張永剛 王曉光

摘? 要：從教材中的阿波羅尼斯圓問題出發(fā)，引出調(diào)和點(diǎn)列，通過完全四邊形建立調(diào)和點(diǎn)列性質(zhì)與圓錐曲線性質(zhì)的聯(lián)系，從幾何視角展現(xiàn)一類圓錐曲線高考試題的探索思路.

關(guān)鍵詞：阿波羅尼斯圓；調(diào)和點(diǎn)列；極點(diǎn)和極線

調(diào)和點(diǎn)列可以聯(lián)系眾多圖形，具有豐富的性質(zhì)．這種特殊的分割比例與圓錐曲線結(jié)合更為和諧自然，備受命題者的青睞，成為眾多高考試題的熱門命題背景.教師厘清這類問題的本質(zhì)，可以從幾何角度洞穿題目設(shè)計(jì)的本質(zhì)，對(duì)命制試題和拓展教學(xué)思路都有所裨益.

一、從阿波羅尼斯圓談起

阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第97頁例6提出的軌跡探究就是一個(gè)阿波羅尼斯圓.

定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離的比值為定值（不等于1的正數(shù)）的點(diǎn)的軌跡為阿波羅尼斯圓．

如圖1，點(diǎn)[A，B]為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)[P]滿足[PA=λPB，] 當(dāng)[λ=1]時(shí)，動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡為直線；當(dāng)[λ>0且][λ≠1]時(shí)，動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡為圓．

證明：設(shè)[AB=2m m>0， PA=λPB]．

以線段[AB]的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線[AB]為[x]軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則有[A-m，0，] [Bm，0].

設(shè)[Px，y]，則由[PA=λPB]，得

[x+m2+y2=λx-m2+y2].

兩邊平方，并化簡、整理，得

[λ2-1x2-2mλ2+1x+λ2-1y2=m21-λ2].

當(dāng)[λ=1]時(shí)，[x=0]，動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡為線段[AB]的垂直平分線.

當(dāng)[λ>0且λ≠1]時(shí)，有[x-λ2+1λ2-1m2+y2=4λ2m2λ2-12]，

即動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡為以點(diǎn)[λ2+1λ2-1m，0]為圓心，以[2λmλ2-1]的長為半徑的圓.

如圖2，圓心D在直線[AB]上，圓D與直線AB相交于點(diǎn)[Mλ-12mλ2-1，0]，[Nλ+12mλ2-1，0]，

則有[AMBM=λ-12mλ2-1+mm-λ-12mλ2-1=λ].

而[PAPB=λ]，如圖3，則由角平分線定理，可知PM是[△ABP]的內(nèi)角平分線.

因?yàn)閇∠MPN=90°]，

所以[∠CPN+∠APM=90°，∠MPB+∠NPB=90°.]

所以PN是[△ABP]的外角平分線.

所以直線PM，PN分別是[△ABP]的內(nèi)角平分線和外角平分線.

由外角平分線定理，可知[ANBN=PAPB=λ].

由內(nèi)角平分線定理，可知[AMBM=PAPB=λ].

如果把M，N分別稱作線段AB的內(nèi)、外分點(diǎn)，可得定比分點(diǎn)定理（定理1）．

定理1：線段內(nèi)分點(diǎn)距離比與外分點(diǎn)距離比相等，即[AMBM=ANBN].

這是一個(gè)非常重要的比例分割，本文后續(xù)還會(huì)對(duì)其性質(zhì)進(jìn)一步詳細(xì)闡述.

在阿波羅尼斯圓內(nèi)用半徑R代替點(diǎn)M，N的表示方法，[AMBM=ANBN]可以表示為[DA-RR-DB=DA+RDB+R]. 由合比性質(zhì)，得[DA-R+DA+RR-DB+DB+R=DA-R-DA+RR-DB-DB+R，]

即[2DA2R=-2R-2DB.] 所以[DA ? ][DB=R2]. 點(diǎn)A在圓外，我們把[DA]稱作“外心距”；點(diǎn)B在圓內(nèi)，我們把[DB]稱作“內(nèi)心距”. 由此可以得到阿波羅尼斯圓的一條性質(zhì)（定理2）.

定理2：外心距與內(nèi)心距之積為阿波羅尼斯圓半徑的平方，即[DA ? DB=R2].

說明：阿波羅尼斯圓定義可以看作橢圓、雙曲線定義的一種拓展，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的比為定值. 當(dāng)然，我們還可以探究動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的乘積為定值的軌跡問題. 例如，設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)為[F1，F(xiàn)2]，且[F1F2=2]，動(dòng)點(diǎn)[P]滿足[PF1 · PF2=a2 a≥0.]

二、阿波羅尼斯圓推廣到調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束

接下來，對(duì)這種特殊的分割比例進(jìn)行推廣研究.

調(diào)和點(diǎn)列的定義：若一條直線上有四個(gè)點(diǎn)A，M，B，N，滿足[AMBM=ANBN]，則稱M，N調(diào)和分割線段AB，則稱點(diǎn)A，M，N，B是調(diào)和點(diǎn)列.

可見，這種奇特比例分割源于三角形的內(nèi)角平分線和外角平分線與該角對(duì)邊所在直線的特定交點(diǎn)形成的定比分點(diǎn). 這種比例形式可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)美的調(diào)和平均數(shù)形式.

[調(diào)和平均數(shù)=ni=1n1xi]. 調(diào)和平均數(shù)的“調(diào)和”來源于音樂世界的和音、和聲，指兩個(gè)或兩個(gè)以上的音按一定法則同時(shí)發(fā)聲而構(gòu)成的音響組合. 古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯指出，當(dāng)兩個(gè)弦的長度是一個(gè)簡單的整數(shù)比時(shí)，它們發(fā)出的聲音最和諧.

定理3（調(diào)和性）：如圖4，有以下兩個(gè)結(jié)論.

（1）線段AB的外部端點(diǎn)A（線段[MN]外部）到兩個(gè)調(diào)和分割點(diǎn)距離的調(diào)和平均數(shù)恰為這條線段的長，即[AB=][21AM+1AN].

（2）線段AB的內(nèi)部端點(diǎn)B（線段[MN]內(nèi)部）到兩個(gè)調(diào)和分割點(diǎn)距離的調(diào)差平均數(shù)恰為這條線段的長，即[AB=][21BM-1BN].

證明：（1）要證[AB=21AM+1AN]，

只需證[ABAM+ABAN=2，]

只需證[AM+BMAM+AN-BNAN=2]，

即證[AMBM=ANBN].

得證.

（2）具體證明過程略.

“共軛”一詞的本義是兩頭牛背上的架子成為“軛”，“軛”使兩頭牛同步行走.“共軛”即為按一定規(guī)律相配的一對(duì)，通俗來說就是“孿生”.

定理4（共軛性）：如果點(diǎn)M，N調(diào)和分割線段AB，那么點(diǎn)A，B也調(diào)和分割線段MN. 因此，點(diǎn)A，B與點(diǎn)M，N稱為調(diào)和共軛.

調(diào)和線束的定義：如果點(diǎn)A，B與點(diǎn)M，N調(diào)和共軛，這些點(diǎn)與直線外任意一點(diǎn)P形成的四條直線稱為調(diào)和線束. 如圖5，AP，MP，BP，NP合稱調(diào)和線束.

根據(jù)上文關(guān)于“角平分線”的論述，不難發(fā)現(xiàn)定理5.

定理5：如果任意一條不過點(diǎn)P的直線與調(diào)和線束中的每一條直線都相交，那么這四個(gè)交點(diǎn)依然調(diào)和共軛.

如圖6，即點(diǎn)C，D與點(diǎn)Q，H調(diào)和共軛（證明略）.

定理6：如圖7，如果任意一條不過點(diǎn)P的直線與調(diào)和線束中的一條直線平行而與另外三條相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，則點(diǎn)F平分線段EG.

說明：當(dāng)點(diǎn)P不在阿波羅尼斯圓上，角平分線的屬性就不復(fù)存在了，但這一定理仍然成立，可以參考仿射變換.

三、完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列

如何從紛繁的圖形中尋找調(diào)和點(diǎn)列呢？

完全四邊形的定義：兩兩相交又沒有三線交于同一點(diǎn)的四條線段，及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形稱為完全四邊形. 如圖8，ABED是一個(gè)完全四邊形.

定理7：如圖9，若在完全四邊形ABED中，分別連接AE，F(xiàn)C，交于點(diǎn)G，連接BG并延長，其延長線交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)D，C，H，A為調(diào)和點(diǎn)列. 其中，點(diǎn)D，H與點(diǎn)C，A調(diào)和共軛.

結(jié)合三角形觀察調(diào)和點(diǎn)列的比例關(guān)系，不難想到梅涅勞斯定理與塞瓦定理.

證明：如圖9，在[△ABC]中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

由梅涅勞斯（Menelaus）定理，得

[BFFA ? ADDC ? CEEB=1].

因?yàn)锳E，F(xiàn)C，BH三線交于點(diǎn)G，

所以由塞瓦（G.Gevo）定理，得

[BFFA ? AHHC ? CEEB=1].

所以[ADDC=AHHC]，

即點(diǎn)D，H與點(diǎn)C，A調(diào)和共軛.

結(jié)合定理5，我們可以發(fā)現(xiàn)眾多調(diào)和點(diǎn)列. 如圖10，虛線段上的四個(gè)點(diǎn)都是調(diào)和點(diǎn)列.

特別地，如圖11，當(dāng)EF∥AC時(shí)，圖10中的交點(diǎn)D可以看作位于無限遠(yuǎn)處，點(diǎn)B，L，G，K為調(diào)和點(diǎn)列. 其中，點(diǎn)B，G與點(diǎn)L，K調(diào)和共軛.

四、完全四邊形與圓錐曲線的聯(lián)系

平面內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)可以確定圓錐曲線呢？觀察二次曲線的一般形式[Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0]. 圓錐曲線一定是二次曲線，即二次項(xiàng)系數(shù)A，B，C中至少有一個(gè)不為0. 不妨設(shè)[A≠0，] 方程[Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+]

[F=0]的兩邊同時(shí)除以A，得[x2+BAy2+CAxy+DAx+EAy+]

[FA=0]，即[x2+λ1y2+λ2xy+λ3x+λ4y+λ5=0]. 也就是說只要確定了唯一的有序?qū)崝?shù)組[λ1，λ2，λ3，λ4，λ5]就可以確定唯一的橢圓（雙曲線），即平面內(nèi)五點(diǎn)確定橢圓（雙曲線）. 而拋物線需要有一個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)為0，故平面內(nèi)四點(diǎn)確定拋物線.

圖12中一定存在圓錐曲線過A，F(xiàn)，E，C四點(diǎn)，那么圓錐曲線的任意內(nèi)接四邊形，延長四邊使其兩兩相交，可以形成完全四邊形（內(nèi)接梯形可以類比圖11），就可以研究相應(yīng)的調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束的問題了. 當(dāng)然，如果上述四點(diǎn)共圓也有類似結(jié)論. 這樣我們就把完全四邊形與圓錐曲線聯(lián)系起來了. 事實(shí)上，對(duì)于具有內(nèi)接四邊形的曲線都可以研究這類問題，但是圓錐曲線所獨(dú)具的性質(zhì)使其更具研究價(jià)值.

五、極點(diǎn)和極線與調(diào)和分割

極點(diǎn)和極線的定義：二次曲線[Ax2+By2+Cxy+Dx+][Ey+F=0]，設(shè)點(diǎn)[Px0，y0]，若直線[l：Ax0x+By0y+][Cx0y+xy02+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0]，則稱點(diǎn)[P]是直線[l]的極點(diǎn)，直線[l]是點(diǎn)[P]的極線.

極線的性質(zhì)1：當(dāng)點(diǎn)[Px0，y0]在曲線外時(shí)，對(duì)應(yīng)的極線為過點(diǎn)P的切點(diǎn)弦所在的直線；當(dāng)點(diǎn)[Px0，y0]在曲線上時(shí)，對(duì)應(yīng)的極線的方程為過點(diǎn)P的切線的方程；當(dāng)點(diǎn)[Px0，y0]在曲線內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的極線的方程為過點(diǎn)P作曲線的非對(duì)稱軸交線，交曲線于A，B兩點(diǎn)，再分別過點(diǎn)A，B作曲線的切線，兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程.

極線的性質(zhì)2（自極性）：極點(diǎn)所在的直線的極點(diǎn)必在原來的極線上；極線上任意一點(diǎn)的極線必過原來的極點(diǎn).

極線的性質(zhì)3：極點(diǎn)在對(duì)稱軸上時(shí)，極線必垂直該對(duì)稱軸. 反之也成立.

極線的性質(zhì)4：圓錐曲線焦點(diǎn)的極線為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，準(zhǔn)線的極點(diǎn)為對(duì)應(yīng)焦點(diǎn).

說明：極線的性質(zhì)非常豐富，可以由“同構(gòu)思想”論證. 由于與本文重點(diǎn)論述的極點(diǎn)和極線調(diào)和分割橢圓的性質(zhì)關(guān)聯(lián)不大，故不進(jìn)行詳細(xì)闡述.

定理8：極點(diǎn)與極線調(diào)和分割圓錐曲線.

如圖13，以橢圓[x2a2+y2b2=1? a>b>0]為例證明：過點(diǎn)[Px0，y0]（點(diǎn)[P]不在橢圓上且不為原點(diǎn)）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)Q，P，A，B為調(diào)和點(diǎn)列，則點(diǎn)Q為直線AB與直線[x0xa2+y0yb2=1]的交點(diǎn).

證明：設(shè)[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，[Qm，n].

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為[y-y0=][kx-x0].

與橢圓的方程聯(lián)立，化簡，得

[a2k2+b2x2+2ka2y0-kx0x+a2y0-kx02-a2b2=0].

當(dāng)[Δ≥0]時(shí)，

[x1+x2=-2ka2y0-kx0a2k2+b2]， [x1x2=a2y0-kx02-a2b2a2k2+b2].

若點(diǎn)Q，P，A，B為調(diào)和點(diǎn)列，則滿足[x0-x1x0-x2=][x1-mm-x2]，即[2mx0+2x1x2-x0+mx1+x2=0].

所以[a2y0m-x0k+mx0b2+a2y02-a2b2=0].

將[k=y0-nx0-m]代入化簡，得[x0ma2+y0nb2=1]，

即點(diǎn)Q為直線[x0xa2+y0yb2=1]上的點(diǎn).

當(dāng)直線AB的斜率不存在且與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，也可以驗(yàn)證點(diǎn)Q為直線[x0xa2+y0yb2=1]上的點(diǎn).

綜上所述，點(diǎn)Q為直線AB與直線[x0xa2+y0yb2=1]的交點(diǎn).

我們發(fā)現(xiàn)一些特殊情況，當(dāng)點(diǎn)[Pt，0-a

按照橢圓極點(diǎn)和極線對(duì)橢圓割線的調(diào)和分割比例，將橢圓內(nèi)接四邊形的四條邊延長并分別相交，構(gòu)成完全四邊形. 如圖14，在橢圓內(nèi)接四邊形DEFG中，延長DE，GF交于點(diǎn)J，延長GD，F(xiàn)E交于點(diǎn)H，連接對(duì)角線GE，DF，交于點(diǎn)K，連接JH，HK，JK，形成[△KHJ]. 由于彼此調(diào)和分割，則將[△KHJ]稱作“自極三角形”，即每個(gè)頂點(diǎn)都是其對(duì)邊的極點(diǎn)，每條邊都是其對(duì)頂點(diǎn)的極線.

六、高考試題中的極點(diǎn)和極線問題

在歷年高考試題中，以上述問題為命題背景的試題多次出現(xiàn)．

例1 （2020年全國Ⅰ卷·理20）已知A，B分別為橢圓[E： x2a2+y2=1? a>1]的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，[AG ? GB=8]，P為直線[x=6]上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

解析：（1）橢圓方程為[x29+y2=1]．

（2）如圖15，設(shè)橢圓E的內(nèi)接四邊形ADBC的對(duì)角線的交點(diǎn)為[Fx0，0]，則點(diǎn)F的極線為[x0 · x9+0 ·][y=1，] 可得方程為[x=9x0]，即[9x0=6]，解得[x0=32]，故直線CD恒過定點(diǎn)[32，0].

如果在這個(gè)題目的基礎(chǔ)上以調(diào)和點(diǎn)列形成的比例關(guān)系為命題背景，可以考慮進(jìn)行如下設(shè)計(jì).

已知點(diǎn)[M1，0]，[N-1，0]，若點(diǎn)P是橢圓[E：][x29+y2=1]上的任意一點(diǎn)，連接NP交橢圓E于點(diǎn)Q，連接PM，QM并延長，分別交橢圓E于點(diǎn)R，S，連接RS，設(shè)直線PQ，RS都不與坐標(biāo)軸垂直.

求證：直線PQ，RS的斜率之比為定值.

如圖16，點(diǎn)[M1，0]對(duì)應(yīng)極線[AB： 1 · x9+0 · y=1]，即[x=9]，由完全四邊形可知點(diǎn)Q，K，R，B為調(diào)和點(diǎn)列，AQ，AK，AR，AB為調(diào)和線束. 因?yàn)榫€段AQ，AK，AR，AB分別與x軸交于點(diǎn)N，M，H，I，所以點(diǎn)N，M，H，I為調(diào)和點(diǎn)列.

設(shè)[Hx，0]，且[M1，0]，[N-1，0]，[I9，0].

由調(diào)和比例[NMHM=NIHI]，得[2x-1=109-x].

解得[x=73]，即得[H73，0].

所以[kRSkPQ=AIHIAINI=NIHI=32]．

當(dāng)然，利用調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束的性質(zhì)研究一些過定點(diǎn)問題也是非常方便的．

例2 （2022年全國乙卷·理20）已知橢圓[E]的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為[x]軸、[y]軸，且過[A0，-2，][B32，-1]兩點(diǎn).

（1）求[E]的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)[P1，-2]的直線交[E]于[M，] [N]兩點(diǎn)，過點(diǎn)[M]且平行于[x]軸的直線與線段[AB]交于點(diǎn)[T]，點(diǎn)[H]滿足[MT=TH]. 證明：直線[HN]過定點(diǎn).

解析：（1）橢圓[E]的方程為[y24+x23=1].

（2）根據(jù)調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束的性質(zhì)，可知[PA]為橢圓[E]的切線.

將直線[PB]的方程[y=2x-4]代入橢圓[E]的方程，有[4x2-12x+9=0].

得到判別式Δ = 0，故直線[PB]也為橢圓[E]的切線.

所以直線AB的方程[1 · x3+-2 · y4=1]為橢圓[E]的切點(diǎn)弦方程.

如圖17，設(shè)[AB]與[MN]交于點(diǎn)[D]，則點(diǎn)[P，M，D，][N]成調(diào)和點(diǎn)列，[AP，AM，AD，AN]成調(diào)和線束.

由題意可知，[MH∥AP.]

因?yàn)閇MH]與[AM，AD，AN]分別交于點(diǎn)[M，T，H，] 所以[T]為[MH]的中點(diǎn).

因?yàn)閇AP∥xO∥MT，] 所以由[HN]恒過點(diǎn)[A].

破解圓錐曲線的壓軸題，需要先合理解析算法，優(yōu)化運(yùn)算. 而解析幾何問題的核心依然是“幾何”，“解析”只是處理幾何問題的一種手段. 充分了解并應(yīng)用幾何要素間的性質(zhì)，先把結(jié)論“看出來”，是簡化解析運(yùn)算的重要途徑，有利于學(xué)生提升幾何直觀素養(yǎng). 史寧中教授說過，智慧的教育表現(xiàn)在過程之中，學(xué)生必須通過自身的理解與感悟才能形成智慧. 在教學(xué)中，教師要系統(tǒng)研究調(diào)和點(diǎn)列在圓錐曲線中的性質(zhì)，充分探索調(diào)和點(diǎn)列性質(zhì)形成的“源”與“流”，避免形成“應(yīng)用二級(jí)結(jié)論”的解題訓(xùn)練，綜合提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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［2］李三平，陳夏. 高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)［M］. 北京：科學(xué)出版社，2019.

收稿日期：2022-08-11

作者簡介：張永剛（1982— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.