［摘? 要］ 為了落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師應(yīng)以生為出發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問題，用數(shù)學(xué)方法解決問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)思想方法. 在日常教學(xué)中，教師要認真研究教材、研究學(xué)生、研究教學(xué)，基于“三個理解”合理地設(shè)計、組織教學(xué)活動，以此提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；三個理解；學(xué)習(xí)能力

作者簡介：施良結(jié)（1980—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

在新課改的推動下，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)越來越關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的發(fā)展，那么在教學(xué)中，具體應(yīng)如何落實呢？筆者以“函數(shù)的極值”為例，談幾點看法.

分析學(xué)情，以學(xué)定教

1. 內(nèi)容分析

本課研究的主要內(nèi)容是極值概念，極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及求極值的方法和步驟. 在學(xué)習(xí)本課內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了導(dǎo)數(shù)概念，理解了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法，本課內(nèi)容作為繼用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的又一應(yīng)用，其在本章“導(dǎo)數(shù)”的教學(xué)中有重要價值，既是前面所學(xué)內(nèi)容的延續(xù)與深化，又為后面利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)做鋪墊.

在概念教學(xué)中，主要采用的是數(shù)形結(jié)合思想方法，讓學(xué)生親歷概念形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，有效提高學(xué)生觀察、分析和歸納等數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 學(xué)情分析

對于高中生，他們具有一定的數(shù)學(xué)抽象、歸納、推理等能力，并掌握了數(shù)形結(jié)合、特殊到一般、一般到特殊等數(shù)學(xué)思想，加上本課學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)概念，研究了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以上能力、方法、經(jīng)驗為開展“以學(xué)為本”的教學(xué)活動提供了保障.

3. 教學(xué)目標

在充分研究學(xué)情后，確定本課教學(xué)目標如下：

（1）理解函數(shù)極值概念，掌握求函數(shù)極值的步驟與方法；

（2）體驗數(shù)形結(jié)合、歸納推理等思想方法的應(yīng)用，理解數(shù)學(xué)研究方法；

（3）通過自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合的方式，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維品質(zhì).

以學(xué)為本，依學(xué)而教

1. 巧借問題，引入概念

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的實際出發(fā)，依據(jù)學(xué)情設(shè)計恰當?shù)膯栴}，以此提升課堂參與度，讓學(xué)習(xí)在思考和解決問題的過程中真正發(fā)生. 在本課教學(xué)前，教師對學(xué)生的已有知識、經(jīng)驗、能力進行了系統(tǒng)分析，基于學(xué)情設(shè)計了相應(yīng)問題.

師：根據(jù)已有經(jīng)驗，請同學(xué)們思考下面這個問題：觀察下列函數(shù)的圖象，圖中各點有怎樣的共同特征？

生1：A，B，E，G分別在圖象某一段的最低位置，C，D，F(xiàn)分別在圖象某一段的最高位置.

師：觀察得很仔細. 通過觀察得到了“最高”“最低”的概念，那么這7個點具有怎樣的共同特征呢？（學(xué)生繼續(xù)觀察）

生2：它們兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性正好相反.

師：非常好，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？（學(xué)生不語）

師：觀察一下，過這些點的切線有怎樣的特點呢？（教師提示）

學(xué)生在草稿紙上積極操作，教師巡視并對個別學(xué)生進行指導(dǎo).

生3：我發(fā)現(xiàn)這些切線與x軸平行，即切線的斜率為0.

師：真是一個非常棒的發(fā)現(xiàn). 結(jié)合以上發(fā)現(xiàn)，請大家概括一下各點的共同特征. （教師鼓勵學(xué)生互動交流）

生4：我們小組將以上發(fā)現(xiàn)總結(jié)歸納為以下3點：①與附近的點相比，這些點要么是最低點，要么是最高點，與之對應(yīng)的，這些點在一定的區(qū)間內(nèi)，其函數(shù)值要么是最小值，要么是最大值；②這些點兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性正好相反；③過這些點的切線斜率為0.

師：總結(jié)得非常好！這些點的共同特征就是我們今天要研究的重點.在數(shù)學(xué)上，稱這樣的點為極值點，它們的函數(shù)值稱為函數(shù)的極值. （教師板書“函數(shù)的極值”）

接下來，在教師的引導(dǎo)和啟發(fā)下，學(xué)生又得到了極大值和極小值的概念. 教師組織學(xué)生思考、討論、表達，從而用簡潔、精準的數(shù)學(xué)語言給出了完整的極值概念.

設(shè)計意圖 借助“形”的直觀讓學(xué)生觀察各點在圖象中的特殊位置，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納這些點的共同特征. 在問題的引領(lǐng)下，讓學(xué)生合作探究，既提升了課堂參與度，又培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象能力和抽象概括能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)思考 數(shù)學(xué)抽象能力不是與生俱來的，它的形成需要一個長期過程，需要建立在豐富的感知認識的基礎(chǔ)上. 在教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供一些素材，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、去分析、去提煉、去概括，從而抽象出對象的本質(zhì)特征. 如在本課教學(xué)中，教師首先給出直觀的函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過觀察、交流，發(fā)現(xiàn)圖象上這些點的共同特征. 另外，通過親身經(jīng)歷概念的生成過程以及由特殊到一般的推理過程，有利于學(xué)生理解和記憶概念，有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

2. 比較辨析，形成概念

在以上教學(xué)中，雖然學(xué)生親身經(jīng)歷了概念的生成過程，但此時學(xué)生對概念的理解還是比較粗淺的. 因此，教師有必要創(chuàng)設(shè)一些比較辨析的活動，讓學(xué)生在活動中進一步理解概念的內(nèi)涵，加速形成概念.

師：結(jié)合極值概念以及以前已學(xué)的函數(shù)，你能列舉幾個關(guān)于極值點的例子嗎？

教師鼓勵學(xué)生互動交流，學(xué)生很快就列舉出了許多熟悉的函數(shù)極值點的例子，課堂氣氛活躍.

師：圖5是函數(shù)y=f（x）的圖象，請指出函數(shù)y=f（x）的極大值和極小值.

結(jié)合函數(shù)的極值概念，學(xué)生快速就給出了答案.

師：剛剛大家回答得非常好，結(jié)合概念準確地給出了答案. 誰來說一說，你們是如何判斷橫坐標為a，h的兩點不是極值點的呢？

生5：因為無法判斷這兩點左右兩側(cè)的單調(diào)性是否相反.

生6：也不符合“過該點的切線斜率為0”這一條件. （生6補充道）

師：回答得非常準確，由此你得到了什么結(jié)論呢？

生7：函數(shù)在一個區(qū)間的端點處都不是極值點.

師：非常好，結(jié)合以上發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)的極值，你是否有了新的認識？

生8：函數(shù)的極值可以是一個或多個，不過區(qū)間端點處的函數(shù)值一定不是極值.

生9：函數(shù)的極大值和極小值沒有必然的聯(lián)系，在不同的區(qū)間范圍內(nèi)，極大值可以小于極小值.

師：說得非常好！極值就如同生活，在某個階段我們可能會遇到低谷，但是只要我們有著必勝的信念就一定會觸底反彈，走向更為廣闊的天地，攀登人生一個又一個高峰.

設(shè)計意圖 為了讓學(xué)生完整、系統(tǒng)地理解概念，教師先讓學(xué)生列舉了一些實例，然后利用圖象深化對函數(shù)的極值的認識. 在歸納極值的特點時，教師“以生為本”，提高了學(xué)生的參與熱情，讓學(xué)生在自主交流和合作探究中體驗到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣，提高了探究能力. 另外，在教學(xué)中，教師滲透德育，啟發(fā)學(xué)生正確地對待學(xué)習(xí)與生活，樹立正確的人生觀，不斷進取，勇攀高峰.

3. 拓展延伸，深化概念

數(shù)學(xué)知識具有較強的邏輯性，若想將知識學(xué)懂學(xué)透，就要跳出單一知識的束縛，著眼于全局，將相關(guān)的知識放在一個大的結(jié)構(gòu)中，通過探尋新舊知識前后的聯(lián)系，將新知識納入已有認知結(jié)構(gòu)中，以此豐富學(xué)生的原有認知體系，提高學(xué)生解決問題的能力. 函數(shù)的極值與前面所學(xué)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等知識息息相關(guān)，因此教師有必要通過一定的啟發(fā)和引導(dǎo)幫助學(xué)生將相關(guān)知識串聯(lián)起來，從而實現(xiàn)知識的深化和融合.

師：對于可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），若在區(qū)間M上f′（x）>0，則f（x）在區(qū)間M上是增函數(shù)；反之，若f′（x）<0，則f（x）在區(qū)間M上是減函數(shù). 對于這一性質(zhì)，你感覺與函數(shù)的極值的哪個特點存在聯(lián)系呢？

學(xué)生齊聲答：極值點左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是相反的.

師：很好，請大家利用以上5個函數(shù)圖象（圖1至圖5），思考并討論一下，兩者有什么關(guān)系呢？（教師預(yù)留時間讓學(xué)生充分交流討論）

生10：由函數(shù)的極值概念可知，極值點處的切線斜率為0，左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性相反，這個可以說明函數(shù)極值點左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號. 因此求函數(shù)極值點時，我們可以充分利用這一特點，先由f′（x）=0解出x的值，然后檢驗該點左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號，若異號則可以判斷該點為極值點.

師：總結(jié)得非常精彩！檢驗一定不能忘記，因為有些可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），雖然滿足f′（x）=0，但是在x=x處卻無法取到極值. 如f（x）=x3，由f′（x）=0得x=0，而x=0不是函數(shù)f（x）=x3的極值點.（教師展示f（x）=x3的圖象，讓學(xué)生觀察、體驗）

接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生利用表格總結(jié)歸納函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（見表1），以此借助表格的直觀深化對知識的理解.

師：若圖5是y=f′（x）的圖象，你能指出函數(shù)y=f（x）的極大值和極小值嗎？

學(xué)生積極思考，教師巡視，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生理解y=f′（x）的圖象和y=f（x）的圖象時出現(xiàn)了干擾，未能順利地解決問題. 教師及時捕捉學(xué)生的困惑，啟發(fā)學(xué)生嘗試畫出y=f（x）的簡圖，由此通過對比異同順利地解決了問題.

設(shè)計意圖 探究函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是本課的一個教學(xué)難點，為了幫助學(xué)生突破這個難點，教師從學(xué)生已有知識出發(fā)，充分利用數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、交流，理解并掌握了可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件. 同時，反例的給出深化了學(xué)生對充分條件的理解. 另外，教師讓學(xué)生以表格的方式呈現(xiàn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，不僅便于學(xué)生理解和記憶極值概念，而且培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，有利于學(xué)生落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). ？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

4. 應(yīng)用拓展，鞏固概念

通過由淺入深的逐層探究，學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了極值概念. 為了進一步鞏固極值概念，教師引入了一些練習(xí)，并借助概念的具體應(yīng)用幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗，促進舊知遷移和新知建構(gòu).

練習(xí)1：求函數(shù)f（x）=x3－4x+的極值.

練習(xí)2：求函數(shù)f（x）=x+的極值.

練習(xí)3：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2－11x+a3在x=1處取到極值，求實數(shù)a的值.

練習(xí)4：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處取到極值10，求實數(shù)a，b的值.

設(shè)計意圖 充分發(fā)揮練習(xí)題的示范功能，讓學(xué)生掌握解決此類問題的基本方法和步驟，規(guī)范書寫格式，培養(yǎng)思維的嚴謹性. 對于以上4道練習(xí)題，教師不需要一一講解，應(yīng)預(yù)留一定的時間讓學(xué)生去思考、交流，通過練習(xí)、板演等活動充分呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，結(jié)合學(xué)生實際反饋調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，以此提高教學(xué)的有效性.

5. 互動交流，升華概念

課堂教學(xué)不僅要讓學(xué)生理解知識，掌握技能，還要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，以此促進學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展. 在教學(xué)中，教師要秉承“以生為本”的教學(xué)理念，通過循循善誘的引導(dǎo)，讓學(xué)生透過表面深刻地理解概念的內(nèi)涵和外延，同時通過合理的整合讓學(xué)生把相似或相關(guān)的內(nèi)容串聯(lián)起來，以此促進知識的內(nèi)化. 為了便于學(xué)生深刻地理解知識，教師可以引導(dǎo)學(xué)生互動交流，充分發(fā)揮個體差異的優(yōu)勢，通過不同思維的碰撞來豐富學(xué)生的認知體系，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

師：請大家談一談，通過本課學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

設(shè)計意圖 教師為學(xué)生提供了一個平等交流的舞臺，讓學(xué)生將學(xué)習(xí)中的所思、所悟、所想、所惑再次呈現(xiàn)出來，通過對所學(xué)內(nèi)容的再次梳理形成清晰的知識脈絡(luò)，建構(gòu)完善的認知體系，形成學(xué)習(xí)能力.

教學(xué)思考

在教學(xué)中，教師要秉承“以生為本”的教學(xué)理念，適時地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、交流，在問題分析和解決的過程中，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的思維能力.

首先，教師要從教學(xué)實際出發(fā)，精心設(shè)計問題，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，既要充分預(yù)設(shè)，又要合理對待生成，使學(xué)習(xí)真正發(fā)生. 教師作為課堂教學(xué)的組織者，要結(jié)合學(xué)生的已有基礎(chǔ)知識和經(jīng)驗提出問題，既要讓學(xué)生“夠得著”，又要讓學(xué)生“跳一跳”. 基于最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)問題，誘發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生真正參與到課堂中來，通過對問題的思考、分析、探索和解決來鞏固學(xué)生的“四基”，提升學(xué)生的“四能”.

其次，教師要重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和合作探究能力的培養(yǎng)，要為學(xué)生創(chuàng)造機會去觀察、去思考、去探索，充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)習(xí)變成一件主動、快樂的事. 當然，學(xué)生的“學(xué)”離不開教師適當?shù)摹皩?dǎo)”，即教師要站在學(xué)生的角度提出問題，幫助學(xué)生分析問題、解決問題，通過適當?shù)囊龑?dǎo)讓學(xué)生真正融于課堂，用自己的觀察力和思考力獲得真知.

再者，教師要重視知識、方法、經(jīng)驗等內(nèi)容的總結(jié)和歸納，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的升華與體驗，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)的研究方法，以此促進學(xué)生可持續(xù)發(fā)展.

總之，在教學(xué)中，教師要將學(xué)生的發(fā)展放在首位，精心設(shè)計教學(xué)活動，巧妙設(shè)計問題情境，為學(xué)生鋪設(shè)思維臺階，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).