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        重視化歸思想 滲透解題意識

        2015-05-04 14:23:19胡潔慧
        廣西教育·A版 2015年2期
        關(guān)鍵詞:化歸思想數(shù)學(xué)教學(xué)

        胡潔慧

        【關(guān)鍵詞】化歸思想 解題意識 數(shù)學(xué)教學(xué)

        【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

        【文章編號】0450-9889(2015)02A-

        0036-01

        在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,化歸是一種重要的解題思想。運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點,在轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的過程中化未知為已知、化復(fù)雜為簡單、化部分為整體,能正確有效地解決應(yīng)用問題。尤其是面對條件較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)題,一時間無從下手的時候,運(yùn)用化歸思想去分析和解決,可以將所要解決的復(fù)雜問題向比較容易解決的問題轉(zhuǎn)化。因此,初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識,將數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)貫穿于整個教學(xué)之中,以提高教學(xué)質(zhì)量。

        一、化未知為已知

        解方程組或是在求條件代數(shù)式的值時,最常用的基本思想就是降次消元,對問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化后解決問題,這其實就是立足于化歸思想,化未知為已知,比直接攻擊問題要簡單、容易得多。

        案例1:解方程組:x+y=11 ? ①

        3x+4y=35 ?②

        對于這道題目,可以將方程①式中的x轉(zhuǎn)化為:x=11-y,得到方程③,再將方程③代入方程②式中,得3(11-y)+4y=35,解這個方程,得y=2,把y=2代入方程③,得x=9.

        所以這個方程組的解是x=9

        y=2

        通過加減或代入消元,消去一個未知數(shù),將二元轉(zhuǎn)化為一元,代入變形式即可求出未知數(shù)。在解一元二次方程、二元二次方程時也可采用降次方法變形、轉(zhuǎn)化,求出另一個未知數(shù)的解。

        二、化部分為整體

        在解題中如果只著眼于問題的局部,往往會增加計算的繁瑣或走彎路,如果能由整體入手,把一些看似彼此獨立的量作為整體去考慮,從整體形式、整體結(jié)構(gòu)和所求去綜合考慮,反而就能發(fā)現(xiàn)看似獨立實際上卻緊密相聯(lián)的量,而這正是解題的捷徑所在。

        案例2:若x2-2x=y2-2y=1,且x≠y,求+的值。

        本題中,如果我們按照常規(guī)解題的方法,由已知條件解出x、y的值再代入求值很是麻煩,且一不小心就會出錯。但如果我們能從整體上觀察,不孤立地去求x、y的值,反而會使繁雜的運(yùn)算簡捷化。經(jīng)過觀察,x、y是方程x2-2x=1,y2-2y=1的兩個解,根據(jù)韋達(dá)定理可解得x+y=2,xy=-1,

        ∴+===-6

        可見,將“x+y”、“xy”作為一個整體代入,問題就容易解決多了。

        案例3:已知y2+y-1=0,求y3+2y2+2014的值。

        同樣,這道題目可以先將原方程y3+2y2+2014化零散為整體后可以得出y(y2 +y-1)+(y2+y-1)+1+2014,再把“y2+y-1=0”作為一個整體的已知條件代入方程y3+2y2+2014進(jìn)行求解,很容易解得答案為2015,這遠(yuǎn)遠(yuǎn)比由已知條件解得y2=1-y,再代入方程求解要容易得多。

        三、化復(fù)雜為簡單

        有些幾何題,從表面上看似乎結(jié)構(gòu)很復(fù)雜,讓人感覺無從下手,如果采用常規(guī)手法往往會導(dǎo)致思維暫停。這時,教師不妨引導(dǎo)學(xué)生從其結(jié)構(gòu)入手進(jìn)行轉(zhuǎn)化,反而能得到清晰的解題思路,找到解題途徑。

        案例4:如圖,已知在梯形ABCD中,AD=BC,CE是高,且DC∥AB,AC⊥BD,求證:CE=(AB+CD)。

        在本題中,若用常規(guī)方法解方程過于繁瑣,但如果能抓住各個環(huán)節(jié)之間的必然聯(lián)系,添加恰當(dāng)?shù)妮o助線:作CH∥BD,交AB延長線于點H。則可將梯形中的問題化歸為平行四邊形DCHB和等腰直角三角形ACH的問題,即采用平移對角線的方法來證明,問題悄然解決。

        四、化一般為特殊

        正如初三幾何教科書通過對圓周角定理和弦切角定理的證明,讓同學(xué)們理解和掌握了由特殊到一般的思想方法。相對于“一般”而言,特殊化策略可以從復(fù)雜退到簡單,從抽象退到具體,因而被廣泛用于解題之中。

        案例5:已知x=a-1,y=a2-a,當(dāng)a為任意實數(shù)時,求x、y的大小關(guān)系。

        對于本題,大部分學(xué)生都會采用“差值法”直接求解:x-y=a-1-(a2-a)=a2+a-1=(a-)2-<0,所以x

        總之,化歸不僅是一種重要的解題思想,也是一種最基本的思維策略,更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)重視對學(xué)生進(jìn)行化歸思想的指導(dǎo),循序漸進(jìn)并堅持反復(fù)訓(xùn)練,使學(xué)生能化生疏為熟悉,化含糊為明朗,從而找出解題線索。

        (責(zé)編 黎雪娟)

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