李小鳳

【摘要】在數(shù)學(xué)的漫長(zhǎng)發(fā)展史上，經(jīng)過(guò)各種思維的碰撞形成了數(shù)學(xué)思想方法，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，它包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想等，其中數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的位置。文章主要分析數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行有針對(duì)性教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)形結(jié)合;思想方法

一、數(shù)形結(jié)合的概念

高中數(shù)學(xué)的研究對(duì)象可以大致地分為代數(shù)和幾何兩大部分，其中代數(shù)即是研究數(shù)，方程，函數(shù)、數(shù)列等“數(shù)”的問(wèn)題，而幾何則是研究圖形、符號(hào)、位置關(guān)系等“形”的問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合就是將兩者結(jié)合起來(lái)，利用“形”的直觀來(lái)解釋“數(shù)”的抽象性，或借助“數(shù)”的精確性來(lái)闡明“形”的某些性質(zhì)。

二、數(shù)形結(jié)合思想的意義

“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”，華羅庚說(shuō)的這句話就揭示了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，不僅僅是要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理，更需要學(xué)生能夠?qū)W會(huì)邏輯地、創(chuàng)造性地去思考，形成數(shù)學(xué)的思維方法。數(shù)形結(jié)合思想方法可以借助圖象直觀地解釋代數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)也能將幾何圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，達(dá)到將抽象的問(wèn)題直觀化，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的，它降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

隨著人教版（2019）數(shù)學(xué)新教材的使用，筆者發(fā)現(xiàn)新教材處處都在滲透數(shù)形結(jié)合思想，例如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，平面向量、圓錐曲線等都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。另外在解題教學(xué)中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，最值問(wèn)題，三角不等式問(wèn)題更是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的代表。由此可見(jiàn)，有效地將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中是新課改的要求，更是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效方法。

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）數(shù)形結(jié)合思想在概念教學(xué)中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)的概念有著極強(qiáng)的壓縮性特點(diǎn)，通過(guò)精簡(jiǎn)文字?jǐn)⑹鲋苯拥玫浇Y(jié)論，這個(gè)過(guò)程是缺少邏輯推理的，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)會(huì)感到枯燥，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，結(jié)合教材上概念的描述合理地運(yùn)用圖形、表格和動(dòng)圖等可視化工具，可以幫助學(xué)生高效、準(zhǔn)確地理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)概念。例如在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念時(shí)，可以將教材中指數(shù)增長(zhǎng)和指數(shù)衰減的數(shù)據(jù)，用圖象表示，并畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的增長(zhǎng)情況做對(duì)比，了解它們之間的區(qū)別，這時(shí)再引入指數(shù)函數(shù)的概念，學(xué)生就能明白學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的必要性了。再利用GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件做出指數(shù)函數(shù)的動(dòng)圖，在拖動(dòng)變量時(shí)，根據(jù)圖象的變化學(xué)生就可以自己根據(jù)教師的提示歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)了。這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)圖形直觀降低了概念學(xué)習(xí)的難度，同時(shí)也增加了課堂的趣味性，增加了學(xué)生課堂參與積極度。為了在課堂教學(xué)中充分滲透數(shù)形結(jié)合思想，需要教師扎根教材，深入研究教材中有哪些方面可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生解讀課本，為其建構(gòu)完整的教學(xué)概念體系。

（二）善用圖形解決代數(shù)問(wèn)題

將特定的數(shù)量關(guān)系用圖形表示，可以清楚直觀地把握數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，從而可以快速地從圖形中找到題目的隱含關(guān)系，如最值，交點(diǎn)，單調(diào)性等性質(zhì)。其中函數(shù)和方程的內(nèi)容是以“數(shù)”化“形”來(lái)解題代表，這部分內(nèi)容抽象度高，難度大，導(dǎo)致學(xué)生很難真正掌握函數(shù)與方程，也不會(huì)利用它來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在教學(xué)中可以加入函數(shù)的圖象，或者利用GeoGebra等軟件做出函數(shù)或方程的動(dòng)圖，可以降低題目的復(fù)雜度，快速找到解題的關(guān)鍵，例如在講解定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，就可以通過(guò)數(shù)學(xué)軟件作出函數(shù)或方程的圖象，引導(dǎo)學(xué)生找到解題的突破口，這樣的話學(xué)生就不會(huì)畏懼這類復(fù)雜的題目了。再例如下面這道函數(shù)題，也是利用圖形解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的典范。

在解題過(guò)程中加入圖形之后，則更加直觀和簡(jiǎn)單，學(xué)生動(dòng)手作圖也可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（三）善用“數(shù)”的關(guān)系來(lái)解決圖形問(wèn)題

利用數(shù)來(lái)求解圖形中的某些性質(zhì)，會(huì)有簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率的功能，如判斷空間位置關(guān)系、定點(diǎn)問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等。我們可以在圖形中建立坐標(biāo)系，然后利用向量這個(gè)工具來(lái)將數(shù)量關(guān)系從圖形中提取出來(lái)，再通過(guò)函數(shù)和方程的計(jì)算來(lái)解決圖形中的相關(guān)問(wèn)題。例如，如圖，在直角三角形中，點(diǎn)D為斜邊BC的靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AB=3，AC=6求∠BEC的余弦值。學(xué)生先以A點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量，，

再利用向量的知識(shí)就可以求解出∠BEC的余弦值。又比如在求圓錐曲線與直線相交的問(wèn)題也是先聯(lián)立曲線方程和直線方程，通過(guò)消元法化為一個(gè)一元二次方程，再利用一元二次方程的性質(zhì)來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題。通過(guò)上述應(yīng)用可以看出來(lái)，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決幾何問(wèn)題，可以降低解題難度，為學(xué)生開(kāi)辟全新的學(xué)習(xí)方法，幫助學(xué)生排解畏難情緒，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)持續(xù)的過(guò)程，要求教師要深入挖掘教材，讓學(xué)生在教材學(xué)習(xí)中感受數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化課堂教學(xué)。在解題教學(xué)中也要從多方面、多渠道地深度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]王榕.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中國(guó)科技投資，2017（31）：376.

[2]尚文斌，聶亞瓊.淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].科教文匯，2008（12）.