任亞蓉 沈威

摘 要：發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)成為了當(dāng)前討論愈來(lái)愈激烈的話(huà)題，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)成了課堂教學(xué)的目標(biāo).本文根據(jù)研究目的，以“直線與圓的位置關(guān)系（第一課時(shí)）”教學(xué)案例為研究對(duì)象，探究其中的教學(xué)特征，建構(gòu)教學(xué)路線結(jié)構(gòu)圖.研究發(fā)現(xiàn)整個(gè)教學(xué)過(guò)程主要發(fā)展了學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理三方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；核心素養(yǎng)；個(gè)案研究

1 問(wèn)題的提出

為了深化高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革，研討高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的策略和方法，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，本文選取了“第十屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”中的教學(xué)案例“直線與圓的位置關(guān)系（第一課時(shí)）”為研究對(duì)象，教學(xué)內(nèi)容來(lái)自人教版普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)》（選擇性必修第一冊(cè)）第二章.

通過(guò)對(duì)課例視頻的反復(fù)觀看、對(duì)文字謄錄稿逐行閱讀、劃分教學(xué)片段得出了研究問(wèn)題.經(jīng)過(guò)整理發(fā)現(xiàn)，教師在引導(dǎo)學(xué)生掌握新知的基礎(chǔ)上帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想，將其代入實(shí)際生活情境中進(jìn)行應(yīng)用，并將對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程.其中，在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面，教師注重剖析學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)問(wèn)題的真正原因，從不同的方面深化學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解，帶領(lǐng)學(xué)生參與到運(yùn)算的推導(dǎo)過(guò)程中；在直觀想象素養(yǎng)方面，教師注重引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形進(jìn)行結(jié)合，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，使得抽象問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)與形之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解與應(yīng)用能力；在邏輯推理素養(yǎng)方面，教師注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，把握解題對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系，并運(yùn)用歸納、類(lèi)比的方法解決問(wèn)題.因此，本研究主要關(guān)注教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中如何對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)以及邏輯推理素養(yǎng)進(jìn)行培養(yǎng).

2 研究過(guò)程

2.1 劃分教學(xué)片段

首先觀看完整的教學(xué)視頻并通讀新授課謄錄稿，深入教學(xué)過(guò)程并對(duì)其做教學(xué)片段的劃分，劃分依據(jù)是教學(xué)過(guò)程中教師問(wèn)題的提出，比如，教師提出“哪位同學(xué)能結(jié)合兩條直線位置關(guān)系判斷方法，說(shuō)說(shuō)你對(duì)坐標(biāo)法的認(rèn)識(shí)”這算作一個(gè)教學(xué)片段，在學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法進(jìn)行回顧之后，教師又提出“我們利用坐標(biāo)法還能研究哪些基本圖形之間的位置關(guān)系”這算作另一個(gè)教學(xué)片段.按照這種依據(jù)對(duì)教學(xué)過(guò)程劃分為十個(gè)教學(xué)片段，構(gòu)建教學(xué)結(jié)構(gòu)圖，撰寫(xiě)教學(xué)故事.

2.2 畫(huà)教學(xué)路線結(jié)構(gòu)圖與撰寫(xiě)教學(xué)故事

根據(jù)教學(xué)過(guò)程建構(gòu)“新授課”的教學(xué)路線結(jié)構(gòu)圖，可以直觀展示“直線與圓的位置關(guān)系（第一課時(shí)）”的教學(xué)環(huán)節(jié)、教師與學(xué)生的互動(dòng)等方面，如圖1所示.

在教學(xué)路線結(jié)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，運(yùn)用厘清故事線的分析技術(shù)，撰寫(xiě)“直線與圓的位置關(guān)系（第一課時(shí)）”的教學(xué)故事.

判斷直線與圓的位置關(guān)系是判斷圓錐曲線位置關(guān)系的基礎(chǔ)，本節(jié)課開(kāi)始，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，類(lèi)比判斷直線與直線的位置關(guān)系的方法，引出對(duì)坐標(biāo)法的認(rèn)識(shí)，通過(guò)提問(wèn)“利用坐標(biāo)法還能研究哪些基本圖形之間的位置關(guān)系”導(dǎo)出課題.之后學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，通過(guò)移動(dòng)圓形紙片與直尺來(lái)感知直線與圓的三種位置關(guān)系，利用GeoGebra呈現(xiàn)直線與圓看似相切的圖片，通過(guò)放大使得學(xué)生感受到在觀察位置關(guān)系時(shí)，利用圖形進(jìn)行直觀判斷與真實(shí)情況是存在著偏差的，從而引導(dǎo)學(xué)生回答“利用代數(shù)運(yùn)算判斷直線與圓的位置關(guān)系”.

在學(xué)生掌握了用兩種方法判斷直線與圓的位置關(guān)系之后，教師呈現(xiàn)例1，讓學(xué)生應(yīng)用以上的方法判斷直線與圓的位置關(guān)系，并在相交的情況下計(jì)算所截弦長(zhǎng).作答時(shí)間結(jié)束之后，由兩名學(xué)生上黑板講解自己的解答思路：第一名學(xué)生聯(lián)立直線與圓的方程得出Δ＞0，進(jìn)而判斷直線與圓相交，之后該學(xué)生使用了之前學(xué)過(guò)的三種公式即兩點(diǎn)的坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式｜AB｜=1+k²｜x₁-x₂｜、｜AB｜=1+k²·（x₁+x₂）²-4x₁x₂求出了弦長(zhǎng)；第二名學(xué)生通過(guò)比較d與r判斷直線與圓相交，之后結(jié)合圖形利用勾股定理求出了弦長(zhǎng).教師總結(jié)兩名同學(xué)解題思路之后由另一名學(xué)生進(jìn)行了點(diǎn)評(píng).

例題結(jié)束后，教師帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)兩種判斷方法進(jìn)行了總結(jié).在第一種方法中，教師通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)立方程求直線與圓的公共點(diǎn)，并將其等價(jià)為方程組實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，之后對(duì)方程組進(jìn)行消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，將其記作*方程，提問(wèn)“*方程的解的個(gè)數(shù)與方程組解的個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系”進(jìn)而得出Δ＜0時(shí)直線與圓相離；Δ＝0時(shí)直線與圓相切；Δ＞0時(shí)直線與圓相交.在第二種方法中，教師仍是通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形初步判斷出兩個(gè)線段長(zhǎng)度的關(guān)系，之后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到d和r兩個(gè)數(shù)值，并將其進(jìn)行比較，得出d＞r時(shí)直線與圓相離；d=r時(shí)直線與圓相切；d＜r時(shí)直線與圓相交.最后，將d與r之比轉(zhuǎn)化為了它們的差與0相比，將上述兩種方法聯(lián)系了起來(lái).

對(duì)兩種方法進(jìn)行總結(jié)之后，教師呈現(xiàn)“在已知一點(diǎn)及圓的方程的情況下求圓的切線方程”例題（1）題由一名學(xué)生進(jìn)行講解，該學(xué)生根據(jù)斜率k存在或不存在進(jìn)行了分類(lèi)討論，最后得出了三條切線，由于斜率k不存在時(shí)得出的切線方程不符合題意，所以舍去，最終得出兩條切線方程；（2）題學(xué)生進(jìn)行板演，教師對(duì)其進(jìn)行了講解；（3）～（5）題由另一名學(xué)生進(jìn)行講解，該學(xué)生結(jié)合圖象，觀察到點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置都比較特殊，進(jìn)而直接通過(guò)圖象得到了切線方程，在（5）題中，教師還叫一名學(xué)生進(jìn)行了板演，該學(xué)生解題方法不同于上面那名同學(xué)，而是通過(guò)d與r計(jì)算得出斜率k，從而得出切線方程.最后，通過(guò)同學(xué)們的板演、講解，教師與學(xué)生討論了“求出來(lái)的切線為什么有兩條？從幾何圖形上思考會(huì)具有什么樣的特點(diǎn)？”兩個(gè)問(wèn)題.

在學(xué)生經(jīng)歷了判斷直線與圓的位置關(guān)系、求解弦長(zhǎng)及切線方程后，教師與學(xué)生共同總結(jié)在本節(jié)課學(xué)到了什么，學(xué)生的回答為：我們不僅學(xué)習(xí)了判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法，一種是聯(lián)立方程，另一種是比較圓心到直線的距離與半徑，以及學(xué)會(huì)了求弦長(zhǎng)，切線的方程，在這過(guò)程中體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的思想.教師帶學(xué)生又進(jìn)行了一次梳理：我們是通過(guò)動(dòng)手操作、圖形觀察回憶起了直線與圓的三種位置關(guān)系，通過(guò)建立坐標(biāo)系將相關(guān)的幾何要素代數(shù)化，進(jìn)而得到了解決直線與圓的位置關(guān)系的兩種代數(shù)方法，又研究了過(guò)一點(diǎn)求切線的問(wèn)題以及求弦長(zhǎng)的問(wèn)題，并且本節(jié)課的內(nèi)容是在數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸兩大重要的數(shù)學(xué)思想的支撐下完成的.

為鞏固學(xué)生本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，教師為此呈現(xiàn)了兩道例題，在第一題中已知直線與圓的方程，讓學(xué)生判斷它們的位置關(guān)系；在第二題中，已知直線方程，并且該直線與圓相切，要求求出圓的方程.在學(xué)生們完成之后，教師在課堂上對(duì)其進(jìn)行了批改，了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的掌握情況.

最后，教師帶領(lǐng)學(xué)生梳理了用坐標(biāo)法判斷幾何問(wèn)題的步驟.第一步，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何要素，比如點(diǎn)，線，圓等.把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

3 研究發(fā)現(xiàn)

3.1 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是在理解運(yùn)算對(duì)象的前提下，運(yùn)用掌握的運(yùn)算法則解決問(wèn)題的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中基于法則展開(kāi)數(shù)學(xué)運(yùn)算有著豐富的內(nèi)涵和層次^［3］.在運(yùn)算中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，教師會(huì)將原因視為粗心^［4］，不會(huì)花很多的時(shí)間剖析學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)問(wèn)題的真正原因.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要重視學(xué)生出錯(cuò)的真正原因，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的概念的理解，重視公式的產(chǎn)生、發(fā)展和推導(dǎo)的過(guò)程.此外，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考不同的運(yùn)算思路，通過(guò)比較，選擇最優(yōu)的運(yùn)算思路.

本節(jié)課中，教師通過(guò)兩道例題，引導(dǎo)學(xué)生如何準(zhǔn)確判斷直線與圓的位置關(guān)系以及如何在相交的情況下求切線.第一題是在平面直角坐標(biāo)系中呈現(xiàn)了一個(gè)圓、一條直線以及三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，其中，第（1）題是求直線與圓的方程，第（2）是判斷直線與圓的位置關(guān)系，教師呈現(xiàn)（1）（2），循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生要利用直線與圓的方程去判斷直線與圓的位置關(guān)系.學(xué)生利用兩種方法即聯(lián)立方程、比較d與r得出了直線與圓的位置關(guān)系.這道題不僅需要學(xué)生會(huì)聯(lián)立方程進(jìn)行運(yùn)算、掌握點(diǎn)與直線之間距離的運(yùn)算法則，而且還要理解運(yùn)算對(duì)象即聯(lián)立方程、d與r的內(nèi)涵，進(jìn)而通過(guò)判別式Δ或者比較d與r得出直線與圓的位置關(guān)系.第（2）題在第（1）題的基礎(chǔ)上增加了難度，學(xué)生先判斷位置關(guān)系，如果二者相交還需求出弦長(zhǎng).這里學(xué)生判斷位置關(guān)系的方法與第一題一樣，在求弦長(zhǎng)時(shí)，兩名學(xué)生通過(guò)三個(gè)公式以及勾股定理進(jìn)行了運(yùn)算，在運(yùn)算的過(guò)程中，其中一名學(xué)生將公式中的每一個(gè)字母分別對(duì)應(yīng)到了本題中，真正理解了運(yùn)算對(duì)象的內(nèi)涵，另一名學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)勾股定理計(jì)算出了弦長(zhǎng)，這種運(yùn)算步驟簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小，不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，是一種較為優(yōu)化的運(yùn)算思路.在兩道題中，均培養(yǎng)了學(xué)生是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，并且學(xué)生還將運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行了展示，提高了他們的數(shù)學(xué)交流表達(dá)能力，加深了其對(duì)相應(yīng)運(yùn)算程序及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解^［5］.

3.2 培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的能力

數(shù)學(xué)中的直觀想象屬于理性思維，需要借助數(shù)學(xué)抽象，得到情境中數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性^［6］.直觀想象素養(yǎng)的核心表現(xiàn)是數(shù)形結(jié)合思想的形成^［7］，借助幾何圖形把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，將抽象問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化、直觀化.在代數(shù)教學(xué)過(guò)程中，利用幾何圖形可以讓學(xué)生更加深刻的理解其中所蘊(yùn)藏的涵義，使問(wèn)題變得更加形象；在幾何教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)數(shù)量關(guān)系解決圖形問(wèn)題，可以增加解題的嚴(yán)謹(jǐn)性.

在本節(jié)課的第三環(huán)節(jié)中，教師很好地將數(shù)與形結(jié)合在一起，使得學(xué)生體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的思想方法.該環(huán)節(jié)要求學(xué)生求不同條件下的圓的切線方程，本題難點(diǎn)在于如何確定切線的條數(shù)，比如第（2）題，已知圓O：x²+y²=1，切線過(guò)P（1，2），求切線方程.如果直接假設(shè)切線的斜率為k的話(huà)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得出k=?，此時(shí)可以得出一條切線，但是如果借助圖形進(jìn)行思考，不難發(fā)現(xiàn)P（1，2）是在圓外的，所以過(guò)P（1，2）的切線是有兩條的.只利用代數(shù)運(yùn)算忽視了斜率k不存在的情況，不能正確地進(jìn)行解題.在另一題中，已知圓O：x²+y²=1，切線過(guò)P（2，1），求切線方程.學(xué)生此時(shí)考慮到了斜率k存在和不存在的兩種情況，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得出斜率k存在時(shí)，切線方程分別為y=1，4x-3y-5=0，斜率k不存在時(shí)，方程為x=2，在平面直角坐標(biāo)系表示該圓與得出的三條切線就會(huì)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)斜率k不存在得出的切線方程是不符合題意的，所以該題的切線只有兩條.由圖形到代數(shù)運(yùn)算，再由代數(shù)運(yùn)算到圖形，進(jìn)一步檢驗(yàn)了解決問(wèn)題方案的正確性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.數(shù)與形二者之間的轉(zhuǎn)化，使得解題更加的嚴(yán)謹(jǐn)，因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用幾何的眼光去觀察圖形，用代數(shù)的方法去解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

3.3 培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力

數(shù)學(xué)推理反映了一種基本的數(shù)學(xué)思想，并且也是一種主要的數(shù)學(xué)方法^［8］.邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過(guò)程，它主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類(lèi)比；一類(lèi)是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹^［9］.當(dāng)前提倡會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)就是促進(jìn)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界的重要力量^［10］，我們應(yīng)對(duì)其加以關(guān)注.

在本節(jié)課的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師都在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理.在學(xué)生知道用代數(shù)運(yùn)算判斷直線與圓的位置關(guān)系之后，首先建立了平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出直線與圓的方程，之后類(lèi)比直線與直線的位置關(guān)系的判斷方法，將直線與圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，并推理出直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以等價(jià)為方程組實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).學(xué)生聯(lián)立直線與圓的方程后，通過(guò)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，并將其記作*方程.通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生推出*方程解的個(gè)數(shù)與方程組解的個(gè)數(shù)是一樣的，進(jìn)而得出*方程解的個(gè)數(shù)和直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也是一樣的，所以可以用借助*方程計(jì)算判別式Δ并與零相比較，當(dāng)Δ＜0時(shí)，*方程無(wú)解，即直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，屬于相離；當(dāng)Δ=0時(shí)，*方程有一解，即直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，屬于相切；當(dāng)Δ＞0時(shí)，*方程有兩解，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，屬于相交.在這一過(guò)程中，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚贸隹梢韵扔?jì)算*方程的判別式Δ，再將其與零相比較來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，加強(qiáng)了學(xué)生的邏輯推理意識(shí)，提高了學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

4 結(jié)論

本節(jié)課遵循著“導(dǎo)入—新課講授—應(yīng)用—小結(jié)—練習(xí)—布置作業(yè)”的步驟，通過(guò)教師的引導(dǎo)使得學(xué)生掌握了判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法，并在此基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠解決直線被圓截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題以及過(guò)一點(diǎn)與圓相切的直線方程問(wèn)題，初步實(shí)現(xiàn)了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).此外，學(xué)生經(jīng)歷了把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問(wèn)題，把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論的過(guò)程，體會(huì)了坐標(biāo)法研究平面幾何問(wèn)題的基本思想，提升了學(xué)生分析問(wèn)題的能力以及總結(jié)歸納的能力，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理三方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).為了使學(xué)生深層次的理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程中，教師可以在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，展示數(shù)學(xué)的人文特征，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.在應(yīng)用方面，教師可以借助生活情境，使得學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中去，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系.在引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)容的同時(shí)，教師還應(yīng)注重探索提升學(xué)生綜合素質(zhì)的路徑，將發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)真正落實(shí)在教學(xué)中.

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