馬杰 李多猛

摘? 要：喻平教授通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，建構(gòu)了以概念域、概念系、命題域、命題系為核心的CPFS結(jié)構(gòu)理論. 文章借助CPFS結(jié)構(gòu)理論，多維度詮釋全概率公式，從理想化的古典概型到一般化的全概率，從將加權(quán)平均類(lèi)比到全概率公式，從借助韋恩圖到直觀理解全概率，讓學(xué)生厘清概率知識(shí)之間的邏輯關(guān)聯(lián)，形成概念體系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：CPFS結(jié)構(gòu)理論；全概率公式；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一、引言

概念是反映對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式. 數(shù)學(xué)概念是組成數(shù)學(xué)知識(shí)的最基本的構(gòu)成單位，是判斷命題真假的重要依據(jù)之一. 對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，南京師范大學(xué)的喻平教授提出了CPFS結(jié)構(gòu)理論，其中C，P，F(xiàn)，S分別是概念（concept）、命題（proposition）、域（field）、系（system）的英文首字母的縮寫(xiě)，該理論由概念域、概念系、命題域、命題系構(gòu)成，是一種在學(xué)習(xí)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu). CPFS結(jié)構(gòu)理論從多角度詮釋了概念的等價(jià)表述，讓學(xué)生在頭腦中形成概念域；明示多個(gè)概念之間的關(guān)系，建立概念網(wǎng)絡(luò)，從而形成概念系. 命題域是指滿(mǎn)足某種關(guān)系的公理、定理、公式、法則等組合而成知識(shí)體系；通過(guò)對(duì)知識(shí)的訓(xùn)練鞏固，學(xué)生在頭腦中能根據(jù)一組命題推出其他命題，從而形成命題系. 如果學(xué)生不能全方位、多背景地深入了解概念，沒(méi)有在頭腦中形成概念系或命題系，一旦換一個(gè)側(cè)面或角度闡述同一個(gè)概念或命題，他們就會(huì)不知所云. 因此，筆者基于CPFS結(jié)構(gòu)理論設(shè)計(jì)“全概率公式”的教學(xué)，通過(guò)設(shè)置系列問(wèn)題，建立概念網(wǎng)絡(luò)，循序漸進(jìn)地直觀呈現(xiàn)各種相關(guān)概念之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

二、教材分析

“全概率公式”是北師大版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第六章“概率”第一節(jié)“隨機(jī)事件的條件概率”第三課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，前兩課時(shí)分別為“條件概率”和“乘法公式與事件的獨(dú)立性”. 對(duì)于概率的學(xué)習(xí)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，要幫助學(xué)生結(jié)合具體案例，理解樣本點(diǎn)、有限樣本空間、隨機(jī)事件，會(huì)計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解. 對(duì)本單元的學(xué)習(xí)要求是“幫助學(xué)生了解條件概率及其獨(dú)立性的關(guān)系，結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率”. 顯然，古典概型是后續(xù)概率知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，條件概率、概率的加法公式和乘法公式、全概率公式等知識(shí)具有較強(qiáng)的聯(lián)結(jié)性，最終都應(yīng)用于求實(shí)際生活中事件的概率. 通過(guò)全概率公式的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

三、學(xué)情分析

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，古典概型屬于一種理想化的概率模型，有固定的解決問(wèn)題程序，易于掌握. 但對(duì)于條件概率，學(xué)生既要明確[PAB]和[PBA]的區(qū)別和聯(lián)系，又要辨析互斥事件、相互獨(dú)立事件，還要靈活運(yùn)用[PBA=PABPA]和[PBA=nABnA]兩個(gè)公式. 顯然，條件概率在理解和應(yīng)用上要難于古典概型. 而全概率公式的教學(xué)又建立在古典概型和條件概率的基礎(chǔ)之上，還要使用互斥事件的概率加法公式和條件概率的乘法公式. 因此，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交會(huì)，對(duì)學(xué)生來(lái)講，無(wú)疑增加了學(xué)習(xí)的難度.

四、教學(xué)過(guò)程

1. 呈現(xiàn)背景，分析例題

例1? 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1，2，3. 1號(hào)箱中裝有1個(gè)紅球和4個(gè)白球，2號(hào)箱中裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，3號(hào)箱中裝有3個(gè)紅球. 這些球除顏色外完全相同，某人先從三個(gè)箱子中任取一箱，再?gòu)闹腥我饷鲆磺?，求取得紅球的概率.

設(shè)置問(wèn)題：（1）假設(shè)事件A表示“取得紅球”，事件Bi表示“球取自i號(hào)箱”（i = 1，2，3）. 那么，如何用符號(hào)語(yǔ)言表示紅球來(lái)自1號(hào)箱、2號(hào)箱或3號(hào)箱？

（2）事件B1，B2，B3之間是什么關(guān)系？

（3）事件A的發(fā)生和事件Bi（i = 1，2，3）之間有什么關(guān)系？你能用概率的符號(hào)語(yǔ)言表示這種關(guān)系嗎？你能利用概率的加法公式和概率的乘法公式求出[PA]嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生把互斥事件，以及概率的加法公式、乘法公式等知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，進(jìn)而轉(zhuǎn)換、應(yīng)用到題目的求解中. 通過(guò)這種“不捅破窗戶(hù)紙”的問(wèn)題串，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到概率知識(shí)間的關(guān)聯(lián)作用，以便順利展開(kāi)對(duì)全概率公式的教學(xué)，同時(shí)體現(xiàn)了知識(shí)循環(huán)上升的過(guò)程.

例2? 某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有如表1所示的數(shù)據(jù). 設(shè)這三家元件制造廠的元件在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志. 在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取一只元件，求它是次品的概率.

設(shè)置問(wèn)題：（1）假設(shè)事件Bi表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家元件制造廠提供的”（i = 1，2，3），事件A表示“取到的是一件次品”，如何用符號(hào)語(yǔ)言表示事件A？

（2）利用概率的加法公式和概率的乘法公式如何求出[PA]？與例1的解決過(guò)程有相似之處嗎？相似點(diǎn)在哪里？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這兩道例題的教學(xué)，學(xué)生可以通過(guò)綜合比較，找出解決相應(yīng)隨機(jī)事件的概率的共性. 教師跟進(jìn)總結(jié)比較的結(jié)果，闡釋用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件的普適性，即如果事件A的概率不易計(jì)算，可以用與之有關(guān)聯(lián)的兩兩互斥事件B1，B2，B3表示出事件A，然后利用概率的加法公式和乘法公式求得事件A發(fā)生的概率. 進(jìn)而把此類(lèi)問(wèn)題一般化，體現(xiàn)了從特殊到一般的轉(zhuǎn)化過(guò)程.

2. 加權(quán)平均，體會(huì)概念

例1中，摸出的紅球可能取自1號(hào)箱，也有可能取自2號(hào)箱或3號(hào)箱；例2中，取到的次品可能來(lái)自第1家元件制造廠，也有可能來(lái)自第2家元件制造廠或第3家元件制造廠. 這兩道例題利用的知識(shí)和方法基本相同. 由于是各種原因共同導(dǎo)致了事件A的發(fā)生，因此事件A發(fā)生的概率是各種原因引起事件A發(fā)生的概率之和，即[PA=PB1A+ PB2A+ PB3A=PB1PAB1+ PB2 ·][PAB2+PB3PAB3.]

我們知道，[PABi]是指在事件[Bi]發(fā)生的條件下事件[A]發(fā)生的概率，如果將[PBi]理解為事件[Bi]在整個(gè)樣本空間[Ω]中占有的權(quán)重，則[PA]可以理解為事件[A]在事件[Bi]下發(fā)生的概率的加權(quán)平均值.

【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)全概率公式的形成過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題探究后進(jìn)行比較分析和抽象概括，體會(huì)全概率公式是計(jì)算一個(gè)“平均概率”，是各種不同原因（或條件）下某事件發(fā)生的條件概率的加權(quán)平均，各原因出現(xiàn)的概率不同，因此各條件概率的權(quán)重也不同.

3. 歸納總結(jié)，抽象概括

事件[A]發(fā)生有各種可能的原因[Bi i=1，2，3，…，n，] 且各原因彼此互斥并涵蓋所有可能的情形（即各原因之和構(gòu)成了樣本空間）. 若事件[A]的發(fā)生是由原因[Bi]引起的，則事件[A]發(fā)生的概率是[PABi=PBiPABi.] 由于每個(gè)原因都可能導(dǎo)致事件[A]的發(fā)生，故事件[A]發(fā)生的概率是各原因引起事件[A]發(fā)生的概率的和，即[PA=i=1nPBiPABi.]

【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生厘清全概率公式的本質(zhì)就是綜合運(yùn)用概率的加法公式和乘法公式解決“多因一果”的概率問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生充分體會(huì)“多因一果”的概率問(wèn)題的本質(zhì)就是將一個(gè)復(fù)雜事件的概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不同條件（原因）下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率求和問(wèn)題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)尋找導(dǎo)致復(fù)雜事件發(fā)生的原因，并厘清各原因之間的關(guān)系. 深入理解全概率公式的內(nèi)涵，充分體會(huì)全概率公式的形成過(guò)程.

4. 借助Venn圖，形成概念域

設(shè)置問(wèn)題：如圖1，從集合的角度看，分別表示交事件（或積事件）、并事件（或和事件）、互斥事件. 在條件概率的學(xué)習(xí)中，用圖2表示事件[B]發(fā)生的條件下事件[A]發(fā)生的概率. 那么，如何利用Venn圖表示例1和例2中的事件之間的關(guān)系呢？

【設(shè)計(jì)意圖】利用知識(shí)的正向遷移，讓學(xué)生自己根據(jù)所學(xué)知識(shí)，借助Venn圖構(gòu)建全概率公式的直觀形式（如圖3），提升學(xué)生的直觀想象能力，增強(qiáng)學(xué)生的概念理解力，進(jìn)而形成全概率的概念域.

5. 理性分析，強(qiáng)化應(yīng)用

練習(xí)1：采購(gòu)員要購(gòu)買(mǎi)一包某種電器元件（一包中有10個(gè)）. 他的采購(gòu)方案是：從一包電器元件中隨機(jī)抽查3個(gè)，如果這3個(gè)電器元件都是好的他才買(mǎi)下這一包電器元件. 假定每包中含有4個(gè)次品電器元件的包數(shù)占30%，而其余每包電器元件中各含有1個(gè)次品，求采購(gòu)員隨機(jī)挑選一包電器元件后拒絕購(gòu)買(mǎi)的概率.

解析：因?yàn)椴少?gòu)員可能取到含有4個(gè)次品的一包電器元件，也可能取到含有1個(gè)次品的一包電器元件，所以可以設(shè)[B1]表示事件“取到含有4個(gè)次品的一包電器元件”，[B2]表示事件“取到含有1個(gè)次品的一包電器元件”，[A]表示事件“采購(gòu)員拒絕購(gòu)買(mǎi)”. 則事件[B1，B2]構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分. 由題意，知[PB1=310，PB2=710.]

結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，得

[PAB1=1-C36C310=56，PAB2=1-C39C310=310.]

故由全概率公式，得

[PA=PB1PAB1+PB2PAB2=310×56+710×]

[310=2350.]

所以采購(gòu)員隨機(jī)挑選一包這種電器元件后拒絕購(gòu)買(mǎi)的概率為[2350.]

練習(xí)2：甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7. 飛機(jī)被一人擊中且擊落的概率為0.2，被兩人擊中且擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率.

解析：由題意知，飛機(jī)被擊落與被幾個(gè)人擊中有關(guān). 因此，可設(shè)[A]表示飛機(jī)被擊落；[Bi]表示事件“飛機(jī)被[i]個(gè)人擊中”（[i=0，1，2，3]），則事件[B0，B1，][B2，B3]是構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.

由題意，知[PAB0=0，PAB1=0.2，PAB2=0.6，][PAB3=1.]

設(shè)[Hi]表示事件“飛機(jī)被第[i]個(gè)人擊中”（[i=1，][2，3]），

則事件[Hi]彼此相互獨(dú)立，且

[PB1=PH1H2H3?H1H2H3?H1H2H3=PH1H2H3+]

[PH1H2H3+PH1H2H3=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+][0.6×0.5×0.7=0.36.]

同理，[PB2=PH1H2H3?H1H2H3?H1H2H3=0.41，]

[PB3=PH1H2H3=0.14，PB0=PH1H2H3=0.09.]

由全概率公式，知

[PA=PB0PAB0+PB1PAB1+PB2PAB2+]

[PB3PAB3=0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.]

所以飛機(jī)被擊落的概率是[0.458.]

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)習(xí)題教學(xué)示范解題步驟，幫助學(xué)生深化對(duì)公式的理解和掌握，促使學(xué)生能準(zhǔn)確運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題. 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)運(yùn)用全概率公式的一般步驟，全面提升學(xué)生對(duì)全概率公式的認(rèn)知和理解.

6. 歸納總結(jié)，形成概念系

全概率公式的學(xué)習(xí)是以古典概型、條件概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式等作為知識(shí)基礎(chǔ)的. 因此，要整合之前所學(xué)的概率知識(shí)，讓學(xué)生從大單元視角明確全概率公式的地位，建立整個(gè)概率知識(shí)網(wǎng)絡(luò)框架（如圖4），為后續(xù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ).

五、教學(xué)啟示

概率是衡量隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的工具，是從不確定性的角度認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的思維模式和解決問(wèn)題的方法. 拉普拉斯曾說(shuō)，生活中的重要問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率問(wèn)題. 研究概率問(wèn)題就要研究隨機(jī)事件，研究樣本點(diǎn)之間的關(guān)系. 從知識(shí)的發(fā)展角度來(lái)看，全概率公式建立在古典概型、互斥事件的加法公式、條件概率、概率乘法公式等知識(shí)的基礎(chǔ)上，可以解決生活中更一般性的概率問(wèn)題. CPFS結(jié)構(gòu)理論有利于構(gòu)建全概率知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而形成概念域和概念系.

在當(dāng)今社會(huì)背景下，科技競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，近幾年眾多高校都新增了人工智能、智能感知工程、數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)等專(zhuān)業(yè). 其中，人工智能原理的背后就有全概率公式、貝葉斯公式所體現(xiàn)的思想. 章建躍博士認(rèn)為，基于統(tǒng)計(jì)與概率的實(shí)踐品質(zhì)和應(yīng)用取向?qū)ε囵B(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)的理性精神是其他學(xué)科無(wú)法替代的. 全概率公式的實(shí)質(zhì)就是利用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件，它豐富、完善了概率的運(yùn)算法則，為求一類(lèi)復(fù)雜事件的概率提供了有力的工具，體現(xiàn)了化難為易的轉(zhuǎn)化思想，加深了學(xué)生對(duì)不確定現(xiàn)象的認(rèn)識(shí). 因此，全概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)既能讓學(xué)生體會(huì)概率教學(xué)中的隨機(jī)思想，還可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］南開(kāi)大學(xué)哲學(xué)系邏輯學(xué)教研室. 邏輯學(xué)基礎(chǔ)教程［M］. 天津：南開(kāi)大學(xué)出版社，2014.

［2］傅贏芳，喻平. CPFS結(jié)構(gòu)理論及其對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示［J］. 教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2020（6）：28-33.

［3］中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

收稿日期：2022-09-11

作者簡(jiǎn)介：馬杰（1973— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.