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        觀察結(jié)構(gòu)特征 優(yōu)化思維定式

        2023-03-15 22:20:49張彬政
        關(guān)鍵詞:數(shù)列

        [摘? 要] 高考數(shù)學(xué)試題題目新,信息量大,指導(dǎo)性強(qiáng).對高考試題的研究有利于指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),在日常教學(xué)中除了強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識全面深刻理解和融會貫通運(yùn)用外,還應(yīng)關(guān)注解題方法和解題過程的優(yōu)化,不斷提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

        [關(guān)鍵詞] 數(shù)列;觀察探究;“四基四能”

        作者簡介:張彬政(1976—),高級教師,四川省教書育人名師、四川省模范教師、四川省骨干教師、四川省鼎興名師工作室成員,受省政府、市政府、縣政府三級表彰,市委、市人民政府授予 “優(yōu)秀教師”稱號. 在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》《中小學(xué)數(shù)學(xué)》《數(shù)理化學(xué)習(xí)》《數(shù)理化解題研究》《語數(shù)外學(xué)習(xí)》《中學(xué)生數(shù)理化》《數(shù)學(xué)大世界》《中學(xué)生理科月刊》《招生考試報》等刊物上發(fā)表過論文35篇.

        觀察是人們對周圍世界的客觀事物和現(xiàn)象,在自然條件下,按照客觀事物本身存在的實(shí)際情況,研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的方法, 是一種很重要的思維活動.數(shù)學(xué)觀察則是對數(shù)學(xué)問題,在客觀情境下考察其數(shù)量關(guān)系及圖形性質(zhì)的一種方法.通過觀察來搜集新材料,發(fā)現(xiàn)新事實(shí),探索對象的本質(zhì),洞察出隱在深處的數(shù)量關(guān)系和圖象的性質(zhì)以及問題間的內(nèi)在聯(lián)系. 通過觀察來認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)、揭示數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法. 數(shù)學(xué)觀察能開闊學(xué)生的思路,發(fā)展學(xué)生思維的靈活性,使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性與深刻性.

        試題呈現(xiàn)

        (2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)第17題)設(shè)數(shù)列{a}滿足a=3,a=3a-4n.

        (1)計(jì)算a,a,猜想{a}的通項(xiàng)公式并加以證明;

        (2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和S.

        分析 第(1)問主要考查數(shù)列通項(xiàng)模型的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題. 第(2)問是一個等差數(shù)列和等比數(shù)列之積求和的數(shù)學(xué)問題,可利用錯位相減法求解,屬于中檔題. 考查學(xué)生對基本知識的掌握程度及運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力. 體現(xiàn)了新課標(biāo)對“知識了解”考查的要求:對知識有初步、感性認(rèn)識,知道它是什么,按照一定程序和步驟進(jìn)行模仿,在相關(guān)問題中能識別和認(rèn)識它并加以應(yīng)用.

        觀察問題特征、直擊問題本質(zhì)、優(yōu)化思維定式

        大千世界,千變?nèi)f化,數(shù)學(xué)問題亦如此,想憑借一種固定的方案,快速且準(zhǔn)確地解決各種問題,肯定行不通. 這就要求學(xué)習(xí)者要有一雙善于發(fā)現(xiàn)問題的慧眼,能洞察問題的本質(zhì),并利用思維的敏捷性來舉一反三達(dá)到融會貫通的效果[1]. 從心理學(xué)的角度來看,認(rèn)識一件事物的最初形式是感覺與知覺,觀察屬于知覺的高級形式. 觀察是集目的性、計(jì)劃性與持久性于一體的心理活動過程. 因此,加強(qiáng)新事物的觀察,是建構(gòu)新知的最基本途徑,也是學(xué)生產(chǎn)生疑問并釋疑的基本前提. 數(shù)學(xué)觀察應(yīng)根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)、認(rèn)知水平點(diǎn)撥思維.數(shù)學(xué)觀察探究什么?數(shù)學(xué)觀察探究的方向是什么?數(shù)學(xué)觀察探究的途徑是什么?怎樣做好數(shù)學(xué)觀察探究方法的收集與處理?學(xué)生在教師的引領(lǐng)下,以自己的方式、習(xí)慣、情感和認(rèn)知規(guī)律去探索、去研究、去發(fā)現(xiàn)、去感悟、去理解,得出合理的結(jié)論和思考的方法,提高解題能力,提升學(xué)科素養(yǎng).

        由題目第(1)問可得2nan=(2n+1)2n,涉及數(shù)列求和. 數(shù)列求和常見的方法有分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法. 分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為若干個數(shù)列通項(xiàng)的和或差;裂項(xiàng)相消法的基本思路是將通項(xiàng)拆分,產(chǎn)生相互抵消的項(xiàng);錯位相減法主要用于求{anbn}的前n項(xiàng)和,其中{a},{b}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列.

        題目第(2)問歸類為求{anbn}的前n項(xiàng)和,其中{a},{b}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,是典型的用錯位相減法求和例題. 但如果{b}為等比數(shù)列,{a}不是等差數(shù)列呢?可先觀察探究以下問題,認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),揭示數(shù)學(xué)規(guī)律,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法,提升“四基”“四能”.

        觀察探究1 ?求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

        觀察到分母為積這一特點(diǎn),這是數(shù)列求和中的“積求和”典型例子,可采用裂項(xiàng)相消法將通項(xiàng)拆分,快速得出S=1-. 有人認(rèn)為“積求和”,可以取對數(shù)求解,但是取對數(shù)對此題行不通. 這里為什么要裂項(xiàng)?觀察到分母是兩個相鄰自然數(shù)的乘積,只有通過裂項(xiàng),才能相消求和.這題通過觀察式子的結(jié)構(gòu)特征得出的基本經(jīng)驗(yàn)是“積求和,裂項(xiàng)相消”,那么“積求和,裂項(xiàng)相消”對“求{anbn}的前n項(xiàng)和,其中{a},{b}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列”這類題是否行得通呢?這可以通過裂項(xiàng)相消法達(dá)到目的,但不是所有的數(shù)列“積求和”都行,比如“求數(shù)列{sin(anbn)}的前n項(xiàng)和,其中{a},{b}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列”.

        觀察探究2 ?繼續(xù)求解題目第(2)問——求{(2n+1)2n}的前n項(xiàng)和.

        結(jié)束語

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》規(guī)定數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)是:通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn);提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力. 因此,教師在教學(xué)中要教會學(xué)生通過觀察認(rèn)識事物的本質(zhì)以及知識間的相互關(guān)聯(lián),把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進(jìn)教學(xué),讓學(xué)生樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神,不斷提高實(shí)踐能力,提升創(chuàng)新意識,利于“四基”強(qiáng)化和“四能”提升[4].

        參考文獻(xiàn):

        [1] 張彬政. 學(xué)科核心素養(yǎng)理念下提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的教學(xué)策略[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2022(04):38-39.

        [2] 中華人民共和國教育部考試中心.《中國高考評價體系》[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

        [3] 中華人民共和國教育部考試中心.《中國高考評價體系說明》[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

        [4] 章建躍.高中數(shù)學(xué)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考[J]. 課程·教材·教法,2016,36(07):44-49.

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