［摘 要］新課標(biāo)強調(diào)概念教學(xué)應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握內(nèi)容本質(zhì)。秉承“揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，追溯教學(xué)本源”的理念，構(gòu)建以“感知—想象—概括—固化—應(yīng)用—結(jié)構(gòu)”為認(rèn)知過程的中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，并以“方差、標(biāo)準(zhǔn)差”數(shù)學(xué)概念為例，剖析依照該教學(xué)模式的設(shè)計思想，幫助學(xué)生更加深入地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和邏輯聯(lián)系。

［關(guān)鍵詞］中學(xué)數(shù)學(xué)概念；認(rèn)知過程；教學(xué)模式；數(shù)學(xué)本質(zhì)

［中圖分類號］G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A ［文章編號］1005-4634（2024）06-0067-10

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂版）》指出：“聚焦數(shù)學(xué)的核心概念和通性通法，聚焦它們所承載的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！?sup>［^1］數(shù)學(xué)概念作為反映數(shù)學(xué)研究對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，在中學(xué)教學(xué)中始終處于十分重要的地位。

發(fā)展核心素養(yǎng)具有時代性，隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，以計算機科學(xué)和互聯(lián)網(wǎng)為核心的現(xiàn)代教育技術(shù)受到教育界的普遍關(guān)注。技術(shù)的進(jìn)步促使針對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)逐漸由單一的教師講授轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘣膶W(xué)習(xí)模式，但目前針對信息技術(shù)與數(shù)學(xué)概念教學(xué)的融合仍浮于表面，缺乏深度融合，也缺乏讓學(xué)生自主建構(gòu)的過程。數(shù)字化轉(zhuǎn)型時代背景下，什么樣的教學(xué)模式能夠提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果并有助于概念本質(zhì)？一種在信息技術(shù)支持下的關(guān)注人的認(rèn)知過程的教學(xué)模式應(yīng)運而生。

1 現(xiàn)有數(shù)學(xué)概念教學(xué)的誤區(qū)

李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”^［2］以數(shù)學(xué)概念為核心、以過程為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)，要求教師在教學(xué)中詳盡地闡述概念的來龍去脈，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識，幫助學(xué)生達(dá)到對數(shù)學(xué)概念的透徹理解。邵光華和章建躍指出：“存在忽視數(shù)學(xué)概念的抽象邏輯建構(gòu)特征，過于強調(diào)情景化、生活化、活動化的傾向?！?sup>［3^］章建躍、陶維林也指出：“概念教學(xué)走過場，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比較普遍?！?sup>［4^］可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前概念教學(xué)忽視學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過程，忽視學(xué)生學(xué)習(xí)概念、理解概念需要時間的問題，沒有給予學(xué)生充分概括概念本質(zhì)特征的機會，造成學(xué)生對概念理解不透、理不清解題思路，進(jìn)而影響教學(xué)成效。

1.1 學(xué)生已有認(rèn)知的忽視

史寧中教授指出，人具有兩個先天本能：對數(shù)量多少的感知和對距離遠(yuǎn)近的感知，這促使學(xué)生對數(shù)學(xué)存在一定的已有認(rèn)知^［5］。學(xué)生不是空著腦袋走進(jìn)教室的，在進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂前已在頭腦中形成了“數(shù)學(xué)概念”，對數(shù)學(xué)問題存有自己的看法。但由于形成的“數(shù)學(xué)概念”并非完善準(zhǔn)確，存在模糊性、多含義性，容易導(dǎo)致學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)概念的錯誤理解。對于數(shù)學(xué)概念的處理，傳統(tǒng)教學(xué)往往會忽視學(xué)生的已有認(rèn)知，認(rèn)為學(xué)生只要學(xué)了新知識就會替代原先的舊知識，這違背了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

例如，在學(xué)習(xí)《直線、射線、線段》之前，學(xué)生在日常生活中已對“線”存有淺顯的概念，往往將直線錯以為是“一根拉直的直線”。直線應(yīng)當(dāng)是能夠向兩端無限延伸的線，一根拉直的線存在兩個端點，應(yīng)歸屬于線段。教師如果不及時糾正學(xué)生存在的已有認(rèn)知，則會影響后續(xù)的學(xué)習(xí)中對線段和直線概念的辨析。

1.2 數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的誤解

數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性是指一個特定數(shù)學(xué)對象在一定的范圍內(nèi)保持不變的性質(zhì)， 而可變的性質(zhì)則稱為“非本質(zhì)屬性”^［6］?，F(xiàn)代心理學(xué)研究表明：數(shù)學(xué)概念的心理表征在大多數(shù)情況下并非由相應(yīng)的形式定義，而是一種由多種成分組成的復(fù)合物——概念意象（Concept Image）來定義^［7］20。數(shù)學(xué)概念的意象并非等同于數(shù)學(xué)概念的定義，相較于數(shù)學(xué)概念的定義的準(zhǔn)確性、科學(xué)性，概念意象存在變化性、主觀性，因此學(xué)生如果無法對概念意象產(chǎn)生準(zhǔn)確清晰的認(rèn)識，不能透過概念意象深入了解概念定義的本質(zhì)，而將概念意象作為概念定義，就會為概念添加一些并非概念本質(zhì)的含義：（1）用個別特征代替整個概念；（2）進(jìn)行簡單的機械記憶，并不理解表達(dá)的含義；（3）混淆概念。

1.3 感性上升理性抽象層面的忽視

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是典型的數(shù)學(xué)抽象過程，對學(xué)生來說，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的達(dá)成不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)活動中逐步發(fā)展的。張宗余和馮斌指出：落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)需經(jīng)歷從具體到抽象、從抽象到概括化、從量表到質(zhì)變的過程，即在教學(xué)過程中需要引導(dǎo)學(xué)生從直觀感知出發(fā)，經(jīng)歷感性經(jīng)驗上升到理性抽象的過程^［8］。目前，概念教學(xué)中依然存在注重進(jìn)度和“應(yīng)試”需要的以告知為主的模式，在學(xué)生并未理解概念的情況下，進(jìn)行解題訓(xùn)練，忽略學(xué)生的直觀感知、忽略概念的建立過程。

2 指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的概念教學(xué)模式建構(gòu)

2.1 核心概念界定

2.1.1 數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是人們從過去的經(jīng)驗或認(rèn)識中抽象出能反映現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。

學(xué)者們對數(shù)學(xué)概念有著不同的看法。章建躍認(rèn)為，概念是心理學(xué)、哲學(xué)、邏輯學(xué)等許多學(xué)科的研究對象，數(shù)學(xué)概念是對現(xiàn)實世界蘊含的關(guān)系的簡明概括，是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一，具有強大的系統(tǒng)性^［9］。羅新兵和羅增儒提出，數(shù)學(xué)概念應(yīng)當(dāng)是反映事物本質(zhì)屬性、關(guān)系、特征的思維形式，其內(nèi)涵反映了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，其外延則是數(shù)學(xué)概念對象的總和^［10］。徐文彬認(rèn)為數(shù)學(xué)概念具有內(nèi)涵和外延，可以從邏輯、數(shù)學(xué)史、教育心理學(xué)、數(shù)學(xué)心理學(xué)等幾個層面出發(fā)思考數(shù)學(xué)概念教學(xué)的作用^［11］。本研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念是從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，基于過去的經(jīng)驗和認(rèn)識，通過類比、歸納總結(jié)形成的知識，是對現(xiàn)實世界的高度抽象，是現(xiàn)實世界蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)反映。

2.1.2 教學(xué)模式

教學(xué)模式是在一種思想或理論基礎(chǔ)上建立起來的較為穩(wěn)定的教學(xué)活動框架或程序，最早由美國學(xué)者喬伊斯和韋爾提出。他們認(rèn)為：教學(xué)模式是構(gòu)成課程和作業(yè)、選擇教材、提示教師活動的一種范例或計劃。

曹一鳴認(rèn)為教學(xué)模式是對教學(xué)經(jīng)驗的概括和系統(tǒng)整理、是教學(xué)方法的升華、是理論與實踐的中介^［12］。李佩武和李子鶴提出，模式是事物或行為活動的范本，教學(xué)模式則是基于教學(xué)活動，在思想和理論的指導(dǎo)下，圍繞教學(xué)目標(biāo)形成的一種相對穩(wěn)定的范式^［13］。張銳強調(diào)，教學(xué)模式屬于方法和策略的范疇，但不與其相等，是指向教學(xué)結(jié)構(gòu)的，可以對時間起直接的指導(dǎo)作用，又可以豐富理論的發(fā)展^［14］。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人類認(rèn)知水平的提高，教學(xué)模式更新迭代，誕生了如翻轉(zhuǎn)課堂、“互聯(lián)網(wǎng)+教育”“線上線下”混合式等順應(yīng)時代發(fā)展的模式。本研究中的教學(xué)模式主要是指在數(shù)學(xué)教育理論指引下，結(jié)合當(dāng)下需求，為改進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而提出的適用于概念課教學(xué)的模式。

2.1.3 數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)邏輯性、創(chuàng)造性、思想性的體現(xiàn)。張奠宙曾多次反對“去數(shù)學(xué)化”，強調(diào)“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，指出數(shù)學(xué)本質(zhì)要注重知識的內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律的形成過程、思想方法的提煉、理性精神的體驗等諸多方面^［15］。程明喜等人對數(shù)學(xué)本質(zhì)展開研究，指出數(shù)學(xué)本質(zhì)需強調(diào)對教材內(nèi)容的定位與挖掘、單元數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)與關(guān)系、核心素養(yǎng)培養(yǎng)的通融與側(cè)重、教學(xué)活動的問題與探究、聚焦數(shù)學(xué)知識的理解與遷移^［16］。本研究中的數(shù)學(xué)本質(zhì)著重強調(diào)數(shù)學(xué)知識中的經(jīng)驗性元素，力求從實際生活中提煉和抽象出數(shù)學(xué)概念和原理，結(jié)合信息技術(shù)軟件，深入把握所蘊含的特征和性質(zhì)，探尋知識內(nèi)在的聯(lián)系。

2.2 模式構(gòu)建的依據(jù)

為幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，本研究遵循人的認(rèn)知過程，在信息技術(shù)的支撐下提出并建構(gòu)了適合學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，主要圍繞以下問題展開：（1）學(xué)生的認(rèn)知過程會經(jīng)歷哪些階段？（2）如何使學(xué)生的已有認(rèn)知外顯？（3）如何幫助學(xué)生把感性經(jīng)驗抽象為理性思維，發(fā)展抽象素養(yǎng)？（4）如何幫助學(xué)生深入認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)？（5）如何幫助學(xué)生將新概念納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)？

針對上述問題，構(gòu)建了圖1所示的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，該模式包括“感知—想象—概括—固化—應(yīng)用—結(jié)構(gòu)”6個環(huán)節(jié)，特別關(guān)注教師、學(xué)生雙主體行為，充分落實了“揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，追溯教學(xué)本源”的教育理念。

2.3 概念教學(xué)模式

2.3.1 感知環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程^［17］，如圖2所示，感知活動以情境的方式引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)的角度看世界。教師可以將數(shù)學(xué)家們在理解數(shù)學(xué)對象演變時所遇的障礙與學(xué)生熟悉的日常生活相結(jié)合，在新舊知識連接點、交錯點處設(shè)置認(rèn)知沖突或再現(xiàn)概念背景。教師需要為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷感性認(rèn)識，積累足夠量的感性經(jīng)驗，為學(xué)生提供直觀體驗的思考和環(huán)境，在背景與定義之間架起橋梁。為豐富學(xué)生的觀察方式，也可以考慮通過利用PPT、Geogebra制作相應(yīng)的視頻或動畫，展現(xiàn)情境變化。如在函數(shù)單調(diào)性教學(xué)中，可通過視頻或動畫等方式展示氣溫的上升與下降，使學(xué)生通過氣溫的變化，感受到函數(shù)的遞增和遞減。

2.3.2 想象環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)知識發(fā)生和發(fā)展實際上是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)教育家的思維成果^［18］，教師需要將學(xué)生思維與教師思維、數(shù)學(xué)家思維進(jìn)行相互碰撞。如圖3所示，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，明確問題所在、矛盾所在、共性所在，得到感性經(jīng)驗中蘊含的規(guī)律或知識之間的聯(lián)系，合情合理地發(fā)現(xiàn)一個新概念。如在數(shù)列的教學(xué)中，在通過列舉不同的實例幫助學(xué)生積累了感性經(jīng)驗后，使他們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)實例的共同特征：它們都是按照確定的順序排列的。

信息技術(shù)的融入有利于直觀展現(xiàn)抽象思維的發(fā)展，凸顯抽象的價值。想象是在感知的基礎(chǔ)上邁向抽象的第一步^［19］，可以通過借助信息技術(shù)，以動態(tài)表現(xiàn)形式，展現(xiàn)感性知識的相互關(guān)聯(lián)性，展現(xiàn)生動的歸納過程，幫助學(xué)生擁有更多觀察和歸納的機會，形成猜想。仍以數(shù)列的教學(xué)為例，可用動畫將每一列數(shù)的變化過程演繹出來，如某位學(xué)生身高這一列數(shù)隨著年齡發(fā)生的變化，不僅體現(xiàn)了這列數(shù)的出現(xiàn)是有先后順序的，也反映了數(shù)列中的每一項與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系。

2.3.3 概括環(huán)節(jié)

如圖4所示，教師需根據(jù)學(xué)生的探索反饋，進(jìn)行必要的去蕪存菁，將學(xué)生經(jīng)歷的感性認(rèn)識上升到抽象概括階段，歸納出概念的本質(zhì)特征，形成最終要學(xué)習(xí)的新概念。

概括活動往往是學(xué)生從感性上升到理性、從低層次思維上升到高層次思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。教師可以根據(jù)概念的特點，借助信息技術(shù)將課本上枯燥的畫面變?yōu)殍蜩蛉缟膭赢?，將概念用形象的圖式展現(xiàn)出來，使學(xué)生加深對概念本質(zhì)的理解。如針對函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，將繁雜的文字語言轉(zhuǎn)變成圖像與符號語言這樣的過程是數(shù)學(xué)簡潔性的體現(xiàn)，也是其符號化的展現(xiàn)，更是單調(diào)性本質(zhì)的再現(xiàn)。

2.3.4 固化環(huán)節(jié)

學(xué)生學(xué)習(xí)新的概念后，需要真正理解而不是單純地、機械地記憶概念的形式和定義。如圖5所示，在固化環(huán)節(jié)教師需要進(jìn)行暫時的“停留”，帶領(lǐng)學(xué)生對概念進(jìn)行正反剖析，思考概念為何如此定義、概念的語句有什么特點和含義、概念定義的范圍或條件等，通過對概念進(jìn)行不同角度的審視，揭示概念的內(nèi)涵和外延，以感受概念的豐富性。如函數(shù)可以通過圖象、表格、解析式等方式表達(dá)，數(shù)列的概念可以從辨析入手，思考呈現(xiàn)的例子符不符合數(shù)列的要求，以加深學(xué)生對概念的本質(zhì)的認(rèn)識。

2.3.5 應(yīng)用環(huán)節(jié)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論基本上是封閉的，但是許多現(xiàn)實問題卻常是多元的，即前提或終端往往是開放的^［20］。如圖6所示，在應(yīng)用環(huán)節(jié)中，教師可以為學(xué)生提供題目，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，鼓勵學(xué)生運用概念解決具體的問題，促使概念內(nèi)化為解決問題的工具，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，通過“應(yīng)用”深化對概念的認(rèn)識是必要且有效的教學(xué)手段。

2.3.6 結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)

對學(xué)習(xí)和理解信息來說，結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵^［7］21，結(jié)構(gòu)是個人在頭腦中形成的認(rèn)知框架，是需要在長期的學(xué)習(xí)中不斷豐富和完善的，結(jié)構(gòu)有助于學(xué)生清晰地了解習(xí)得的知識的脈絡(luò)，形成多維、立體、相互關(guān)聯(lián)的知識體系。

如圖7，教師可以用類似構(gòu)建框圖的形式，以“遇到什么問題？”“如何解決？運用到什么知識？”“得到什么結(jié)論？”“體現(xiàn)什么思想？”層層遞進(jìn)，幫助學(xué)生了解概念的位置，理解概念的地位，熟悉概念的發(fā)生發(fā)展，靈活建立起與相關(guān)問題、概念、公式定理的聯(lián)系，并在日后不斷豐富框圖脈絡(luò)，逐步形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以作為生活與后續(xù)學(xué)習(xí)的感知經(jīng)驗基礎(chǔ)。

3 指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的概念教學(xué)模式的應(yīng)用

以北師大版數(shù)學(xué)必修第一冊“統(tǒng)計”一章中的“方差、標(biāo)準(zhǔn)差”為例，展示上述教學(xué)模式的應(yīng)用。相比于初中的教學(xué)，高中階段的教學(xué)主要是為了讓學(xué)生能進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集和整理的方法，能夠選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量對數(shù)據(jù)進(jìn)行描述。本研究依據(jù)上述教學(xué)模式，幫助學(xué)生解決以下問題：（1）為什么要使用方差和標(biāo)準(zhǔn)差？（2）方差和標(biāo)準(zhǔn)差的本質(zhì)是什么？（3）運用方差和標(biāo)準(zhǔn)差可以解決什么問題？

3.1 教學(xué)目標(biāo)及重難點

3.1.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過經(jīng)歷解決生活情境問題的過程積累感知經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)先前所學(xué)的知識無法解決當(dāng)前問題，以認(rèn)知沖突激發(fā)學(xué)習(xí)新知識的興趣，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（2）利用信息技術(shù)，經(jīng)歷從“偏差”到抵消正負(fù)影響，再到考慮容量差異的過程，直觀再現(xiàn)方差概念的生成過程，體會知識之間的層層遞進(jìn)，感受并概括出用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體離散程度的方法。

（3）從思維辨析和變式訓(xùn)練出發(fā)，理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差概念的本質(zhì)（刻畫數(shù)據(jù)的離散程度），理解其應(yīng)用范圍及意義，培養(yǎng)邏輯推理能力及創(chuàng)新思維能力，拓展解決問題的能力。

3.1.2 重難點

教學(xué)重點為方差、標(biāo)準(zhǔn)差概念的本質(zhì)及應(yīng)用范圍，運用方差解決問題；教學(xué)難點為方差與平均差之間的區(qū)別及方差的簡便計算。

3.2 教學(xué)流程

整體教學(xué)流程如圖8所示。

3.2.1 “感知”環(huán)節(jié)——情境導(dǎo)入，引發(fā)沖突

甲、乙兩名射擊選手六次的測試成績統(tǒng)計如表1所示。

問題：如何通過以前所學(xué)的統(tǒng)計量分析這兩名選手的成績？

從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)角度展開分析，本研究發(fā)現(xiàn)甲、乙兩人的這三個統(tǒng)計量上的數(shù)值相同，水平相當(dāng)。借助信息技術(shù)繪制圖像（圖9）可以發(fā)現(xiàn)，甲選手的成績比較穩(wěn)定，乙選手的成績波動幅度較大，可見他們的成績是存在差異的，那么應(yīng)當(dāng)如何度量這種差異呢？

【設(shè)計意圖】初中階段，學(xué)生學(xué)過描述數(shù)據(jù)特征的量，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)?；仡櫹惹八鶎W(xué)的知識，從學(xué)生熟悉的情境入手，分析選手射擊的穩(wěn)定性，既復(fù)習(xí)鞏固前面所學(xué)知識，又為后續(xù)教學(xué)作鋪墊。在感知環(huán)節(jié)，僅通過情境問題，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這幾種數(shù)，沒辦法幫助學(xué)生探究出甲、乙之間的差別，因此，對于數(shù)據(jù)差異的考察需要選取更為合適的統(tǒng)計量。

3.2.2 “想象”環(huán)節(jié)——層層遞進(jìn)，解決沖突

一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是考慮極差，此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生從極差的角度展開討論，但是發(fā)現(xiàn)甲、乙的極差仍然相等。當(dāng)已知的統(tǒng)計量無法幫助學(xué)生判斷選手成績的時候，就需要考慮用新的統(tǒng)計量來幫助解決問題。

為幫助學(xué)生更直觀地進(jìn)行討論，本研究利用信息技術(shù)將題目數(shù)據(jù)繪制為折線圖（圖10），幫助學(xué)生直觀對比甲乙兩者的情況，發(fā)現(xiàn)差異點，層層深入展開探究；適當(dāng)?shù)靥嵝褜W(xué)生從“成績波動”的角度出發(fā)，考慮以平均數(shù)作為參照展開研究，考慮環(huán)數(shù)與平均數(shù)之間的差距，聯(lián)想偏差，解決問題。

偏差有正有負(fù)，會對離散程度產(chǎn)生一定影響。通過計算發(fā)現(xiàn)二者的偏差之和為0，信息技術(shù)展示兩組數(shù)據(jù)的偏差相互抵消的過程（圖11），直觀感受正負(fù)差異帶來的影響，進(jìn)一步聯(lián)系消除正負(fù)抵消影響的方法：（1）平方消除影響；（2）添加絕對值消除影響。

通過消除正負(fù)抵消影響后計算得到甲的偏差平方和為26（偏差絕對值和為8），乙的偏差平方和為30（偏差絕對值和為10），初步認(rèn)識到通過計算偏差平方和或偏差絕對值之和可以判斷選手成績的穩(wěn)定性。

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)研究從本質(zhì)上講是要考慮如何從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系定量刻畫現(xiàn)實世界中的問題^［21］。通過實踐，認(rèn)識到極差只能反映一組數(shù)據(jù)中兩個極端值之間的大小情況，無法反映一組數(shù)據(jù)整體的離散程度。因此，有必要探尋對整組數(shù)據(jù)波動情況更敏感的指標(biāo)。利用信息技術(shù)在想象環(huán)節(jié)幫助學(xué)生直觀感受，激發(fā)猜想，大膽聯(lián)系“環(huán)數(shù)與平均數(shù)之間的差距”，步步深入到抵消“正負(fù)”問題，得到“偏差絕對值和”和“偏差平方和”。通過環(huán)環(huán)相扣的問題設(shè)計，不斷引導(dǎo)學(xué)生生疑、解疑，提升直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高思維能力。

3.2.3 “概括”環(huán)節(jié)——變式生疑，概念確認(rèn)

學(xué)生已經(jīng)考慮到可以利用偏差解決問題，但所得到的結(jié)論并不完善，通過對題目進(jìn)行變式，進(jìn)一步探討，甲、乙成績?nèi)绫?所示。

問題：此時還可以用偏差的平方值和刻畫數(shù)據(jù)的離散程度嗎？

問題：有沒有辦法進(jìn)行改進(jìn)，使結(jié)果更加科學(xué)合理呢？

通過甲選手射擊次數(shù)的增加，可以發(fā)現(xiàn)此時甲的偏差平方和為32（偏差絕對值和為12），已經(jīng)大于乙的偏差平方之和。很明顯由于甲、乙兩者的樣本容量不同，直接根據(jù)偏差平方和判斷甲、乙選手誰的成績更穩(wěn)定是不合理的，因此需要消除樣本容量的影響。方差的概念：衡量隨機變量或一組數(shù)據(jù)時離散程度的度量。公式：

1n［（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²］（1）

通過方差計算，會發(fā)現(xiàn)得到的單位存在平方，這時的單位應(yīng)當(dāng)如何解釋呢？教師需要激起學(xué)生在計算過程中“保持原始單位”的想法，聯(lián)想到得到方差公式是通過計算偏差的平方和，要恢復(fù)到原始單位則需要對平方進(jìn)行開方，得到標(biāo)準(zhǔn)差公式：

1n［（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²］（2）

由于上述過程在消除偏差正負(fù)影響時，考慮到了絕對值消除影響的方法，也要將其作為教學(xué)的一個補充內(nèi)容，即平均差公式：

1n（|x₁-|+|x₂-|+…+|x_n-|）（3）

【設(shè)計意圖】教師根據(jù)學(xué)生的探索反饋，進(jìn)行必要的取其精華、去其糟粕，將學(xué)生低層次的猜想上升至高層次的抽象概括。學(xué)生的學(xué)習(xí)需在現(xiàn)有知識中發(fā)現(xiàn)疑惑并進(jìn)一步解決疑惑，得到本質(zhì)，體會概念的發(fā)生發(fā)展過程。此處通過巧妙的變式，讓學(xué)生再度進(jìn)行思考，探索如何表示一組數(shù)據(jù)的離散程度、離散程度的影響因素有哪些，以幫助學(xué)生自主形成概念，體會符號化表達(dá)。這不僅培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑習(xí)慣和探索精神，還促使學(xué)生體會已有認(rèn)知與新認(rèn)知的差距，同時考慮了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，從單位入手，從方差得到標(biāo)準(zhǔn)差。

3.2.4 “固化”環(huán)節(jié)——思維拓展，深入辨析

“方差”和“平均差”都是用來衡量數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計量，但它們的計算方法和解釋略有不同?！捌骄睢狈ㄔ谔幚砭唧w數(shù)據(jù)時較為方便，但若遇到用字母表示數(shù)的情況時，絕對值的運算就不如平方運算簡便。用“方差”刻畫數(shù)據(jù)的離散程度是將細(xì)微的偏差放大，比“平均差”法更為精準(zhǔn)，并且“方差”的學(xué)習(xí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜的統(tǒng)計內(nèi)容打下基礎(chǔ)。

方差和平均差都有助于學(xué)生判斷兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性以及二者之間存在的差異。教師在教授“方差、標(biāo)準(zhǔn)差”概念時，需要進(jìn)一步分析二者的區(qū)別，幫助學(xué)生反思和辨析，體會新認(rèn)知與原有認(rèn)知之間的差別。

【設(shè)計意圖】當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了新的數(shù)學(xué)概念后，就需要幫助學(xué)生達(dá)到對數(shù)學(xué)概念的真正理解和掌握，而不是單純地知道概念是什么、公式怎么書寫運用。由于在上述環(huán)節(jié)中發(fā)現(xiàn)考慮數(shù)據(jù)離散程度有兩種表達(dá)形式，教師便可以對其進(jìn)行辨析，使學(xué)生認(rèn)識到“什么時候使用方差”“方差的便利之處在哪里”，促進(jìn)學(xué)生對概念的把握，體會到方差、標(biāo)準(zhǔn)差概念形成的必要性。

3.2.5 “應(yīng)用”環(huán)節(jié)——類比探究，尋求一般

練習(xí)：農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量見表3。

（1）哪種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定？

（2）如果把各組數(shù)據(jù)減去910，再計算兩組新數(shù)據(jù)的方差會有什么結(jié)果？

通過對本節(jié)課所學(xué)知識的簡單應(yīng)用，讓學(xué)生更加深刻地體會到方差運用在生活中可以判斷數(shù)據(jù)離散程度、判斷數(shù)據(jù)穩(wěn)定性。實際上，可以發(fā)現(xiàn)方差的計算式是以樣本為依據(jù)的，選取的樣本不同，得到的結(jié)果就不同。因此，對于樣本的選取要具有合理性。教師對題目進(jìn)行講解時，需要加強學(xué)生對于樣本選取的認(rèn)知，讓其思考在日常生活中數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)如何選取、影響結(jié)果的因素有什么。

問題（2）是在原有問題上進(jìn)行的變式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)果與原來結(jié)果相同，進(jìn)而可以引導(dǎo)學(xué)生類比方差的計算，考慮一般情況，得到方差的簡便形式。

【設(shè)計意圖】通過問題（1）對知識的應(yīng)用，鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容?！胺讲睢惫降挠嬎阆鄬τ谄渌絹碚f會比較復(fù)雜。尤其是在樣本數(shù)據(jù)比較大的情況下，借助問題（2），引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，考慮“將每個數(shù)據(jù)減去一個與它們平均數(shù)接近的常數(shù)”，再計算方差，得到方差的另一種計算方法，使學(xué)生經(jīng)歷形式化推理的訓(xùn)練，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

3.2.6 “結(jié)構(gòu)”環(huán)節(jié)——課堂小結(jié)，結(jié)構(gòu)確認(rèn)

在“結(jié)構(gòu)”環(huán)節(jié)，教師需要將學(xué)生的新認(rèn)知納入到學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，體會知識與知識之間的聯(lián)系，并鞏固本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容?？梢圆捎盟季S導(dǎo)圖（圖12），帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧，展開對本節(jié)課的復(fù)習(xí)及知識與知識間的串聯(lián)。

【設(shè)計意圖】課堂小結(jié)以課堂流程圖的形式展開，幫助學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)知識，展現(xiàn)具體的研究思路及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。

4 啟示

4.1 運用信息技術(shù)，啟發(fā)學(xué)生提升抽象思維

英國數(shù)學(xué)教育家David Tall在認(rèn)知主義、建構(gòu)主義的基礎(chǔ)上，融合認(rèn)知科學(xué)、新皮亞杰主義等相關(guān)研究，于2004年提出了數(shù)學(xué)三個世界理論：“概念—具體化世界”“過程—符號化世界”“公理—形式化世界”^［22］。學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展建立在感知、操作和反思等基石之上，歷經(jīng)具象化、符號化及形式化的演變過程，隨著年齡遞增，涉及的數(shù)學(xué)概念日趨抽象。由于學(xué)生心智尚未成熟、水平有限，因此引發(fā)學(xué)習(xí)上的挑戰(zhàn)。技術(shù)與人類相伴而生，信息技術(shù)成為當(dāng)下推動教育發(fā)展的有力工具。概念往往蘊含著圖形的變化、性質(zhì)等眾多知識，信息技術(shù)則可以更有效地輔助教師，幫助學(xué)生直觀地感知概念的變化和其性質(zhì)特點，實現(xiàn)感性思維向理性思維的過渡。例如：對于斜二測畫法，單純從定義的角度出發(fā)，有的學(xué)生可能會產(chǎn)生誤解，沒有認(rèn)識到“平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿笔莥軸傾斜了45°后再進(jìn)行變化，基于此，教師可以使用信息技術(shù)軟件，以動畫的形式讓學(xué)生直觀感知到坐標(biāo)軸的變化過程。

4.2 設(shè)置認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生認(rèn)知需求

認(rèn)知沖突（Cognitive Conflict）是學(xué)習(xí)者已建立的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與當(dāng)前面臨的情境之間暫時的矛盾與沖突，是已有的知識和經(jīng)驗與新知識之間存在某種差距而導(dǎo)致心理失衡的一種認(rèn)知狀態(tài)^［23］。格勞斯認(rèn)為，克服錯誤概念對新概念學(xué)習(xí)的排斥的唯一可能的解決方法是迫使學(xué)生明確地面對他們的錯誤與所學(xué)的科學(xué)原理之間的矛盾^［24］。基于此，教師在教學(xué)過程中，需要幫助學(xué)生認(rèn)識到先前認(rèn)知似乎沒辦法解決當(dāng)前問題，使其能夠在不同的觀念碰撞中激發(fā)起求知欲和探索欲。例如：在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（在曲線上某一點的切線方程問題）中，一個突出的問題在于切線概念的拓展，原有學(xué)生對于切線的想法是與曲線只有一個公共點，但實際上像三次函數(shù)等曲線的切線是與曲線存在多個交點的。通過圖像展示，教師誘發(fā)學(xué)生對切線的思考，隨后深入剖析切線概念，形成認(rèn)知沖突，轉(zhuǎn)變學(xué)生的原有認(rèn)知。

5 結(jié)語

“學(xué)非探其花，要自拔其根。”學(xué)習(xí)不能像看花一般，流于表面，而是要尋根究底，深刻領(lǐng)會本質(zhì)內(nèi)涵。本教學(xué)模式（見圖13）的關(guān)鍵在于遵循人的認(rèn)知過程，并充分考慮信息技術(shù)與課堂教學(xué)的融合，以直觀的形式豐富學(xué)生的感知，以問題的動態(tài)表現(xiàn)和有聲有色的畫面擴展學(xué)生的想象空間，為學(xué)生提供“數(shù)學(xué)化”的活動機會，經(jīng)歷對所學(xué)內(nèi)容的“再創(chuàng)造”過程。

數(shù)學(xué)中的許多概念，從它最初的狀態(tài)，在種種原因的推動下，一次次擴張、推廣，成為像今天這樣廣泛而精確的概念^［25］。概念教學(xué)根據(jù)人的認(rèn)知發(fā)展過程展開，不僅僅是數(shù)學(xué)背景的再現(xiàn)，更是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的過程中，經(jīng)歷概念的發(fā)生發(fā)展過程，體會其背后蘊含的本質(zhì)。

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Constructing a conceptual teaching model for secondary mathematics that points to the nature of mathematics

ZHANG Xu-hui，YI Gui-sheng，ZHANG Dong-mei

（School of Mathematics and Statistics，Jiangxi Normal University，Nanchang，Jiangxi330022，China）

Abstract The new curriculum emphasises that conceptual teaching should inspire students to think and guide them to grasp the essence of the content. Adhering to the concept of “revealing the essence of mathematics and tracing the origin of teaching”， we construct the conceptual teaching model of “perception-imagination-generalisation-solidification-application-structure” as the cognitive process. The conceptual teaching model of secondary school mathematics with the cognitive process of “perception-imagination-generalisation-solidification-application-structure” is constructed to take “perception-imagination-generalisation-solidification-application-structure” as the cognitive process， and take the mathematical concepts of “variance and standard deviation” as an example， to analyse the design ideas according to the teaching model， and to help the students to understand more deeply the essence of the mathematical concepts and their logical connections.

Keywords secondary school mathematics concepts;cognitive process;teaching mode;mathematical nature

［責(zé)任編輯 馬曉寧］