摘要：數(shù)學教育的問題并不在于數(shù)學學習的最好方式是什么，而在于數(shù)學到底是什么，如果不正視數(shù)學的本質(zhì)問題，便解決不了關于教學上的爭議。基于簡單的文獻梳理，管窺邏輯主義、形式主義、直覺主義、經(jīng)驗主義、理性主義、社會建構(gòu)主義、數(shù)學文化本質(zhì)觀，以及當代的自然主義與物理主義等各種流派對數(shù)學本質(zhì)的認識。由此，結(jié)合新課標中的定位，得到啟示：數(shù)學是現(xiàn)實世界和人類心靈的產(chǎn)物;數(shù)學不是絕對的“真理”，只是可誤和發(fā)展著的“相對真理”;數(shù)學是一種人類特有的基于社會建構(gòu)而形成的文化;數(shù)學最核心的價值就在于引導并促進人們理性地認識并改造客觀世界。

關鍵詞：數(shù)學本質(zhì);數(shù)學哲學;數(shù)學文化;社會建構(gòu);理性精神

美國數(shù)學家、數(shù)學教育家赫斯認為：“數(shù)學教育的問題并不在于數(shù)學學習的最好方式是什么，而在于數(shù)學到底是什么，如果不正視數(shù)學的本質(zhì)問題，便解決不了關于教學上的爭議?！盤aul Ernest.數(shù)學教育哲學[M].齊建華，張松枝，譯.上海：上海教育出版社，1998：67。數(shù)學的本質(zhì)問題（數(shù)學是什么），是數(shù)學哲學研究中長期爭論不休的話題。本文嘗試基于簡單的文獻梳理，管窺各種流派對數(shù)學本質(zhì)的認識，并結(jié)合最新頒布的義務教育數(shù)學課程標準中的定位，淺談對“數(shù)學是什么”的思考，希望對讀者有所啟發(fā)。

一、 三種經(jīng)典數(shù)學觀的偉大貢獻與歷史局限

基于對數(shù)學本質(zhì)問題的不同解答而形成的傳統(tǒng)的三大數(shù)學流派，邏輯主義、形式主義和直覺主義分別代表著三種不同的數(shù)學哲學觀，代表人物分別有羅素、希爾伯特和克勞威爾。筆者查閱文獻，認為三種流派的觀點、主張并沒有嚴格的區(qū)分與界定。其區(qū)別與其說是對數(shù)學本質(zhì)的認識存在鮮明差異，不如說是對數(shù)學發(fā)展中起著決定作用的某些特征的尊崇與倡導不同而已。邏輯主義強調(diào)“數(shù)理即邏輯”，既是對數(shù)學的邏輯特性的深刻認識，又是對邏輯（集合論公理體系）的極度推崇。形式主義則是對數(shù)學進行形式化、符號化的極致表達，也是對建立數(shù)學“自系統(tǒng)”的理性化追求。直覺主義既有對數(shù)學真理的“神賦”的無比崇拜，也有對人為構(gòu)造的數(shù)學的執(zhí)著探求。三種數(shù)學哲學觀沒有本質(zhì)上的對錯之分，它們都在一定的歷史時期對社會的進步、科學的發(fā)展以及數(shù)學自身的繁榮與演化作出了偉大的貢獻，數(shù)學這座堅固而美麗的大廈不能缺少它們?nèi)魏我环N基石。但它們也不可避免地存在一定的歷史局限性，而這些局限性恰恰為數(shù)學后續(xù)的發(fā)展提供了探索出路或革新契機。

二、 經(jīng)驗主義與理性主義數(shù)學觀的相輔相成

哲學史上的一大爭論，就是所謂的“經(jīng)驗主義者”與“理性主義者”之間的爭論。羅素.哲學問題[M].何兆武，譯.北京：商務印書館，2007：59。經(jīng)驗主義數(shù)學哲學的核心觀點包括：強調(diào)數(shù)學是人類的實踐活動;數(shù)學對象是可靠的經(jīng)驗創(chuàng)造的客觀事實;數(shù)學實在通過經(jīng)驗加以認識;數(shù)學命題是經(jīng)驗的一般化，是直接經(jīng)驗的歸納。而理性主義數(shù)學觀一般認為：“數(shù)學的形成與發(fā)展依賴高度的邏輯化與形式化，數(shù)學在本質(zhì)上是觀念科學。數(shù)學的研究結(jié)論是自足的，不需要經(jīng)驗世界來證明。自然科學理論是否成立需要實驗與觀察事實的支持，而數(shù)學就不一樣，無論是否有現(xiàn)實基礎，只要邏輯推論沒有錯誤，就具有一定的合理性。也就是說，數(shù)學是純粹思維的產(chǎn)物。對數(shù)學的真理性而言，最重要的不是符合現(xiàn)實，而是邏輯自洽;最關鍵的也不在于實用性能，而是思維理性。”岳欣云，董宏建.數(shù)學教育“生活化”還是“數(shù)學化”——基于數(shù)學教育哲學的思考[J].教育學報，2017（3）：4147。這里主要注意的是，理性主義是一種哲學的觀念，和通常所說的理性精神并不等同。

重視與強調(diào)數(shù)學經(jīng)驗的聲音從古至今從未被淹沒：從古埃及、古巴比倫的先哲到亞里士多德、穆勒，再到萊曼、赫什，從霍布斯的懷疑論的經(jīng)驗主義到洛克對知性的批判，以及貝克萊和休謨的延續(xù)，盡管有時頻發(fā)強音，有時相對微弱，但其哲學的光芒一直在閃爍。而始于笛卡兒的理性主義路線，經(jīng)過馬勒伯朗士、斯賓諾莎、萊布尼茲和沃爾夫?qū)W派，直到康德這個轉(zhuǎn)折點，發(fā)展成為一些宏大的思想體系胡塞爾.歐洲的科學危機與超越論的現(xiàn)象學[M].王炳文，譯.北京：商務印書館，2001：109。，并成為近代以來西方比較尊崇的一種數(shù)學哲學觀。筆者認為，將經(jīng)驗主義與理性主義對立是不可取的。沒有哪一種傾向經(jīng)驗的能夠站得住腳的認識是毫無理性可言的，同時也不存在具有超越一切經(jīng)驗效力的理性主義的東西。經(jīng)驗主義本身就是理性的思考，理性主義也從來都承認數(shù)學起源于現(xiàn)實生活需要。二者只能是相互促進、相輔相成。

三、 社會建構(gòu)主義數(shù)學觀與數(shù)學文化本質(zhì)觀的相通相融

社會建構(gòu)主義者將數(shù)學視作社會建構(gòu)的產(chǎn)物，認為人類的知識、規(guī)則和約定對數(shù)學真理的確定和判定起著關鍵作用。數(shù)學是在一定的社會文化背景下不斷發(fā)展變化、不斷修正的知識觀念。以歐內(nèi)斯特為代表的社會建構(gòu)主義者的數(shù)學觀打破了“數(shù)學是可靠性知識”的神話。數(shù)學知識不再具有一種內(nèi)在的、永恒的、單純抽象的“本質(zhì)”，而是一種在特定歷史框架中的建構(gòu)，蘊含深刻的人性價值。這種新的數(shù)學觀對數(shù)學教育具有深遠的意義。從本質(zhì)上看，歐內(nèi)斯特等人的數(shù)學教育哲學屬于可誤主義數(shù)學觀、大眾數(shù)學教育哲學觀，是同我們努力倡導的數(shù)學素質(zhì)教育理論相合拍的。齊建華.數(shù)學教育的哲學思考——我譯《數(shù)學教育哲學》[J].河南教育學院學報（自然科學版），1999（1）：1215。

與之款曲相通，都強調(diào)人文背景與動態(tài)發(fā)展的，是美國著名的應用數(shù)學家、數(shù)學教育家、數(shù)學史家和數(shù)學哲學家莫里斯·克萊因倡導的數(shù)學文化本質(zhì)觀?？巳R因的《古今數(shù)學思想》《西方文化中的數(shù)學》《數(shù)學：確定性的喪失》等著作已成為數(shù)學研究者和數(shù)學教育者學習的經(jīng)典，在學術界產(chǎn)生了深遠的影響。特別是他關于“數(shù)學精神”的論述，指引著眾多數(shù)學教育者孜孜不倦地探索數(shù)學的育人價值?？巳R因?qū)⑵鋽?shù)學史觀作為數(shù)學哲學的出發(fā)點，對數(shù)學基礎問題、數(shù)學本體論問題、數(shù)學真理性問題、數(shù)學文化等一系列數(shù)學哲學基礎進行了深入研究，形成了較為完整的數(shù)學文化哲學觀。

在數(shù)學史觀方面，克萊因認為，“數(shù)學家的思想應該是數(shù)學史的核心，因為它是數(shù)學課題的主要的、真正富有活力的、反映數(shù)學本來面目的組成部分”莫里斯·克萊因.古今數(shù)學思想（第二冊）[M].張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海：上?？茖W技術出版社，2001：285。。其數(shù)學史著作《古今數(shù)學思想》被評論為：“就數(shù)學史而言，這是迄今為止最好的一本?！雹堍茛?莫里斯·克萊因.西方文化中的數(shù)學[M].張祖貴，譯.北京：商務印書館，2013：譯者前言7，10，431，25。

關于數(shù)學本體論，克萊因認為，數(shù)學命題是按照一定的法則組成的符號系列，數(shù)學家有創(chuàng)造數(shù)學結(jié)構(gòu)的自由。他對實在論，即數(shù)學的研究對象是一種獨立于人類認識的客觀存在的觀點持明確的反對態(tài)度。他認為，數(shù)學是與自然界里的概念和法則全然不同的;數(shù)學具有一定程度的人為性;數(shù)學能夠引進并研究一些相當任意的概念和理念，它們或者像四元數(shù)那樣沒有直接的物理解釋，但卻是有用的，或者像n維空間幾何那樣，滿足一種普遍性的要求;數(shù)學與其他領域的區(qū)別在于它自由地創(chuàng)造自己的概念，而無須顧及是否實際存在。④“數(shù)學確乎是人造的、易犯錯誤的思想的產(chǎn)物，而不是獨立于人的永恒世界中的東西;數(shù)學并不是建立在客觀現(xiàn)實基礎上的一座鋼筋結(jié)構(gòu)，而是人在思想領域中進行特別探索時，與人的玄想連在一起的蜘蛛網(wǎng)?！雹?/p>

除了對數(shù)學本體論與數(shù)學真理性的探討，克萊因?qū)?shù)學文化的洞徹分析，與對數(shù)學思想史梳理的鴻篇巨制一樣令人震撼。他認為，數(shù)學是人類最偉大和最富理性的藝術。在人類文明中，數(shù)學如果脫離了其豐富的文化基礎，就會被簡化成一系列的技巧，其形象也就完全被歪曲了。數(shù)學文化應該包括兩個方面：一方面是作為人類文化子系統(tǒng)的數(shù)學文化，所涉及的是數(shù)學與其他文化、與整個文明的關系;另一方面就是數(shù)學本身作為一個文化系統(tǒng)，包含它的發(fā)生、發(fā)展及其結(jié)構(gòu)。⑥

20世紀著名拓撲學家懷爾德提出：“數(shù)學是一種不斷進化的子文化體系?！眲Ⅸi飛，徐乃楠，王濤.懷爾德的數(shù)學文化研究[M].北京：清華大學出版社，2021：8。我國學者南京大學鄭毓信教授多年從事數(shù)學哲學研究，其學術著作以及哲學思想引領國內(nèi)數(shù)學教育及數(shù)學哲學的研究。鄭教授也曾提出，數(shù)學是相對獨立的文化系統(tǒng)，而且是整個人類文化的一個子系統(tǒng)。數(shù)學是模式的科學，數(shù)學家通過模式的建構(gòu)并以此為直接對象來從事客觀世界量的規(guī)律性研究。鄭毓信.數(shù)學教育哲學[M].成都：四川教育出版社，2001：228229。

四、 當代的自然主義與物理主義數(shù)學觀

以蒯因為主要倡導者的自然主義與物理主義，是當代英美哲學界較為推崇的哲學理論。我國學者在這方面的學術研究成果相對較少。首都師范大學葉峰教授應該是國內(nèi)將數(shù)學哲學研究建立在自然主義與物理主義基礎上的探索者和引領者。在《為什么相信自然主義與物理主義》一文中，葉教授詳細論述了當代對自然主義與物理主義的認識。自然主義與物理主義者一般認為，科學方法是認識事物最可靠的方法，沒有優(yōu)于科學方法的其他方法。人類自身是自然事物，是生物系統(tǒng)，是生物進化與個體發(fā)育的結(jié)果;人類的認知過程也是自然過程，即大腦中的神經(jīng)元活動及其與環(huán)境相互作用的過程。心智具有大腦中的神經(jīng)元網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)等廣義的物理屬性——心理學最終要走向神經(jīng)科學。他們堅定地反對那些預設了靈魂、先驗自我（transcendental ego）、意識之流（stream of consciousness）、絕對精神等超自然的事物或立場。③ 葉峰.從數(shù)學哲學到物理主義[M].北京：華夏出版社，2016：281345，139。

葉教授基于自然主義和物理主義的認識，探討了“數(shù)學真理是什么”，但是對于數(shù)學本質(zhì)和數(shù)學真理，沒有給出具體而明確的結(jié)論。在《數(shù)學真理是什么》一文中，葉教授言明：“本文的目的是簡要介紹歷史上哲學家對數(shù)學真理本質(zhì)的思考，考察它們是否提供了對這個問題的答案。”對于從恩格斯、康德到弗雷格、哥德爾等對數(shù)學真理的定位，葉教授都提出了質(zhì)疑，并做了啟發(fā)性意義的探討。更難能可貴的是，葉教授澄清了數(shù)學哲學中最關鍵的難題，即數(shù)學實踐主體（也就是認知主體）到底是什么，主體能不能認識抽象數(shù)學（尤其是實無窮抽象數(shù)學）對象的真實性。認知主體最終是一個復雜的物理系統(tǒng)，而認知過程也最終是一個物理過程。物理主義框架下的數(shù)學哲學，是唯名論的、嚴格有窮主義的數(shù)學哲學。③

五、 新課標對“數(shù)學是什么”的定位

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在第一部分“課程性質(zhì)”中，以恩格斯對數(shù)學的定義開宗明義地對義務教育階段“數(shù)學”的概念做了清晰的界定：“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學?！本o接著，就對數(shù)學的本質(zhì)構(gòu)成（研究使命）做了進一步闡述：“數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數(shù)學的研究對象及其關系;基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學的結(jié)論和方法，幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關系和規(guī)律。”數(shù)學的研究使命是什么呢？抽象地認識、理解和表達現(xiàn)實世界。認識、理解和表達現(xiàn)實世界的哪些方面呢？本質(zhì)、關系和規(guī)律。以什么方法進行呢？抽象的、推理的、模型的方法。新課標在這一段中，還對數(shù)學的價值、意義與作用做了簡明的分析：“數(shù)學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數(shù)學是自然科學的重要基礎，在社會科學中發(fā)揮著越來越重要的作用，數(shù)學的應用滲透到現(xiàn)代社會的各個方面，直接為社會創(chuàng)造價值，推動社會生產(chǎn)力的發(fā)展。”數(shù)學既具有思維工具價值，又具有人文思想價值，更有著發(fā)展創(chuàng)造價值。

六、 對“數(shù)學是什么”的思考

中小學數(shù)學教師的數(shù)學觀，無疑會直接影響數(shù)學教學行為，同時會間接影響學生數(shù)學觀念的形成。下面，基于上述“數(shù)學觀”，闡述筆者對“數(shù)學是什么”的思考，希望對數(shù)學教育同行有所助益。

數(shù)學是什么？數(shù)學是現(xiàn)實世界和人類心靈的產(chǎn)物。義務教育階段的數(shù)學學科研究的是數(shù)量關系和空間形式，盡管現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展早已遠非“數(shù)量關系和空間形式”所能涵蓋，但是它畢竟是數(shù)學最強大的基石和主干。數(shù)學研究（學習）是人腦的認知實踐，是神經(jīng)元的活動，是心智的一種抽象的、靈活的、神奇的功能，其內(nèi)生動力，既有好奇心和求知欲的吸引和驅(qū)使，也有對“用”和“美”的追求。

同時，不能把數(shù)學的地位拔高到如柏拉圖主義者們所認為的“數(shù)學是真實存在的獨立于物質(zhì)世界與我們心靈的抽象實體”。物質(zhì)世界里沒有獨立于物質(zhì)世界的存在。人類是經(jīng)過自然選擇的物質(zhì)世界的一部分，是一個進化的解決方案。不可能存在獨立于物質(zhì)世界的“數(shù)學實在”。所謂的“心靈”，只不過是人腦的機能，是心智器官組成的系統(tǒng)。數(shù)學是人腦的產(chǎn)物，是心智器官的一種“計算”，不可能存在一個獨立于“心靈”之外的數(shù)學的靈異世界。

數(shù)學是什么？并不是絕對的“真理”，哪怕是康德加了限定的“先天的綜合真理”也是值得商榷的。數(shù)學發(fā)展史上，大浪淘沙地過濾掉了多少曾經(jīng)的“真理”？今人發(fā)現(xiàn)的“真理”，孰能料想后人會如何作出揚棄？今人認為的“常識”，又怎么知道前人經(jīng)過了怎樣的磨難和探索方才“頓悟”？前人奉若神明的“真理”，又怎可想見今人如此“理所當然”地視之？即使是我們今天看來無可驗證的“真理”，又怎能確定未來依然是“先驗”？誰能百分之百地確定那些“先驗”，即使如康德所說的“完全不依賴任何經(jīng)驗所發(fā)生的知識”康德.純粹理性批判[M].鄧曉芒，譯.北京：人民出版社，2004：B3。也一定沒有經(jīng)歷過人類成百上千年的不可計數(shù)的“經(jīng)驗”智慧的累積？

數(shù)學教師千萬不可給數(shù)學戴上至高無上的皇冠，雖然這有可能讓學生對數(shù)學心生景仰與崇拜。數(shù)學只是可誤和發(fā)展著的“相對真理”。同時，只是人類社會的一個組成元素，且是人類生存與繁衍中不可或缺的追求與探索。數(shù)學不是某一類人或某一階級的標簽，而是人人都可擁有、人人皆可應用的工具。數(shù)學能力的好壞絕不是人的“優(yōu)劣”的證明，教師切不可心生“丑陋”思想——就如柏拉圖在《法律篇》中所言，“不知道數(shù)學的基本應用是荒唐而無恥的，更多的是豬的而非人類的特征”歐文·埃爾加·米勒.柏拉圖哲學中的數(shù)學[M].覃方明，譯.杭州：浙江大學出版社，2017：4。。

數(shù)學是什么？邏輯主義、形式主義和直覺主義都只是數(shù)學大廈堅固無比的基石，但絕不是數(shù)學的全部。過分糾纏于它們中的任何一種，都只能越走越狹窄，難以見到光明。認為數(shù)學是純粹的實踐經(jīng)驗或純粹的思維理性或純粹的符號分析、語言約定等都不可取。數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展進程與人類社會的進步歷程同步同行，作為科學的數(shù)學這座宏偉的大廈亦是在人類智慧創(chuàng)造的基石上搭建起來，在悠遠的歷史長河中不斷地添磚加瓦，不斷地革新再生，逐漸地建構(gòu)起來，并將繼續(xù)遵從人類社會的建構(gòu)發(fā)展下去的。雖然數(shù)學是社會建構(gòu)的，但是數(shù)學的價值不限于社會意義，不能單純地將數(shù)學的作用狹隘地指向服務社會生活。

數(shù)學是什么？數(shù)學的知識、數(shù)學的思想以及數(shù)學的文獻、數(shù)學的活動、數(shù)學的應用等，都毫無例外地具備文化的屬性，數(shù)學的價值與意義也就是數(shù)學作為文化的價值與意義。數(shù)學的本質(zhì)是一種文化，一種人類特有的基于社會建構(gòu)而形成的文化。這一文化最核心的價值就在于引導并促進人們理性地認識并改造客觀世界。也可以說，最能體現(xiàn)數(shù)學對于人類發(fā)展的價值的，就是其永遠閃爍的“理性精神”的光芒。數(shù)學因理性而“解放”（“自由”）和“有力”（“強大”）（張景中語）。

七、 結(jié)語

數(shù)學教師若要教好數(shù)學，就要真正認識數(shù)學。對數(shù)學哲學的學習與探究應該伴隨教師教育職業(yè)生涯甚至終身。盡管這一過程是艱難的，但也是幸福的。筆者一段時間以來粗略地閱讀了一些哲學書籍，真切地感受到每一種數(shù)學哲學觀點都有其偉大且令人著迷之處。但令筆者困惑的是，每一種論述似乎又都不完美，或多或少地讓人覺得有所偏頗或遺憾。也許，產(chǎn)生這種想法的原因只是筆者并沒有真正深入地研究和理解這些觀點及理念，是自身學識和素養(yǎng)限制了思考，也限制了發(fā)現(xiàn)真理的能力。但是，如果有誰認為某一種觀點就是“永恒的真理”，這豈不更為荒謬。筆者猜想，可以用一種發(fā)展的、全面的、綜合的數(shù)學哲學觀，而不是靜止的、片面的、對立的數(shù)學哲學觀來認識上述“真理性”問題。如，我們可以充滿理想地認為，數(shù)學的“真理”是不斷發(fā)展變化著的“綜合真理”。作為人類智能核心成分之一的數(shù)學發(fā)展，是時刻伴隨著“經(jīng)驗”的，是一代一代、幾百萬年幾千萬年自然選擇的結(jié)果。而作為當下個體或群體的數(shù)學，則是“超驗”的。其在運用時，又必然地符合“分析真理”和“邏輯真理”……當然，我們也可以詩意地去描述數(shù)學“真理”：也許數(shù)學之“真理”——萌發(fā)于現(xiàn)實物質(zhì)“世界”，形成于感知抽象“世界”，創(chuàng)造于文化語言“世界”，應用于社會生活“世界”，遨游于自由哲學“世界”，棲息于美妙心靈“世界”，幻化于浩瀚自然“世界”。這難道不是數(shù)學與數(shù)學教育令人心動的理由嗎？還是“盲人摸象”的比喻最為經(jīng)典：站在不同的位置，每個人都有可能發(fā)現(xiàn)部分的真理，但是綜合起來，才能得到完整的認識。

盡管上述思考是極為稚嫩的，真正有著執(zhí)著信仰和追求的數(shù)學家、數(shù)學哲學家和數(shù)學教育家可能對本文荒謬的論述嗤之以鼻，或認為只是“大雜燴”“和稀泥”，但是，筆者依然認為這種思考是必要的，尤其是對于中小學教師來說：即使我們沒有掌握“真理”，致力于探索和發(fā)現(xiàn)真理的努力依然值得肯定，因為探索本身最可貴。（鄭義富，廣東省中山市西區(qū)中心小學校長。特級教師，正高級教師。廣東省名校長工作室主持人，廣東省中小學校長培訓中心兼職教授，華南師范大學教育科學學院博士生，華南師范大學碩士研究生導師，“國培計劃”專家?guī)鞂＜页蓡T。）