劉琦琦 吳立寶 宋書寧

摘? 要：在整體視域下規(guī)劃教學，將碎片化的教學內容連續(xù)進階地教授給學生. 教師以“拋物線及其標準方程”為例，通過單元教學內容分析、學情分析、教學重點和難點分析確定單元核心任務，根據核心任務明確單元教學目標與“拋物線”第1課時的學習目標，立足單元目標與課時目標分解核心任務. 學生在系統(tǒng)化的學習過程中形成結構化關聯(lián)的知識內容，促進深度學習的發(fā)生.

關鍵詞：深度學習；單元教學設計；拋物線

單元教學是促進學生深度學習發(fā)生的重要途徑，有利于整體規(guī)劃學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，有利于借助大背景、大問題、大思路和大框架進行高觀點統(tǒng)領、思想性駕馭和結構化關聯(lián)，是全面提升教學質量和提高教學效率的必經之路.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，優(yōu)化課程結構、突出主線、精選內容，明確要求突出主線，凸顯數學內在邏輯和思想方法. 同時，在實施建議部分提出整體把握數學課程，采用主題或單元教學的方式來設計和實施教學，意在從整體高度上把握教學內容，融通數學知識整體脈絡，從大單元視角下分析教學內容，整體規(guī)劃教學環(huán)節(jié)，分步實施課時計劃，在間斷的課時中連續(xù)進階地提升學生的綜合能力，發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng).

基于全面實現(xiàn)數學育人目標的教學，必須強調數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性. 單元教學設計就是用整體觀、聯(lián)系觀和發(fā)展觀進行整個單元的教學設計，突出大概念和大單元的思想，核心是促進學生完善知識體系，引導學生發(fā)展思維，促進學生提高能力. 系統(tǒng)化的單元教學設計需要整體規(guī)劃單元教學任務，把握學情，緊抓核心任務設計，精準定位單元教學目標，設計結構化單元學習活動，在統(tǒng)一背景下關聯(lián)課時教學活動，最后進行單元教學反思，不斷提升單元教學設計能力.

一、單元教學任務分析

單元教學任務分析是進行單元教學設計的前提，主要包含單元教學內容分析、學情分析、單元教學重點和難點分析、單元核心任務分析四個部分，結合“圓錐曲線的方程”單元確定單元教學任務，為后續(xù)單元教學設計做鋪墊.

1. 單元教學內容分析

選取人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”，本單元按照橢圓、雙曲線、拋物線的結構編排. 圓錐曲線內容具有豐富的歷史背景，歷史上通過用平面截圓錐，并改變平面與圓錐的角度得到三種圓錐曲線，教學時可以充分利用史料激發(fā)學生的學習興趣.“圓錐曲線的方程”單元的教學內容是幾何與代數主線部分的難點知識，在圓錐曲線知識學習前安排了“直線與圓的方程”單元，使學生初步接觸了解析幾何的研究方式和研究方法.“橢圓”是“圓錐曲線的方程”單元的起始課，教材中的編排順序依次是橢圓、雙曲線和拋物線，并且三部分教學內容是同構的，在研究方法上也具有統(tǒng)一性和延伸性. 遵循“分析背景—探索幾何特征—建立坐標系—研究標準方程—根據標準方程研究圓錐曲線的幾何性質”的研究順序，在教學過程中要注意橢圓起始課的示范作用，將重心放在橢圓的學習過程中重點建構研究思路與方法. 后續(xù)學習雙曲線與拋物線時，可以直接類比和遷移橢圓的學習經驗.

2. 學情分析

學生在初中初步接觸過直線與圓的位置關系，對解析幾何的學習有初步了解，但是并沒有用系統(tǒng)的數學語言表達直線與圓的方程. 同時，學生在初中階段學習過二次函數及其圖象，主要是從函數的角度認識拋物線. 而在高中階段的學習過程中，學生需要從數與形兩個角度認識曲線，學生對于通過作圖與建立坐標系研究幾何圖形也有一定的基礎，在圓錐曲線學習之前學生已經完成“直線與圓的方程”單元的學習，在該單元的學習過程中充分滲透了數形結合思想與坐標法的研究方法，這為本單元的學習奠定了基礎.

3. 單元教學重點和難點分析

單元教學重點：通過分析圓錐曲線的幾何特征，建立合適的坐標系，運用數形結合思想和坐標法將圖形中的幾何關系解析化，推導出圓錐曲線的標準方程.結合標準方程和幾何圖形推導圓錐曲線的幾何性質，經歷觀察、類比、分析、猜想和證明的過程，發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等素養(yǎng).

單元教學難點：“圓錐曲線的方程”單元，橢圓、雙曲線和拋物線的內容是同構的，研究方法具有一致性，因此建立本單元的研究框架是關鍵點也是難點. 此外，圓錐曲線幾何特征的發(fā)現(xiàn)及將幾何特征數學化表達是學生由直觀過渡到抽象的難點.

4. 單元核心任務分析

單元教學嘗試以“大概念引領，大任務驅動”的方式設計，幫助學生實現(xiàn)知識建構. 單元教學中有四條主線：知識主線與活動主線是明線，思想方法主線與素養(yǎng)主線是暗線. 在設計教學任務時，要注意四條主線的核心任務相輔相成.“圓錐曲線的方程”單元的核心任務有三個：一是以圓錐曲線知識內容為載體建立研究解析幾何學習的大框架，經歷由“幾何特征—標準方程—通過方程研究性質—應用”的過程，感悟解析幾何學習的基本過程，積累基本活動經驗；二是充分利用數形結合思想和坐標法研究幾何問題，掌握用代數方法解決幾何問題的基本方法與策略；三是針對學生數學核心素養(yǎng)的發(fā)展，在發(fā)現(xiàn)圓錐曲線幾何特征的過程中發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng)，在根據標準方程推導性質時著重發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng).

二、單元教學目標確定

1. 單元整體教學目標

教學目標1：了解圓錐曲線的歷史背景和現(xiàn)實背景，初步了解圓錐曲線知識內容的統(tǒng)一性，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

教學目標2：經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，通過動手作圖觀察幾何圖形，學會運用數學語言描述橢圓的幾何特征，掌握橢圓的定義和標準方程，經歷由標準方程和幾何特征推理橢圓幾何性質的基本過程，掌握橢圓的簡單幾何性質，總結學習橢圓的基本經驗，梳理學習橢圓的基本思路，建構統(tǒng)一的學習大框架.

教學目標3：類比橢圓學習的基本過程，建立學習雙曲線和拋物線的基本框架，了解雙曲線與拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，并推導它們的簡單幾何性質.

教學目標4：在圓錐曲線的方程的學習過程中，類比橢圓的學習經驗，遷移學習，充分感悟數形結合思想，體會運用坐標法解決幾何問題的基本過程，建立研究解析幾何問題的基本框架，積累基本活動經驗.

教學目標5：了解圓錐曲線的簡單應用，在實際情境中運用圓錐曲線的定義、標準方程和性質，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題.

2. 課時學習目標分解

學習目標1：類比橢圓和雙曲線的學習過程，明確拋物線的研究思路，掌握研究曲線方程的基本過程，遷移學習經驗到其他幾何問題的解決中.

學習目標2：經歷拋物線的作圖過程，觀察拋物線的幾何特征，用幾何語言描述后再用數學語言刻畫拋物線的幾何特征，體會數形結合思想在研究幾何問題中的重要作用.

學習目標3：運用坐標法解決幾何問題，掌握通過建立坐標系解決幾何問題的方式和方法，提升學生解決問題的能力.

學習目標4：利用拋物線的定義和標準方程，從具體問題入手解決問題，掌握利用定義解決問題的方法，提高學生的問題解決能力，發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等素養(yǎng).

三、單元學習活動設計

1. 單元學習活動框架

“圓錐曲線的方程”單元內容是同構的，均是按照“曲線的定義—標準方程—幾何性質—綜合應用”的順序展開，單元基本活動框架按照歷史背景統(tǒng)一研究框架，直觀觀察圖形和用數學語言描述得出圓錐曲線的定義及其標準方程，通過圖象和方程推理幾何性質，最后解決問題，將所學知識遷移應用，如圖1所示.

單元學習活動中包含三個大部分，即了解圓錐曲線的歷史背景、探究圓錐曲線的定義及其標準方程、推導圓錐曲線的性質及應用. 將每個部分的核心任務分解成小任務，在分步實施教學活動中實現(xiàn)小任務，通過完成小任務達成教學目標. 單元學習任務分解如表1所示.

2.“拋物線”課時學習活動設計

深度學習指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間聯(lián)系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習. 基于此，將深度學習歸結為四個基本特征，即能夠批判地理解知識、主動進行知識建構、遷移應用知識解決問題、學會知識后進行信息整合并綜合反思學習全過程. 拋物線的課時環(huán)節(jié)基于此展開設計，如圖2所示.

環(huán)節(jié)1：批判理解，回顧反思學習.

師：前面我們已經通過改變平面與圓錐母線的夾角得到了三種圓錐曲線，統(tǒng)一了圓錐曲線的歷史情境.對于橢圓和雙曲線的學習，同學們回顧一下，我們主要研究了圓錐曲線的哪些內容？主要運用什么方法來研究曲線呢？

師：對于拋物線的研究，你有什么想法？準備研究關于拋物線的哪些知識？

學生活動：學生回憶了前面的學習經驗. 首先，研究圓錐曲線要建立定義；其次，研究圓錐曲線要探究圓錐曲線的標準方程，并研究圓錐曲線的性質；最后，研究圓錐曲線要進行應用，從而解決問題. 在研究圓錐曲線的定義和標準方程時，主要經歷用代數方法解決幾何問題的過程，全程貫穿數形結合的思想方法. 用數學語言表達圖形中的數量關系是關鍵.

【設計意圖】用歷史上發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的情境引入圓錐曲線的教學，通過情境統(tǒng)一圓錐曲線的由來，引導學生回憶學習橢圓和雙曲線的方法，在起始課建立的圓錐曲線研究大框架引領下啟發(fā)學生類比遷移，展開對拋物線定義和標準方程的研究.

環(huán)節(jié)2：知識建構，自主建構新知.

師：同學們，如果動點[M]到定點[F]的距離與到定直線[l]（不過點[F]）的距離之比為[k]，通過橢圓與雙曲線的學習我們發(fā)現(xiàn)以下結論：當[01]時，點[M]的軌跡為雙曲線. 那么，一個自然的問題是：當[k=1]時，即動點[M]到定點[F]的距離與到定直線[l]（不過點[F]）的距離相等時，點[M]的軌跡是什么形狀呢？

師：下面請同學們分小組探究. 如圖3，直線[a，][b，c，d，e，g，h，i，j]為一組互相平行的直線，直線[l]垂直于各直線，垂足分別為[A，B，C，D，E，G，H，]

[I，J]. 點[F]為直線[e]上一定點，且點[F]在直線[l]外. 折疊使點[A，B，C，D，E，G，H，I，J]分別與點[F]重合，折痕分別與直線[a，b，c，d，e，g，h，i，j]相交于點[A1，B1，C1，D1，E1，G1，H1，I1，J1，] 將交點連接起來. 觀察得到的曲線是什么形狀？有什么幾何特征？你能描述這些點滿足的幾何條件嗎？

學生活動：學生積極參與活動，通過思考發(fā)現(xiàn)了折紙背后蘊藏的幾何關系. 但是也有少部分學生不能清晰地描述出來.

【設計意圖】通過前面橢圓和雙曲線內容的學習，自然引出本節(jié)課拋物線內容的學習. 一方面，加深了學生對圓錐曲線定義的內在統(tǒng)一性的理解；另一方面，為后續(xù)學生活動的生成奠定基礎. 拋物線是到定點與到定直線距離相等的點的軌跡，設計學生活動讓學生在動手操作的過程中感受幾何圖形的數量關系，強化對拋物線概念的理解.

師：下面用GeoGebra軟件作出動點的軌跡. 取定點[F，] 直線[l]是不經過點[F]的定直線，點[H]是直線[l]上的任意一點，過點[H]作[MH⊥l]，線段[FH]的垂直平分線[m]交[MH]于點[M]，拖動點[H]，點[M]隨之運動. 觀察點[M]的軌跡形狀，形成拋物線如圖4所示.

學生活動：學生跟著教師的作圖思路，進一步明確了拋物線的形成過程，精確地得出了拋物線的幾何關系.

【設計意圖】在教師的演示活動中，讓學生通過觀察感受幾何圖形中“量”與“關系”的變化，使他們感受到通過歸納有限個點的變化可以發(fā)現(xiàn)無限個點的變化，但是無限個點的直觀呈現(xiàn)有賴于信息技術的使用，為學生最終理解動點生成拋物線奠定基礎.

師：通過上述作圖及用GeoGebra軟件的演示我們可以發(fā)現(xiàn)，在點[M]隨點[H]運動的過程中，始終有[MF=MH]. 因此，我們把平面內與一個定點[F]和一條直線[l]（[l]不過點[F]）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點[F]叫做拋物線的焦點，直線[l]叫做拋物線的準線.

師：類比橢圓和雙曲線標準方程的建立過程，求曲線的標準方程的步驟是什么？

師：如果我們設焦點[F]到準線的距離為常數[p（p>0）]，你認為如何建立坐標系可能使所求拋物線的方程形式更簡單？

學生活動：學生經過激烈討論得出兩種方案. 一是以垂直于準線[l]的線段[FK]所在的直線為[x]軸，以準線[l]所在的直線為[y]軸；二是以垂直于準線[l]的線段[FK]所在的直線為[x]軸，以垂直于線段[FK]且過線段FK的中點[O]的直線為[y]軸. 如圖5所示.

師：在建立統(tǒng)一的坐標系后，得到了開口向右的拋物線的標準方程，請同學們思考拋物線的標準方程還有哪些形式，將其填在表2中.

【設計意圖】在前面學習完橢圓和雙曲線后，學生已經有了類似的推導經歷. 因此在推導拋物線的標準方程時，對于如何建立坐標系學生是有想法的. 這時，教師引導學生經歷這一自主探究過程，最終建立簡潔的拋物線的標準方程.

師：類比橢圓的標準方程，談談拋物線的標準方程有什么特點，其與橢圓的標準方程有哪些異同點.

師：你能說明二次函數[y=ax2a≠0]的圖象為什么是拋物線嗎？指出它的焦點坐標和準線方程.

學生活動：學生描述的不同點更多的是從方程的形式和幾何關系的角度出發(fā)；對于相同點，學生提到研究方向和定義等的相似.

【設計意圖】引導學生對比橢圓和拋物線的標準方程的推導過程，不僅鍛煉了學生的類比學習能力，還為后續(xù)拋物線的性質研究做好了鋪墊. 聯(lián)系二次函數強化學生對拋物線定義的理解.

環(huán)節(jié)3：遷移應用，例題示范練習.

例1 （1）已知拋物線的標準方程是[y=6x2]，求它的焦點坐標和準線方程；

（2）已知拋物線的焦點是[F0，-2]，求它的標準方程.

例2? 一種衛(wèi)星接收天線如圖6所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處. 已知接收天線的口徑（直徑）為4.8 m，深度為1 m，嘗試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標.

【設計意圖】例1是拋物線的定義的簡單應用，強化學生對拋物線的焦點和準線的認識，并在數學情境中進行運用. 例2是現(xiàn)實情境中的拋物線的應用，不僅說明拋物線在生活中是常見的，還引導學生應用數學知識解決生活中的問題.

環(huán)節(jié)4：信息整合，學習系統(tǒng)總結.

教師引導學生總結本節(jié)課的關鍵與思路：“總—分”的形式. 首先，本節(jié)課明確了研究思路，設置復習引入環(huán)節(jié)明確本節(jié)課的研究框架，批判理解之前所學內容，并有意識地沿襲前期的學習經驗；其次，通過在活動中引導學生觀察圖形中的數量關系，為建構拋物線的定義做鋪墊，啟發(fā)學生建立平面直角坐標系運用坐標法確定拋物線的標準方程，過程中不斷啟發(fā)學生自主發(fā)現(xiàn)數量關系探究拋物線的標準方程，過程中貫穿數形結合的思想方法和坐標法；再次，加強知識的遷移應用，引導學生總結在數學問題解決過程中用到的方式和方法，發(fā)現(xiàn)提出問題、分析問題和解決問題的思路，總結經驗；最后，引導學生反思整個學習活動過程，總結經驗和不足之處等.

四、單元教學反思

1. 單元教學注重教學內容的系統(tǒng)性與研究思路的一致性

單元教學設計站在整體的高度，綜合考慮學生過去、現(xiàn)在和未來的不同學習階段，對一個相對完整的數學內容進行整體設計，幫助學生真正理解學習內容，促進學生能力和素養(yǎng)的發(fā)展. 這不僅符合數學知識的內在發(fā)展邏輯和教材編寫的主線化要求，還是落實數學核心素養(yǎng)的良好載體和促進學生深度學習的重要手段. 從數學知識角度來看，單元教學設計規(guī)劃要注意單元背景的統(tǒng)一性、定義的統(tǒng)一性和研究框架的一致性. 在進行單元教學時，要先對單元內容有整體性的把握，抓住單元內容的統(tǒng)一性，從統(tǒng)一性入手建立本單元學習的整體框架. 單元學習框架是單元學習的“骨架”，在“圓錐曲線的方程”單元教學中，建立的框架“單元統(tǒng)一的背景—曲線的定義與標準方程—曲線的性質與應用”時刻在指引單元整體教學，使得單元學習具有方法的一致性和延伸性.

2. 單元教學注意教學環(huán)節(jié)設計中核心素養(yǎng)的連續(xù)性和進階性

從核心素養(yǎng)的角度來看，單元整體視角下的教學設計更有利于促進學生核心素養(yǎng)的連續(xù)進階發(fā)展. “圓錐曲線的方程”單元的教學設計一環(huán)扣一環(huán)，拋物線承接橢圓與雙曲線的研究思路，利用幾何直觀推理數學定義，著重發(fā)展學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).在批判理解環(huán)節(jié)，注意引導學生從已有知識出發(fā)，回顧前期的學習經驗，從認知起點提出本節(jié)課的研究問題，確定研究思路；在新知建構環(huán)節(jié)，學生能否在動手作圖活動中觀察并分析拋物線圖形中蘊含的數量關系，以及這些數量關系是否科學、嚴謹，是教學前期重點考慮的問題. 遷移應用是檢驗學生學習成果的重要環(huán)節(jié)，在應用過程中要注意問題的提出與解決，重在方法的歸納. 信息整合是使學習形成閉環(huán)、內化到學生原有知識經驗的環(huán)節(jié)，需要從知識、方法、核心素養(yǎng)等多角度總結升華，建構完整的知識系統(tǒng). 每個教學環(huán)節(jié)的設計有其進階性，綜合學生用數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言表達的能力，進階地發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)，促進學生深度學習的發(fā)生.

3. 單元教學關注數學知識學習的前后關聯(lián)性

單元教學設計是在教師深刻分析教材的基礎上對教學內容的整合，是系統(tǒng)化和結構化的教學設計. 每個教學環(huán)節(jié)經過深度學習的滲透，在教學中更加關注學生知識的整體性和系統(tǒng)性. 單元教學設計關注學生數學學習的前后關聯(lián)性，教會學生用舊知識解決新知識. 在單元教學視角下設計的教學活動中，教師先引導學生思考如何將前面學習橢圓和雙曲線有關知識的經驗進行總結，并通過問題引導學生思考在橢圓和雙曲線的學習中主要研究圓錐曲線的哪些內容，以及主要運用什么方法研究圓錐曲線，試圖啟發(fā)學生將解析幾何的研究方法總結升華. 接著，教師利用橢圓、雙曲線和拋物線知識的關聯(lián)性，將“建構定義—建立方程—研究性質”的研究思路類比遷移到拋物線的學習中，啟發(fā)學生思考拋物線的研究內容和研究方法，讓學生提出將要研究的問題，使得本節(jié)課的數學探究是自然的，也是學生好奇并感興趣的.

參考文獻：

［1］曾榮. 單元教學的整體設計與課時實施：以“圓錐曲線”單元教學為例［J］. 數學通報，2021，60（3）：33-37.

［2］章建躍. 數學學科核心素養(yǎng)導向的“單元—課時”教學設計［J］. 中學數學教學參考（上旬），2020（5）：5-12.

［3］張嘉玲.“函數”單元結構化教學設計［J］. 中國數學教育（高中版），2022（1 / 2）：39-44.

［4］沈良.“大概念、大任務”視角下的數學單元教學設計［J］. 中學教研（數學），2021（7）：9-13.

［5］劉琦琦，吳立寶，陳健. 中學數學教學內容主線分析的要素與結構：以三角函數為例［J］. 中學數學研究，2022（2）：1-5.

［6］何玲，黎加厚. 促進學生深度學習［J］. 計算機教與學·現(xiàn)代教學，2005（5）：29-30.

收稿日期：2022-07-11

基金項目：天津市教育科學規(guī)劃重點課題——中小學生綜合素質評價研究（BHE210014）.

作者簡介：劉琦琦（1998— ），女，碩士研究生，主要從事數學教育研究. 吳立寶系本文通訊作者.