摘? 要：美國(guó)《加利福尼亞州公立學(xué)校數(shù)學(xué)框架》已經(jīng)啟動(dòng)新一輪的修訂工作，草案中重點(diǎn)突出了“公平”和“參與”兩個(gè)關(guān)鍵詞，在大量研究與實(shí)踐的基礎(chǔ)上，針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行了深刻地闡述，其認(rèn)識(shí)和見(jiàn)解值得學(xué)習(xí)與借鑒. 文章除了重點(diǎn)介紹草案中有關(guān)教學(xué)的新穎之處，還提出相關(guān)啟示與思考.

關(guān)鍵詞：《加利福尼亞州公立學(xué)校數(shù)學(xué)框架》；數(shù)學(xué)教學(xué)；教師專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)

一、引言

教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教育關(guān)注的重點(diǎn)環(huán)節(jié). 一個(gè)好的教學(xué)過(guò)程可以充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，讓學(xué)生真正參與到“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo). 教學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，需要教育工作者在不斷實(shí)踐中積累經(jīng)驗(yàn). 與此同時(shí)，如果教師能夠積極汲取先進(jìn)的教育理念、教學(xué)策略和教學(xué)方式，并將其合理融入實(shí)際教學(xué)中，就能為教學(xué)改革、教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展創(chuàng)造新的機(jī)會(huì).

他山之石，可以攻玉. 辯證看待美國(guó)數(shù)學(xué)改革前沿是提高我國(guó)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的有效途徑之一. 美國(guó)加利福尼亞州從2013年起采用《加利福尼亞州公立學(xué)校數(shù)學(xué)框架》（Mathematics Framework for California Public Schools）（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)框架》），代替了《加利福尼亞州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（California Common Core State Standards for Mathematics，CA CCSSM），使之能夠更好地指導(dǎo)課程開(kāi)發(fā)與教學(xué). 很多研究者對(duì)《數(shù)學(xué)框架》中的重要內(nèi)容，如評(píng)價(jià)、技術(shù)、教學(xué)策略等進(jìn)行了不同的研究. 在實(shí)施該版《數(shù)學(xué)框架》近6年后，加利福尼亞州教育局、教學(xué)質(zhì)量委員會(huì)和州教育委員會(huì)于2019年開(kāi)始著手對(duì)其進(jìn)行修訂.《數(shù)學(xué)框架》的修訂草案在2021年1月獲得教育質(zhì)量委員會(huì)的批準(zhǔn)，并在加利福尼亞州教育部官方網(wǎng)站進(jìn)行公示，以供大眾審查和評(píng)論，旨在給對(duì)《數(shù)學(xué)框架》修訂工作感興趣的個(gè)人或者組織提供發(fā)表建議的機(jī)會(huì). 2021年5月中旬，教育質(zhì)量委員會(huì)對(duì)收到的評(píng)論與建議進(jìn)行審核，并于2021年6 ～ 7月對(duì)《數(shù)學(xué)框架》修訂草案進(jìn)行第二次公開(kāi)審核. 本次《數(shù)學(xué)框架》進(jìn)行修訂的目標(biāo)是讓所有加利福尼亞州學(xué)生成為數(shù)學(xué)的有力使用者，以便他們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)、職業(yè)生涯和公民生活中更好地了解和積極影響世界.《數(shù)學(xué)框架》（修訂版）的不同之處是單獨(dú)設(shè)置了新的一章——公平與參與的教學(xué)，其目的是促進(jìn)教學(xué)，為所有人創(chuàng)造公平的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，挑戰(zhàn)導(dǎo)致不公平結(jié)果的根深蒂固的政策和做法. 同時(shí)，修訂草案的第九章還給出了實(shí)現(xiàn)這種教學(xué)愿景的相關(guān)支持. 基于此，本文主要介紹《數(shù)學(xué)框架》修訂草案中與教學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容（以下統(tǒng)稱(chēng)《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》）. 從中挖掘新一輪修訂中有關(guān)教學(xué)的建議與理念，把握改革的新動(dòng)向與新趨勢(shì)，為我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施與完善提供一些參考和啟示.

二、簡(jiǎn)介

1. 公平與參與的教學(xué)

我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出了“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程理念，并在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)“不僅要重視教，更要重視學(xué)”，倡導(dǎo)教育公平，重視學(xué)生參與. 公平和參與成了本次《數(shù)學(xué)框架》新一輪修訂的兩個(gè)關(guān)鍵詞，并強(qiáng)調(diào)好的教學(xué)方式能帶來(lái)公平和更好的結(jié)果. 教學(xué)與公平共同創(chuàng)造了能夠帶來(lái)公平結(jié)果的教學(xué)設(shè)計(jì). 州一級(jí)對(duì)公平的承諾貫穿整個(gè)《數(shù)學(xué)框架》修訂草案，并且其中的每一章都闡述了幫助數(shù)學(xué)教育工作者為所有人創(chuàng)造和維持公平機(jī)會(huì)的考慮因素和方法.

強(qiáng)調(diào)公平是因?yàn)殛P(guān)注到多年來(lái)數(shù)學(xué)的發(fā)展把許多學(xué)生排除在外的事實(shí).《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》指出，加利福尼亞州的所有教師都要努力確保每個(gè)孩子有平等的機(jī)會(huì)獲得成功. 數(shù)學(xué)教師要提供公平的教育，確保所有的學(xué)生得到關(guān)注、尊重和資源. 因?yàn)榧永Ｄ醽喼莸恼n堂結(jié)合了不同的社區(qū)和學(xué)生，文化和語(yǔ)言資源更復(fù)雜，所以教師要立足這種現(xiàn)狀，利用這些資源創(chuàng)建與文化相關(guān)的課程. 總之，教育工作者必須確保為加利福尼亞州所有學(xué)生提供學(xué)習(xí)支持.

重視參與是因?yàn)閷W(xué)生通過(guò)積極參與教學(xué)和相互學(xué)習(xí)能獲得最佳學(xué)習(xí)效果. 因此，《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》確定了開(kāi)展探究學(xué)習(xí)的三個(gè)探究驅(qū)動(dòng)因素（Drivers of Investigation，DI）：了解世界（Make sense of the world）；預(yù)測(cè)可能發(fā)生的事情（Predict what could happen）；影響未來(lái)（Impact the future）. 探究驅(qū)動(dòng)因素揭示了為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并與四類(lèi)內(nèi)容連接（Content Connections，CCs）配對(duì)，它揭示了在活動(dòng)中應(yīng)該如何學(xué)習(xí)及學(xué)習(xí)怎樣的數(shù)學(xué). 與數(shù)學(xué)實(shí)踐的標(biāo)準(zhǔn)（Standards for Mathematical Practice，SMP）一起，探究驅(qū)動(dòng)因素通過(guò)連貫、集中和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞酱龠M(jìn)學(xué)生對(duì)內(nèi)容連接中思想和行動(dòng)的學(xué)習(xí). 教師合理使用探究驅(qū)動(dòng)因素能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，并為他們深入學(xué)習(xí)真實(shí)的數(shù)學(xué)提供動(dòng)力. 實(shí)際上，當(dāng)學(xué)生參與到各種各樣的體驗(yàn)中時(shí)，他們可以更積極地看待數(shù)學(xué)及自身與數(shù)學(xué)的關(guān)系. 除此之外，《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》還給出了通用學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)（Universal Design for Learning，UDL）指南的原則，包括提供多種參與方式、多種表現(xiàn)方式、多種行動(dòng)方式和多種表達(dá)方式. UDL是全納教育（inclusive education）的具體寫(xiě)照，關(guān)注到學(xué)生學(xué)習(xí)的差異性，以此為所有學(xué)生提供有利于他們學(xué)習(xí)的多維指南.

2. 公平與參與教學(xué)的組成部分

教師應(yīng)該如何創(chuàng)造一個(gè)公平和參與的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境以支持所有學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》在相關(guān)研究和實(shí)踐的基礎(chǔ)上回答了這個(gè)問(wèn)題，并提出了公平與參與教學(xué)的五個(gè)重要組成部分. 這五個(gè)部分既相互獨(dú)立，又相互支持、相互影響，共同促進(jìn)教學(xué)邁向公平，深化學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度與廣度.

（1）圍繞大概念設(shè)計(jì)教學(xué)（Plan Teaching Around Big Ideas）.

數(shù)學(xué)是一門(mén)由重要的思想和聯(lián)系組成的學(xué)科，理解數(shù)學(xué)的大概念具有重要意義.《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》提出，大概念是指那些能夠反映學(xué)生所處年級(jí)的數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)，以及知識(shí)之間關(guān)系的概念，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，可以將眾多數(shù)學(xué)理解聯(lián)系成一個(gè)連貫的整體，并為學(xué)生的探究提供活動(dòng)中心. 圍繞大概念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)際是提出了一種對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行處理的方式，這與以往的課程標(biāo)準(zhǔn)傾向于將學(xué)科劃分為更小的主題的方式不同. 教師可以計(jì)劃教授數(shù)學(xué)的大概念，而不是圍繞標(biāo)準(zhǔn)或教材章節(jié)中規(guī)定的小主題或方法進(jìn)行教學(xué). 圍繞大概念設(shè)計(jì)的課程有助于將一個(gè)或多個(gè)內(nèi)容與數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)和探究驅(qū)動(dòng)因素聯(lián)系起來(lái).《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》認(rèn)為，在討論學(xué)習(xí)重要數(shù)學(xué)概念的新方法時(shí)，教師應(yīng)該以問(wèn)題為引導(dǎo)，提供給學(xué)生充足的時(shí)間去思考問(wèn)題的解決方案，之后再引導(dǎo)學(xué)生獲得相應(yīng)的方法和策略，以找到教師指導(dǎo)的最佳時(shí)機(jī).

《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》中舉了這樣一個(gè)例子：高中幾何教師Lori向?qū)W生提出了一個(gè)問(wèn)題：一位農(nóng)民有36個(gè)單獨(dú)的柵欄，每個(gè)柵欄長(zhǎng)一米，農(nóng)民想把它們放在一起，圍成盡可能大的面積. 這個(gè)問(wèn)題在我們的教學(xué)中其實(shí)是一個(gè)很常見(jiàn)的現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題，但是Lori不僅花時(shí)間延拓了學(xué)生的農(nóng)業(yè)知識(shí)，以及加利福尼亞州在水果、蔬菜和牲畜生產(chǎn)中的作用，而且組織學(xué)生積極討論農(nóng)場(chǎng)和農(nóng)民想要柵欄形成某種形狀的原因. 另外，Lori在黑板上盡可能地張貼出所有規(guī)則和不規(guī)則圖形的圖片，貼上標(biāo)簽，還給出了一個(gè)句子框架“柵欄應(yīng)布置成（? ? ）形狀，因?yàn)椋? ? ）”來(lái)幫助學(xué)生思考. 經(jīng)過(guò)一番討論后，Lori要求學(xué)生考慮柵欄可能形成的最大區(qū)域. 一些學(xué)生從調(diào)查不同大小的矩形和正方形開(kāi)始，一些學(xué)生繪制圖表來(lái)調(diào)查不同邊長(zhǎng)圖形的面積如何變化. 案例中還指出一位學(xué)生想要圍成一個(gè)三十六邊形，從而需要用到三角學(xué)的知識(shí). 在探究這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生可以重新審視自己已有的知識(shí)，并且將這些知識(shí)統(tǒng)籌在“面積”這一大概念之下. 這與我國(guó)現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中提倡的單元式教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的核心概念不謀而合.

（2）使用開(kāi)放的、引人入勝的任務(wù)（Use Open，Engaging Task）.

在教學(xué)中選擇開(kāi)放式的任務(wù)或問(wèn)題是實(shí)現(xiàn)學(xué)生參與的有效方式. 開(kāi)放式任務(wù)是指能讓學(xué)生將想法發(fā)展到不同水平的任務(wù). 當(dāng)任務(wù)既有一個(gè)較低的要求，又有一個(gè)高的標(biāo)準(zhǔn)，則意味著任何學(xué)生都可以嘗試對(duì)任務(wù)進(jìn)行解決，并逐步向高水平任務(wù)靠近. 當(dāng)問(wèn)題較為封閉時(shí)，只有一些學(xué)生在適當(dāng)?shù)乃缴鲜艿秸J(rèn)知上的挑戰(zhàn)，而且問(wèn)題往往并不有趣. 如果任務(wù)是開(kāi)放的，這類(lèi)問(wèn)題就能在學(xué)生的知識(shí)與能力范圍內(nèi)給予所有學(xué)生適當(dāng)?shù)奶魬?zhàn). 開(kāi)放式任務(wù)可以源于現(xiàn)實(shí)世界，以幫助學(xué)生積累將與之生活息息相關(guān)的情境數(shù)學(xué)化的體驗(yàn). 例如，可以讓學(xué)生設(shè)計(jì)輪椅坡道、規(guī)劃新的學(xué)?；▓@等. 這類(lèi)從生活中提取的任務(wù)與想象中的情境是截然不同的. 但是，現(xiàn)有的教材中卻充斥著大量想象的情境. 同時(shí)，并非所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都需要與現(xiàn)實(shí)相關(guān)，學(xué)生也可以充分參與到純數(shù)字模式的問(wèn)題探索中去.

一方面，學(xué)生在探究開(kāi)放式任務(wù)時(shí)，能利用各種真實(shí)機(jī)會(huì)以不同的方式參與其中，以不同的方式看待問(wèn)題，使用多種方式來(lái)表征數(shù)學(xué)思想和表達(dá)理解，貢獻(xiàn)自己獨(dú)特的觀點(diǎn). 這有助于學(xué)生進(jìn)行概念理解和推理，以及平等地參與數(shù)學(xué)對(duì)話(huà)；另一方面，開(kāi)放式任務(wù)為教師創(chuàng)造了傾聽(tīng)、理解學(xué)生想法的機(jī)會(huì)，并在課程實(shí)施過(guò)程中進(jìn)行形成性評(píng)估.

《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》中舉了兩個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題范例. ① 你能用四個(gè)4以及加、減、乘、除等運(yùn)算符號(hào)（可以進(jìn)行添加括號(hào)等任何操作）找到1到20之間的每個(gè)數(shù)字嗎？例如，[4+4÷4+4=6，] 結(jié)果6屬于1到20之間，符合要求. 這樣的問(wèn)題不僅可以發(fā)散學(xué)生的思維，而且提高了數(shù)學(xué)的趣味性. ② 誰(shuí)在你們學(xué)校上學(xué)？哪些種族和性別群體有代表性？你的學(xué)校數(shù)據(jù)與州或國(guó)家數(shù)據(jù)相比如何？這個(gè)問(wèn)題與我們?nèi)粘＝虒W(xué)中所設(shè)置的有關(guān)統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)的問(wèn)題相比較，內(nèi)涵更豐富，更貼近學(xué)生的生活，還能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

使用開(kāi)放式任務(wù)代表著教學(xué)實(shí)踐的轉(zhuǎn)變，其不再是傳統(tǒng)的“講座”方式. 強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中合理安排開(kāi)放式任務(wù)，促使教師通過(guò)豐富的、真實(shí)的、與文化相關(guān)的任務(wù)來(lái)引領(lǐng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)，這將支持學(xué)生的持續(xù)成長(zhǎng)，并豐富他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而這正是消除不公平現(xiàn)象的一個(gè)基本要素.

（3）教學(xué)走向社會(huì)正義（Teach Toward Social Justice）.

真正的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是面向社會(huì)正義的. 數(shù)學(xué)教師有必要向?qū)W生灌輸這樣一種觀點(diǎn)，即數(shù)學(xué)是一種既可以用來(lái)理解世界，又可以用來(lái)改變世界的工具. 《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》指出，傳統(tǒng)意義上，數(shù)學(xué)被視為一門(mén)中立的學(xué)科，它阻礙了學(xué)生與數(shù)學(xué)建立更為私人和緊密關(guān)系的可能，并導(dǎo)致很多學(xué)生認(rèn)為他們不適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 從不同的角度來(lái)看，教師不僅可以幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)中看到自己，還可以積累知識(shí)和促進(jìn)理解，使他們能夠利用數(shù)學(xué)來(lái)改善世界. 教師可以在任何年級(jí)（幼兒園至十二年級(jí)）采取以公正為導(dǎo)向的觀點(diǎn)，幫助學(xué)生感受歸屬感，并為他們提供解決生活和社區(qū)中重要問(wèn)題的工具. 同時(shí)，因?yàn)椴煌膶W(xué)生有著不同的背景、經(jīng)歷和文化身份，所以教師應(yīng)該賦予數(shù)學(xué)多元文化的背景. 例如，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)項(xiàng)目側(cè)重于將獲得水作為一項(xiàng)人權(quán)，其中就整合了體積、容量、操作和比例推理等主題，以探討發(fā)展中國(guó)家家庭用水和獲得水的情況. 或者在一堂關(guān)于在美制和公制之間單位換算的測(cè)量課中，讓學(xué)生借助自己家庭的移民經(jīng)歷，在經(jīng)歷了地圖探索和一系列討論后，運(yùn)用并拓展數(shù)學(xué)技能.

數(shù)學(xué)教學(xué)中，要采取社會(huì)公正的方法使數(shù)學(xué)更人性化. 學(xué)習(xí)不僅可以獲取新知識(shí)，還涉及身份的改變. 若將所有學(xué)生定位為數(shù)學(xué)思考者、學(xué)習(xí)者和社區(qū)成員，學(xué)生則能在此過(guò)程中將數(shù)學(xué)視為與他們的生活相關(guān)的東西. 教學(xué)中設(shè)計(jì)的任務(wù)不僅是為了讓學(xué)生參與有意義的數(shù)學(xué)，有時(shí)也是為了幫助學(xué)生注意到自己已經(jīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要成員，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人翁意識(shí). 教學(xué)走向社會(huì)正義需要教育工作者為學(xué)生提供必要的支持，教師要通過(guò)任務(wù)幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)閱讀和認(rèn)識(shí)世界，即用數(shù)學(xué)解讀世界；然后學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)改變世界，即用數(shù)學(xué)書(shū)寫(xiě)世界. 這恰好與我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出的核心素養(yǎng)三大構(gòu)成方面有異曲同工之處.

（4）鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)和猜想（Invite Student Questions and Conjectures）.

維持學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心是教學(xué)的任務(wù)之一. 從數(shù)學(xué)中的大概念出發(fā)設(shè)置的開(kāi)放式任務(wù)可以培養(yǎng)學(xué)生的好奇心. 教師也可以為學(xué)生營(yíng)造提問(wèn)和猜想的空間來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 事實(shí)上，課堂上最重要但被忽視的數(shù)學(xué)行為之一便是引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題. 這樣的問(wèn)題是寶貴的教學(xué)資源，對(duì)于培養(yǎng)活躍、好奇的數(shù)學(xué)思考者很重要，應(yīng)該受到重視，并給予學(xué)生時(shí)間去探究. 當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了好奇心后，借助開(kāi)放式任務(wù)進(jìn)行大概念的探索，并為另一個(gè)重要的數(shù)學(xué)行為——猜想做充分的準(zhǔn)備. 假設(shè)是一種需要檢驗(yàn)和證明的想法，而假設(shè)在數(shù)學(xué)學(xué)科的等價(jià)物就是猜想. 鼓勵(lì)學(xué)生提出關(guān)于數(shù)學(xué)的猜想，并對(duì)猜想進(jìn)行討論和探究，會(huì)讓其意識(shí)到數(shù)學(xué)是一門(mén)可以借助邏輯進(jìn)行深入探索的學(xué)科. 好奇心和判斷力正是通過(guò)猜想得到了培養(yǎng)，而這與探究驅(qū)動(dòng)因素緊密相關(guān).

（5）以推理和論證為中心（Center Reasoning and Justification）.

推理是做數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)的核心，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該緊緊圍繞推理和論證展開(kāi). 《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》認(rèn)為，所有的學(xué)生都能對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行深刻地思考. 數(shù)學(xué)推理支持并改善了日常生活而應(yīng)備受重視. 一個(gè)學(xué)會(huì)對(duì)自己的想法進(jìn)行推理的學(xué)生，就是要學(xué)會(huì)成為數(shù)學(xué)的優(yōu)秀傳播者. 在實(shí)際教學(xué)中，教師要向?qū)W生分配開(kāi)放式任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生切身參與到數(shù)學(xué)推理的過(guò)程中，并要求其相互討論想法和理由. 在經(jīng)歷全班討論和小組討論探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有效促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展. 因此，以推理和論證為中心成為開(kāi)放式任務(wù)的核心要義，需要依托開(kāi)放式任務(wù)展開(kāi). 例如，學(xué)生可能會(huì)注意到多邊形的內(nèi)角和會(huì)隨著邊數(shù)的增加而有規(guī)律地增加，并使用這種重復(fù)推理來(lái)推測(cè)任何多邊形內(nèi)角和的規(guī)律，教師則需要充分利用這類(lèi)問(wèn)題來(lái)發(fā)展學(xué)生的推理和論證能力. 換言之，在教學(xué)過(guò)程中，教師要深度挖掘蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)推理和論證的問(wèn)題，用更加清晰的方式提出問(wèn)題，有意識(shí)、有目標(biāo)、有評(píng)價(jià)地助力學(xué)生能力的提升.

《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》對(duì)推理和論證的重視不僅源于數(shù)學(xué)本身的特質(zhì)，還源于社會(huì)發(fā)展的迫切需求，即數(shù)學(xué)推理是21世紀(jì)就業(yè)的必備技能. 雇主過(guò)去高度重視那些能夠計(jì)算并給出正確答案的人，但現(xiàn)在計(jì)算機(jī)執(zhí)行計(jì)算，需要雇員編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序，理解解決方案，推理數(shù)學(xué)路徑，并交流他們的想法，以便其他團(tuán)隊(duì)成員與他們聯(lián)系. 與快速計(jì)算相比，靈活和創(chuàng)造性思維在當(dāng)今職場(chǎng)中更受重視.

3. 公平、參與的數(shù)學(xué)教學(xué)的有效支持

基于上述五種理念，《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》中還闡述了如何為創(chuàng)造公平與參與的教學(xué)提供相應(yīng)的具體支持，旨在為教師建立一個(gè)有效的支持系統(tǒng). 正因?yàn)榻處熓怯绊憣W(xué)生學(xué)習(xí)的重要因素之一，所以關(guān)注教師就有重要的意義.

《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》給出了適合所有年級(jí)公平教學(xué)的大致輪廓，如表1所示. 五個(gè)步驟邏輯清晰、步步深入，公平與參與既是教學(xué)的起點(diǎn)，又是教學(xué)力爭(zhēng)達(dá)到的目標(biāo).

對(duì)教師而言，改進(jìn)自己教學(xué)的途徑非常多. 例如，在課堂中與學(xué)生合作、參與會(huì)議和參加線(xiàn)上課程等. 但是《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》更關(guān)注教師的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí). 專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)指的是有計(jì)劃和有組織的過(guò)程，通過(guò)使用數(shù)據(jù)、圍繞真實(shí)問(wèn)題和教學(xué)實(shí)踐的主動(dòng)探究，促進(jìn)教育者的可持續(xù)發(fā)展. 與之相關(guān)的概念——有效的專(zhuān)業(yè)發(fā)展，指的是結(jié)構(gòu)化的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)能帶來(lái)教師實(shí)踐的改變和學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的改善.

“理念先行，行動(dòng)跟進(jìn)”是促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的重要策略之一，而教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展是改善教學(xué)的有效抓手.《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》總結(jié)了有助于改進(jìn)教學(xué)實(shí)踐的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)思維的關(guān)鍵轉(zhuǎn)變，為教師教學(xué)理念的革新提供指導(dǎo)，詳見(jiàn)表2. 從轉(zhuǎn)變中可以明確感受到，教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展是一個(gè)持續(xù)的過(guò)程，緊密?chē)@學(xué)生、教學(xué)和教師本人三大著力點(diǎn)展開(kāi). 教師專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的主體性意識(shí)越強(qiáng)，越能在發(fā)展過(guò)程中獲得各方面的堅(jiān)實(shí)保障.

在此基礎(chǔ)上，《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》還分析了數(shù)學(xué)教師職業(yè)生涯不同階段的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)，包括職前教師階段、入職培訓(xùn)階段和在職教師階段，并給出了不同階段專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)或應(yīng)該考慮的因素，如表3所示. 這些內(nèi)容共同構(gòu)成了連貫、完整的教師發(fā)展成長(zhǎng)體系，且各有側(cè)重，并以增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的公平性與參與性為目標(biāo)，致力于幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)上的成就，實(shí)現(xiàn)教育教學(xué)質(zhì)量的提高. 最后，《數(shù)學(xué)框架·教學(xué)》還給出了有效專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的三種方式：課程研究，以?xún)?nèi)容為中心的研討會(huì)，結(jié)構(gòu)化輔導(dǎo).

三、啟示

1. 立足本國(guó)國(guó)情，妥善處理公平與成效間的關(guān)系

一直以來(lái)，教育公平都是各個(gè)國(guó)家關(guān)注的重點(diǎn)議題. 導(dǎo)致美國(guó)數(shù)學(xué)教育不公平的因素很多，如移民特性所導(dǎo)致的種族、語(yǔ)言差異，而更深層次的是文化差異. 數(shù)學(xué)本身就是一種文化，從文化角度出發(fā)，我國(guó)也存在地域文化差異. 若從中挖掘與數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容，合理融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，既可以拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，又能將數(shù)學(xué)教育與美育相連，實(shí)現(xiàn)情感、態(tài)度和價(jià)值觀的需求，使數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)從育智走向育人. 我國(guó)數(shù)學(xué)教育不公平現(xiàn)象主要源于城鎮(zhèn)、學(xué)校地區(qū)教育資源分配不公等. 但互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展為教育教學(xué)資源分配創(chuàng)造了新的切入口. 利用教育資源云平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教育資源的流通，還能打破時(shí)間和空間上對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的限制. 因此，加強(qiáng)平臺(tái)建設(shè)、創(chuàng)建數(shù)字化資源等理應(yīng)成為教育改革的重要任務(wù)之一.

實(shí)施公平教學(xué)應(yīng)該從我國(guó)實(shí)際國(guó)情出發(fā)，進(jìn)行本土化的頂層設(shè)計(jì). 實(shí)際上，國(guó)家層面近幾年已經(jīng)出臺(tái)了大量文件、政策來(lái)推動(dòng)教育公平進(jìn)程. 因此，更關(guān)鍵的是“落地”問(wèn)題，根本落腳點(diǎn)回到了數(shù)學(xué)本身，需要教師進(jìn)一步深度理解和挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提供了數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)、要求，以及教學(xué)、評(píng)價(jià)建議等. 在實(shí)際教學(xué)中，還需要結(jié)合學(xué)生的情況、教師自身的實(shí)際不斷細(xì)化. 公平意識(shí)應(yīng)該貫穿教師的整個(gè)教育教學(xué)過(guò)程，無(wú)論是數(shù)學(xué)內(nèi)容的解讀、教學(xué)任務(wù)的安排，還是教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)、學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，都要面向全體學(xué)生. 除了公平，追求成效亦是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，但兩者往往會(huì)出現(xiàn)矛盾和沖突，故而需要妥善處理好兩者之間的關(guān)系，力圖尋求兩者共同價(jià)值的最大化. 值得注意的是，追求教育教學(xué)公平絕不是教師這一單獨(dú)的群體，而需要整個(gè)教育事業(yè)共同體的努力，共同支持教師實(shí)施公平性教學(xué).

2. 強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與，使之真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人

學(xué)生的參與需要以興趣為引導(dǎo)，并關(guān)注學(xué)生的提問(wèn). 數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度較大，也使得大多數(shù)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生了畏難情緒. 實(shí)際上，數(shù)學(xué)是平易近人、富有趣味的. 數(shù)學(xué)教師的工作就是要把數(shù)學(xué)講活，深入淺出、舉重若輕地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì). 教師應(yīng)該充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，合理設(shè)置數(shù)學(xué)教學(xué)情境，既可以從數(shù)學(xué)史中采擷先輩的寶貴經(jīng)驗(yàn)作為背景，也可以從與學(xué)生密切相關(guān)的實(shí)際生活中尋找教學(xué)載體，力求教學(xué)情境真實(shí)、真誠(chéng)，從而引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)注與興趣，激活學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力. 教學(xué)過(guò)程中，還要發(fā)揮學(xué)生猜想和提問(wèn)的價(jià)值，給予及時(shí)的評(píng)價(jià)與反饋，并鼓勵(lì)學(xué)生合理質(zhì)疑，這有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和推理論證能力.

學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)要依托開(kāi)放式任務(wù)，扎根深刻的思考. 開(kāi)放式任務(wù)因其難度跨度大，可以滿(mǎn)足更多學(xué)生的需求，提高課堂上學(xué)生的共同參與度. 分層教學(xué)容易損害學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，造成不適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤歸因或固化心態(tài). 而在同一任務(wù)情境下，能相對(duì)減少這類(lèi)問(wèn)題的出現(xiàn)，使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歸屬感，主人翁意識(shí)得到強(qiáng)化. 開(kāi)放式任務(wù)有助于合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)對(duì)話(huà)的開(kāi)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在合作中得到積累，數(shù)學(xué)思維在表達(dá)中變得更加清晰，積極的交流也將加速信息的反饋流動(dòng)，為教師觀察學(xué)生、進(jìn)行及時(shí)性評(píng)價(jià)提供多維度的信息. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高度強(qiáng)調(diào)智力參與，故關(guān)注學(xué)生的獨(dú)立思考更應(yīng)該成為開(kāi)放式任務(wù)的核心與重點(diǎn). 教學(xué)過(guò)程中不能流于討論、合作形式上的熱鬧，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重視自身的深入思考. 因此，數(shù)學(xué)教育改革過(guò)程中要大力開(kāi)發(fā)有價(jià)值的開(kāi)放式任務(wù)，讓多種教學(xué)方式服務(wù)于學(xué)生的獨(dú)立思考.

3. 聚焦核心概念，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系的重構(gòu)

（1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要回歸概念，夯實(shí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力.

數(shù)學(xué)不是零散的知識(shí)點(diǎn)和大量公式定理的拼盤(pán)，而是具有聯(lián)系的一個(gè)整體. 核心概念具有串連數(shù)學(xué)知識(shí)的作用，在強(qiáng)調(diào)聯(lián)系的同時(shí)還會(huì)滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu). 聚焦核心概念，能為學(xué)生揭示知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，提供解決問(wèn)題的線(xiàn)索，便于知識(shí)的遷移. 現(xiàn)實(shí)教學(xué)中一個(gè)很大的問(wèn)題就是深陷題海戰(zhàn)術(shù)，這樣拘泥于一招一式的教學(xué)方式很難使學(xué)生獲得可持續(xù)發(fā)展，從而適應(yīng)未來(lái)社會(huì)的發(fā)展需求. 要想讓學(xué)生從繁重的練習(xí)中解脫出來(lái)，就需要回歸核心概念的教學(xué)，在加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)解讀的基礎(chǔ)上，不斷夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力.

（2）優(yōu)化教材價(jià)值，重構(gòu)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系.

教育數(shù)學(xué)是教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生火熱的思考，提高知識(shí)的接受度和思考的效率，從而讓數(shù)學(xué)化難為易. 聚焦核心概念和教育數(shù)學(xué)實(shí)則殊途同歸. 由于教材始終不可避免地不能與社會(huì)發(fā)展達(dá)成完全同步，就必然需要教師對(duì)教材進(jìn)行二次開(kāi)發(fā). 實(shí)際上，從核心概念出發(fā)，為數(shù)學(xué)的改造提供了一種技術(shù)手段，可以將數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)作為主線(xiàn)，通過(guò)研討、調(diào)查與實(shí)踐多方探索總結(jié)出核心概念與大觀點(diǎn)，完善數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系，使相對(duì)零散的扁平式學(xué)科知識(shí)向網(wǎng)狀立體式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變. 教師理解不同年級(jí)、不同模塊的核心概念，有助于了解學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么，將來(lái)學(xué)習(xí)什么，從數(shù)學(xué)內(nèi)部提供了對(duì)學(xué)生學(xué)情預(yù)測(cè)的視角.

4. 關(guān)注教師發(fā)展，提供支持并完善專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)體系

（1）優(yōu)化數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)體系，提供多方必要支持.

教育大計(jì)，教師為本. 牢牢把握教師這條改革路徑是提高教學(xué)質(zhì)量的必經(jīng)之路. 對(duì)此，可以參考美國(guó)在數(shù)學(xué)教師發(fā)展三個(gè)不同階段所考慮的重要因素中的可取之處. 要實(shí)現(xiàn)教育強(qiáng)國(guó)就需要教師改變自己傳統(tǒng)的教育觀點(diǎn)與認(rèn)識(shí)，積極發(fā)揮自身的主觀能動(dòng)性，樹(shù)立主動(dòng)尋求專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的意識(shí)，而不再是被動(dòng)地參與培訓(xùn). 建立教師專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，并為教師提供必要的保障，使得教師的專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)成為一個(gè)持續(xù)參與的過(guò)程.

（2）教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展過(guò)程中的學(xué)習(xí)內(nèi)容、形式等應(yīng)盡可能多元化.

學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)凝結(jié)先進(jìn)教育理論與數(shù)學(xué)學(xué)科認(rèn)識(shí)，要符合一線(xiàn)教師的需求，能真正落實(shí)于實(shí)際教學(xué)中，解決理論與使用場(chǎng)景不適配的問(wèn)題. 除此之外，專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)內(nèi)容還需要緊跟時(shí)代步伐. 信息化教學(xué)已然成為未來(lái)教育的趨勢(shì)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該掌握必備的信息化教學(xué)手段，提升信息素養(yǎng). 由于在職教師日常教學(xué)任務(wù)繁重，而且短期的講座式培訓(xùn)系統(tǒng)性不強(qiáng). 因此，應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)教研在教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展中的作用，不斷邁向常態(tài)化，并在此過(guò)程中完成個(gè)人反思和集體反思. 同時(shí)，借助互聯(lián)網(wǎng)優(yōu)勢(shì)，開(kāi)展線(xiàn)上專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)，并為高校數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家、科研人員與一線(xiàn)教師搭建及時(shí)溝通交流的橋梁，這將促進(jìn)理論與實(shí)踐的緊密聯(lián)系，使得每位數(shù)學(xué)教師向?qū)＜倚徒處熆繑n，提升數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍整體水平. 推動(dòng)師范生教育改革，做好教師質(zhì)量托底保障. 加大師范生的課程改革力度，幫助師范生積累扎實(shí)的面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并通過(guò)師范生與一線(xiàn)教師的聯(lián)動(dòng)，使得教育體系煥發(fā)新的活力與生機(jī).

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收稿日期：2022-07-13

作者簡(jiǎn)介：唐浩松（1998— ），男，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育和比較教育研究.