黃媛媛　劉梅梅

[摘? ? 要]模型思想是義務教育階段數(shù)學十大核心概念之一，是指建立和求解數(shù)學模型的方法和意識的總和，培養(yǎng)學生的模型思想，不僅有利于提高學生學習數(shù)學的興趣和問題解決的能力，還能夠提升學生的思維水平和應用意識。小學高年級的數(shù)學活動課程是滲透模型思想的一條有效路徑，但當前小學高年級數(shù)學活動課程滲透模型思想存在教師缺乏滲透模型思想的意識、教師重技巧而輕模型建構過程的問題。教師可以通過創(chuàng)設情境，初探數(shù)學模型;合作探究，建構數(shù)學模型;操作交流，深化模型意識;反思總結，遷移應用模型，有效地幫學生建立起模型思想。

[關鍵詞]小學高年級;活動課程;模型思想

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，要想學好數(shù)學需要掌握一定的數(shù)學思想和方法，模型思想、數(shù)學建模是近年來數(shù)學教學領域里比較熱門的話題，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）將模型思想列為義務教育階段數(shù)學十大核心概念之一，并明確指出“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑”，模型思想的滲透也有助于提高學生學習數(shù)學的興趣和應用意識。隨著數(shù)學與社會生活的聯(lián)系越來越緊密，數(shù)字化、信息化的發(fā)展都對數(shù)學思想方法產(chǎn)生了極大的影響，而作為基本數(shù)學思想之一的模型思想在數(shù)學教學中也將占據(jù)更為重要的位置。尤其是對于小學高年級的學生，隨著數(shù)學問題的復雜化，更需要培養(yǎng)模型思想來助力數(shù)學問題的解決。

一、模型思想的內涵及其在數(shù)學活動課程中滲透的意義

（一）模型思想的有關概念

1.數(shù)學模型

數(shù)學模型是運用數(shù)學語言和工具，對現(xiàn)實世界的一些信息進行適當簡化，經(jīng)過推理和運算，對相應的數(shù)據(jù)進行分析、預測、決策和控制，并且要經(jīng)過實踐檢驗的一種數(shù)學結構。廣義地說，數(shù)學模型包含各種基本概念和算法，包括方程、不等式、函數(shù)、結構性算法、圖形、圖表等;狹義地講，只有反應特定問題或特定具體事務系統(tǒng)的數(shù)學關系結構才叫作數(shù)學模型，比如人口模型、預測模型等。數(shù)學模型并不是一個很高大、深奧的概念，恰恰相反，它是幫助人們將復雜問題簡單化的工具，人們所熟知的運算定律、周長及面積公式等都是數(shù)學模型。

2.模型思想

模型思想是連接數(shù)學與外部世界的橋梁，它是一種較高層次的數(shù)學思想，是指建立和求解數(shù)學模型的方法和意識的總和。理解模型思想首先要將數(shù)學思想和數(shù)學方法區(qū)分開來，雖然很多時候數(shù)學思想方法都是作為一個整體的概念被提到，但是二者有著本質區(qū)別。數(shù)學方法強調的是探究問題的技能、技巧，是可以直接教給學生的。但是思想是一種本質的、理性的認識，是不能直接教給學生的，它是對知識和方法的抽象和概括，需要學生在數(shù)學學習的積累中去形成理性的認識。作為數(shù)學學習的一種基本的思想，模型思想在數(shù)學學習中具有十分重要的影響，同時作為一種解決問題的思路，對于學生未來生活也有重要的作用。

（二）小學高年級數(shù)學活動課程滲透模型思想的意義

1.對新課程改革的呼應

新課程改革相比于以往更關注學生的發(fā)展，隨著時代的進步和學生心理的發(fā)展，新課標在原來“雙基”的基礎上又提出了要發(fā)展學生的基本思想和基本活動經(jīng)驗，而《標準》把模型思想列為數(shù)學十大核心概念之一，足見模型思想的重要性。數(shù)學學習不是機械死板的，需要讓學生感悟數(shù)學思想，那么教師就應該在教學中有意識地引導學生通過問題的探究、實際操作等活動不斷培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，積累活動經(jīng)驗。因此，在新課程改革的背景下，模型思想作為三大基本數(shù)學思想之一，小學數(shù)學教師在教學中理應重視模型思想，并在此基礎上不斷推動基礎教育數(shù)學教學的發(fā)展和進步。

2.提高解決問題的能力

模型思想的作用在于幫助學生從解決一個問題到解決一類的問題，從而提高學生解決問題的能力。模型思想是較高層次的數(shù)學思想，也是最上位的數(shù)學思想，其中還包含優(yōu)化思想、量化思想、方程思想、隨機思想、統(tǒng)計思想等。每一種思想都代表著一類數(shù)學問題的解決思路，只要掌握了解決這類數(shù)學問題的核心思路，也就是建立了解決這類問題的模型，遇到類似的問題就可以運用模型來求解，問題的解決就容易了很多。尤其是在小學階段，數(shù)學模型的作用是不可估量的，它是幫助學生理解和抽象數(shù)學問題的非常重要的工具，持續(xù)影響著中學甚至大學階段的數(shù)學學習。如果不能夠很好地掌握基本的數(shù)學概念、公式、定律等，那么勢必也會影響學生的數(shù)感、符號意識甚至應用意識和創(chuàng)新意識的養(yǎng)成。并且數(shù)學問題需要深入思考，解決問題不是照搬模型，而是在模型的幫助下去思考問題，在這個過程中學生逐漸學會解決問題，逐漸提高解決問題的能力。

3.提高應用意識和思維水平

數(shù)學思想對一個人的影響是全面的、持續(xù)的，模型思想的養(yǎng)成不僅有利于數(shù)學問題的解決，其更深遠的影響是提高學生的應用意識和思維水平。數(shù)學作為一門工具性的學科，是能夠被運用到社會生活的各個領域的，生活中處處都隱藏著數(shù)學可以解決的問題，建立和求解模型的過程同樣可以用于解決生活中的數(shù)學問題。如優(yōu)化思想，學生在購物中常常會遇到選擇哪種物品更合適的問題，此時解決最優(yōu)問題的模型就能夠發(fā)揮作用。適當滲透模型思想有助于提升學生思維的抽象水平，鍛煉思維的深刻性、廣闊性和靈活性。學生通過數(shù)學建模解決問題需要準確地把握問題的本質，分清問題中的各種因素，從而確定數(shù)據(jù)、求解問題。這不是機械套用的過程，而是深思熟慮的過程，這個過程經(jīng)過了思維的不斷轉換，因此建立模型思想的過程本身也是思維水平提升的過程。

二、小學高年級數(shù)學活動課程滲透模型思想存在的問題

與普通的數(shù)學課程相比，數(shù)學活動課程的活動性、趣味性、思考性、實踐性和協(xié)作性都更強，更強調學生在活動中建構知識、提升思維、積累活動經(jīng)驗，一般設置在綜合與實踐板塊。這樣的課程更適合于注重建構過程的模型思想的滲透，但是在小學高年級課堂中，教師還存在著問題：在活動課程中缺乏了滲透模型思想的過程，沒有利用好活動課程這個良好的培養(yǎng)途徑。

（一）教師缺乏滲透模型思想的意識

模型思想從2001年在課標中首次出現(xiàn)，到2011年正式確立為數(shù)學的核心概念，發(fā)展到現(xiàn)在已經(jīng)20余年，但是大多數(shù)小學數(shù)學教師并沒有對模型思想給予足夠重視，認為模型思想過于復雜，在小學階段并不適用，甚至片面地認為是奧數(shù)學習的內容，所以在教學中普遍缺乏滲透模型思想的意識。實際上，小學階段的數(shù)學內容大部分都蘊含著模型思想，方程、公式、運算定律這些都是數(shù)學模型。但是在實踐中可以發(fā)現(xiàn)，許多教師沒有將公式、定律等與數(shù)學模型聯(lián)系起來，在教學中也不會刻意地強調滲透和培養(yǎng)學生的模型思想。同時，也有部分教師由于自己沒有掌握數(shù)學建模的方法，因而在教學中也不懂得如何滲透模型思想，教師的個人素質和能力制約著學生模型思想培養(yǎng)的環(huán)境創(chuàng)設。活動課程的內容通常都蘊含了重要的模型思想，如果教師沒有組織學生探究模型、感悟模型思想，那么活動課程的開展就失去了很大的價值。

（二）教師重技巧而輕模型建構過程

在應試教育的背景下，部分教師為了學生能夠得到更高的分數(shù)，往往更加注重傳授學生解題技巧和方法，但卻不關注學生是否理解方法的本質，忽視了學生知識建構的過程，這也是教師未能很好滲透模型思想的一個重要的原因。以乘法口訣的教學活動為例，很多教師在教學中側重于教學生怎么背乘法口訣，會組織學生通過“對口令”“找朋友”等活動反復記憶和訓練，實際上，編制乘法口訣的過程才是體現(xiàn)乘法的意義的過程，因為隨著加數(shù)的增加，加法的計算就變得越來越復雜，因此借助乘法來計算就會更簡單。每一句口訣代表什么意思是通過學生自己的探究過程得來的，而不是靠背下來的，所以很多學生存在乘法口訣記不牢或者反應很慢的問題，很大程度上是因為沒有掌握乘法口訣編制的要領、沒有理解乘法的意義，乘法的模型并沒有建立起來。因此，教師在教學中應該更關注的是學生建構模型的過程，只有學生掌握了模型的本質，才能夠更好地應用模型，形成模型思想。

三、小學高年級數(shù)學活動課程滲透模型思想的策略

小學高年級學生的認知水平處于具體運算向形式運算過渡的階段，基本具備了思維的完整性和邏輯性的體系，獨立探究能力顯著增強，語言表達能力和觀察感知能力也有了明顯提高，對于理解和運用數(shù)學模型有了更強的能力。隨著高年級數(shù)學學習內容的難度越來越大，結合活動課程來滲透模型思想，可以在一定程度上減緩學生對復雜數(shù)學問題的焦慮，讓學生在相對趣味和輕松的活動中發(fā)揮其主動性和探究能力。同時，由于學生抽象能力已經(jīng)發(fā)展到了更高的階段，因此更容易掌握建構數(shù)學模型的方法，并深刻感悟數(shù)學模型的作用和重要性。小學高年級數(shù)學活動課程一般分為以下幾個步驟：確定活動主題，創(chuàng)設情境——發(fā)現(xiàn)問題，提出問題——探索活動，解決問題——匯報交流，深入思考——評價激勵，遷移應用——反思總結。結合以上的步驟和數(shù)學建模的特點，在小學高年級數(shù)學活動課程中滲透模型思想可以從以下四方面入手：

（一）創(chuàng)設情境，初探數(shù)學模型

一般而言，在綜合與實踐板塊，教材會給出特定的問題情境，情境一定是與生活相關并且問題明確的。在北師版五年級上冊數(shù)學 《設計秋游方案》這一課中，教材呈現(xiàn)的情境是61名學生和教師去北京故宮和北海公園參觀，問題是買門票要多少錢？怎么安排時間更合理？這個情境涉及“秋游”，很容易引起學生的探究興趣，很多學生都有旅游、買票的經(jīng)驗，因此這個問題也足夠吸引學生。教師自主設計活動情境也需要注意聯(lián)系學生的生活實際，且問題是具有挑戰(zhàn)性但又不會太難的。將生活實際問題抽象成數(shù)學問題是問題解決非常重要的一步，也是體現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的關鍵之處，抽象的過程一定是學生自己經(jīng)歷的，而不是教師直接告訴學生的?！百I門票需要多少錢？”“怎么安排時間合理？”將這樣的生活問題抽象成數(shù)學問題需要學生確定變量及數(shù)學關系，學生要思考需要哪些變量、他們之間的關系如何？確定了數(shù)據(jù)和關系之后，學生就可以根據(jù)這些信息抽象出數(shù)學問題了，在頭腦中初步形成解決此類問題的模型。這個步驟是建立模型的第一步，也是讓學生思維打開的過程。

（二）合作探究，建構數(shù)學模型

合作學習是數(shù)學活動的重要表現(xiàn)形式，協(xié)同探究的過程不僅有助于學生發(fā)散思維，也有助于提高學生的積極性和合作能力。合作探究的過程需要留給學生足夠的發(fā)揮空間，教師不宜發(fā)出太多的指令和要求，否則學生所掌握的知識是不牢固的。數(shù)學建模的過程更強調學生的自主建構，其建構性具體表現(xiàn)在兩方面：一是學生需要自己尋找變量和關系式，用數(shù)學符號表示出來;二是解決一個問題可能不止有一個模型，學生需要自己去發(fā)現(xiàn)問題的多解性，并盡可能找出所有可以解決這個問題的模型。這個過程教師應該讓學生自己探索，合作探究就給了學生思考和探究的空間。以人教版五年級上冊“數(shù)學廣角”中“植樹問題”為例，學生通過初步探究可以發(fā)現(xiàn)“植樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”這個模型，但是這個模型真的能解決所有植樹問題嗎？通過這樣的問題引導學生深入思考問題的多樣性，探究各種不同條件的植樹問題。學生通過小組集思廣益會發(fā)現(xiàn)問題不只這么簡單，從而探究得到“一端栽一端不栽”“兩端都栽”“兩端都不栽”三種問題下的數(shù)學模型。

（三）操作交流，深化模型意識

活動課程強調“做中學”，將書本間接經(jīng)驗與操作所獲得的直接經(jīng)驗結合，能夠深化學生的知識學習，并且能讓學生真正感到力所能及，因此操作交流是活動課程必不可少的環(huán)節(jié)。一是在課堂中結合工具或者畫圖、設計等活動將模型外化出來，二是一定要用數(shù)學語言表達、解釋模型，經(jīng)歷交流的過程。在學生已經(jīng)建立了數(shù)學模型的基礎上，結合操作活動進一步加深對模型的認識，同時操作的過程也是一個驗證的過程。在交流活動中，學生可以輸出自己的觀點，獲得成就感，也能在別人的輸出中解決困惑，教師也可以在其中引導學生克服困難，在活動中深化模型意識。例如“植樹問題”通過實際操作是很容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律的，學生只需要畫一畫或者用小棒擺一擺便可知其建立的數(shù)學模型是否正確、是否完整，驗證其之前的想法。最后在教師的引導下說出自己的看法，將多種數(shù)學模型清晰地表達出來，師生互評，讓學生客觀地了解自己在活動中的表現(xiàn)，并向他人學習，通過“做與分享”的過程深化模型意識。

（四）反思總結，遷移應用模型

活動進行到最后還需要一個將探究得出的結論一般化的過程，目的是解決更多數(shù)學問題以及生活實際問題，這也是培養(yǎng)模型思想的目的所在?？偨Y是對活動目標的強化，也是學生積累活動經(jīng)驗的重要一環(huán)。學習新知最終是為了應用，一個新的數(shù)學模型的學習主要有兩個作用：一是用來解決同類的數(shù)學問題;二是用于解決生活實際問題。因此在總結經(jīng)驗之后需要及時練習、應用。如何將得到的數(shù)學模型一般化，需要學生聯(lián)系所學知識以及生活實際發(fā)散思維，如在“植樹問題”中得到的數(shù)學模型只能解決“植樹”問題嗎？答案顯然不是，把樹換成路燈、換成垃圾桶都是一個性質，最后再結合練習繼續(xù)讓學生的思維得到一次次地強化和提升，并且讓學生自己思考可以解決生活中哪些問題，不斷地鞏固學生所形成的模型意識。

參考文獻：

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[2]陳蕾.滲透模型思想的教學策略：以小學數(shù)學為例[J].上海教育科研，2018（10）.