問:“仔細觀察,看到這個結(jié)論,你能想到我們曾經(jīng)學過的什么運算律?”學生:“這就是乘法分配律??!”“原來還可以這樣驗證乘法分配律!”“我們發(fā)現(xiàn)乘法分配律的證明用圖表示出來更直觀!”……由于學生在不知不覺中參與了數(shù)學運算律揭示的過程,思維水平自然有躍進,數(shù)學學習的興趣亦更加濃厚。

        結(jié)合目前現(xiàn)代數(shù)學課堂中豐富的信息化教學手段,將下面的這些運算定律更形象地展示給學生,數(shù)學不再單調(diào)。

        1.課堂多媒體動態(tài)演示:

        (1)先動態(tài)閃動線段a與線段b合并,再以合并后的線段與線段c合并;

        (2)先動態(tài)閃動線段b與線段c合并,再以合并后的線段與線段a合并。

        動態(tài)比較兩次總長度,揭示加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

        2.課堂多媒體動態(tài)演示:

        (1)小球從左至右滾動距離a,再滾動距離b,整體閃動小球滾動的總距離;

        (2)小球從右至左滾動距離b,再滾動距離a,整體閃動小球滾動的總距離。

        動態(tài)比較兩次總長度,揭示加法交換律a+b=b+a。

        3.課堂多媒體動態(tài)演示:

        (1)閃動長方形寬a,向右平移距離b,形成完整長方形;

        (2)閃動長方形長b,向上平移距離a,形成完整長方形。

        動態(tài)比較兩次長方形面積,揭示加法交換律a×b=b×a。

        4.課堂多媒體動態(tài)演示:

        (1)閃動長方體框架底面(a×b),向上運動,形成完整長方體;

        (2)閃動長方體框架右側(cè)面(a×b),向左運動,形成完整長方體。

        動態(tài)比較兩次運動的結(jié)果,揭示乘法結(jié)合律(a×b)×c=a×(b×c)

        在數(shù)學課堂活動中,借助現(xiàn)代數(shù)學課堂教學手段,在提高學生空間觀念的同時,揭示抽象的數(shù)學運算律,“以形識數(shù)性”,把握數(shù)學本質(zhì),提高學生數(shù)學抽象能力。

        二、借數(shù)觀圖,感悟事物本質(zhì),提升數(shù)學學習深度

        以已有的知識經(jīng)驗解決實際問題是學生數(shù)學素養(yǎng)的重要體現(xiàn),也是數(shù)學課堂教學活動達成性指標之一,是學生思維發(fā)展水平最直接的反映。借助數(shù)學規(guī)律和數(shù)學性質(zhì)解決直觀幾何問題,實現(xiàn)“化難為易、化繁為簡”。就數(shù)學中的“相等的兩數(shù)同時減去(或加上)一個數(shù),所得的差(或和)也一定相等”這一性質(zhì),在學生儲備足夠的數(shù)學經(jīng)驗后,他們不僅能理解,也能舉出實例說明。數(shù)學課堂中我們以字母把它抽象概括出來:“若a=b,則a-c=b-c或a+c=b+c”。這既是對學生數(shù)學建模能力的培養(yǎng),也是數(shù)學深度學習的需要。

        在學生理解這兩個等式后,讓他們思考下一題。

        如圖討論:陰影部分三角形ABC和三角形ECD面積之間的關(guān)系。

        學生討論分析:三角形ABE面積等于三角形ADE面積,因此這兩個三角形同時減去三角形AEC的面積后,所得到兩個新三角形的面積也相等(借助多媒體演示使教學更直觀、形象)。

        我們的教學不能僅停留在問題的求解上,應(yīng)適時引導(dǎo)“本題的解答實際上運用了數(shù)學的什么性質(zhì)?a-c=b-c”,從而建立數(shù)學性質(zhì)與直觀幾何之間的關(guān)系,為學生用代數(shù)知識解決幾何形體問題搭起橋梁,提升“數(shù)形結(jié)合”的能力,感悟事物本質(zhì),培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維。

        為進一步拓展學生思維的深度,教師可以設(shè)計這樣一道題由學生自主探索解答。如圖求陰影部分面積:

        綜合評析時,引導(dǎo)學生思考我們運用了什么數(shù)學性質(zhì)?

        (注:長方形ABCD面積=長方形DEFG面積)

        三、數(shù)形相輔,深化數(shù)學體驗,增強數(shù)學課堂厚度

        在小學數(shù)學課堂中有機滲透數(shù)形結(jié)合思想,對于培養(yǎng)學生數(shù)感、符號感和空間觀念,發(fā)展學生思維能力,提升動手實踐、自主探索、合作交流的能力大有裨益。教師在教學平行四邊形面積公式的推導(dǎo)時,通常會組織學生開展小組活動,把平行四邊形剪拼成他們已有的知識經(jīng)驗——長方形。

        學生在課堂操作實踐活動中的剪拼方法歸成兩大類(如下圖):

        對比拼成的長方形與原來的平行四邊形的關(guān)系,推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式:S=a×h。

        在學生具備上述知識的基礎(chǔ)上,不少教師都讓學生練習過這樣一道題:已知題中的三個量,求一個未知量。

        這對多數(shù)學生而言解答并非困難,也能得到數(shù)學等式:a×b=c×d。a×b和c×d都表示同一個平行四邊形的面積,教師在課堂教學過程中往往都能評析到,并對等式的合理性作出解釋。但如果教師有意識地培養(yǎng)學生的“數(shù)形結(jié)合”思想,就可以對這一教學資源作進一步挖掘。結(jié)合圖1,在引導(dǎo)學生在觀察平行四邊形面積推導(dǎo)的剪拼方法后,幫助學生在頭腦中形成a×b與剪拼方法一,c×d與剪拼方法二之間的對應(yīng)感觀,必將促進學生數(shù)學思維能力與空間觀念的協(xié)調(diào)發(fā)展,我們的數(shù)學課堂也必將變得更厚實。

        四、數(shù)圖相融,溝通縱橫聯(lián)系,建構(gòu)單元知識框架

        在學生數(shù)學思維發(fā)展的過程中,數(shù)學概念則是思維的細胞,是空間形式和數(shù)量關(guān)系以及它們的本質(zhì)屬性在學生思維中的體現(xiàn),他們對概念的理解達成度是其數(shù)學思維深刻性與靈活性水平的反映,是作為數(shù)與形的抽象概括的結(jié)果之一。數(shù)學概念僅憑精講,學生對概念的本質(zhì)難以產(chǎn)生全面深刻的理解,數(shù)學課堂教學中,輔助圖形、表格等直觀形象,不但可以幫助學生正確理解概念,而且利于他們建立知識間的縱橫聯(lián)系,形成他們自己的“數(shù)學知識樹”。

        在“數(shù)的整除”單元復(fù)習時,出示數(shù)字“1、2、3、4、5、6、7、9、12、24、30、36,提問:根據(jù)給出的這些數(shù),自由選擇一些數(shù)(可以是1個,也可以是多個)用本單元知識說一句話”。啟發(fā)學生打開思路后,教師將相關(guān)概念名稱“倍數(shù)、因數(shù)、整除……”展現(xiàn)在投影上。

        弄亂屏幕,引導(dǎo)學生整理這些概念,讓視覺效果更好,概念關(guān)系更有條理。

        課堂中,一個概念位置的擺放也會引發(fā)爭論,但學生思維打開了,收獲了很多,得到多彩的整除單元知識結(jié)構(gòu)圖,這里舉一例。如下圖:

        圖2解釋整除與除盡之間的從屬關(guān)系。

        圖3解釋非0自然數(shù)按因數(shù)個數(shù)分成三類呈現(xiàn)的并列關(guān)系。

        在這樣的數(shù)學課堂中,“數(shù)圖相融”,以直觀圖形展現(xiàn)數(shù)學抽象的概念及其之間的關(guān)系,學生更易于消化概念之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別,形成單元整體知識結(jié)構(gòu)。

        五、數(shù)形協(xié)調(diào),演繹數(shù)學抽象,積累數(shù)學建模經(jīng)驗

        小學階段學生的學業(yè)水平和數(shù)學學習能力往往在他們的計算正確率、解題策略的運用上有所體現(xiàn),但教師在教學中不讓學生對計算法則(或方法)經(jīng)歷一個探索、理解、發(fā)現(xiàn)的過程,那么學生只能一味地接受知識的灌輸,其能力與創(chuàng)新思維只會被壓抑而非得以發(fā)展。例如在分數(shù)乘分數(shù)的課堂學習后,學生都能掌握“分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母”這一計算方法??山處熑裟艹浞终J識到“數(shù)形結(jié)合”思想在課堂學習中的重要價值,再去思考設(shè)計教學活動,就可以讓不同學生在數(shù)學學習上獲得不同層次的發(fā)展,幫助學生積累數(shù)學建模經(jīng)驗。

        在數(shù)學課堂的教學中一直有著兩條線:一明一暗,數(shù)學知識作明線,數(shù)學思想方法為暗線。然而,今天我們的數(shù)學課堂中,教師往往習慣以“知識的達成度、目標的有效性”去評價一節(jié)課的優(yōu)劣,而忽視了數(shù)學思想方法在課堂上有意識地滲透。知識可能會遺忘,而數(shù)學思想方法一旦在學生頭腦中成形,必將讓學生受益終身。小學階段是學生數(shù)學思維由具體形象到抽象邏輯的重要過渡階段,“數(shù)形結(jié)合”思想方法在課堂中的滲透教學對于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)能力有著獨特的價值。教師在數(shù)學課堂教學中應(yīng)根據(jù)教學內(nèi)容,深入剖析研究教材、挖掘教材中多項資源,有意識地滲透“數(shù)形結(jié)合”思想,揚數(shù)之長、取形之優(yōu)、數(shù)形相輔、數(shù)形互助,必然會讓學生數(shù)學核心素養(yǎng)能力的培育在數(shù)學課堂生根發(fā)芽,熠熠生輝!

        編輯 高 瓊

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