【摘 要】立體幾何的教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生在直觀感知、操作確認(rèn)中發(fā)展空間想象能力，在度量計(jì)算、推理論證中提升邏輯抽象能力。以GeoGebra為平臺的立體幾何教學(xué)，可以創(chuàng)設(shè)情境，為概念理解提供直觀;變換視角，為問題解決尋求路徑;聯(lián)系推理，為規(guī)律論證啟發(fā)思路;交流分享，為自主學(xué)習(xí)創(chuàng)造機(jī)會。

【關(guān)鍵詞】立體幾何;GeoGebra;數(shù)學(xué)教學(xué);直觀想象;邏輯抽象

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）27-0015-04

【作者簡介】張加紅，江蘇省常州市田家炳高級中學(xué)（江蘇常州，213001）教師，高級教師，江蘇省首屆師德模范，江蘇省“五一勞動獎?wù)隆鲍@得者。

立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的，雖然三維世界更貼近生活實(shí)際，但囿于空間想象力和表達(dá)手段的欠缺，尤其是空間圖形的平面表達(dá)（直觀圖）的制約，立體幾何一直是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的難點(diǎn)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生學(xué)會“運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念”[1]，這就需要發(fā)揮信息技術(shù)的動態(tài)可視化特性。

作為一款專為教與學(xué)而設(shè)計(jì)的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，GeoGebra內(nèi)嵌計(jì)算代數(shù)系統(tǒng)和指令輸入方式，可以對幾何對象進(jìn)行直接代數(shù)化處理，使數(shù)學(xué)教學(xué)更為方便快捷，從而實(shí)現(xiàn)“形”（Geometry）與“數(shù)”（Algebra）的完美融合，可以說“懂得GeoGebra，她就給你獨(dú)到眼光，讓你洞悉數(shù)學(xué)世界”[2]。

對應(yīng)立體幾何的教與學(xué)，GeoGebra有專門的 3D Graphics繪圖區(qū)。在這一繪圖區(qū)，我們可以構(gòu)建逼真的三維幾何體，并呈現(xiàn)不同視角下的線面位置關(guān)系（在幾何體旋轉(zhuǎn)滾動的過程中，線面自動虛實(shí)切換），構(gòu)建“多元聯(lián)系表征”的立體數(shù)學(xué)情境，并且可以突破表象的制約深入學(xué)科內(nèi)部洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)從直觀形象到邏輯抽象的升級。

本文以GeoGebra為平臺，通過具體的教學(xué)案例呈現(xiàn)從“形”到“數(shù)”的探索，從而破解立體幾何教學(xué)難點(diǎn)，提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，為概念理解提供直觀

數(shù)學(xué)本質(zhì)上是對概念的理解和運(yùn)用，立體幾何中也有很多概念，但這些概念多是以柱、錐、臺、球等空間幾何體為載體而生成的。因此，“通過豐富的實(shí)物模型或利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生認(rèn)識它們的結(jié)構(gòu)特征”成為我們的重要任務(wù)。

如教學(xué)異面直線的概念時(shí)，可以以圖1中正方體ABCD-A1B1C1D1（P為BB1的中點(diǎn)）為載體，展示棱之間的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相交、平行之外的另外一種關(guān)系——異面;辨析D1P、DB間的位置關(guān)系，可提煉出異面直線的概念（不同時(shí)處在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）。以空間圖形為背景來學(xué)習(xí)概念，因有具體的樣例支持而容易被學(xué)生接受。但這樣的教學(xué)也可能會因視覺受限而造成學(xué)生的思維障礙，如圖1中很多學(xué)生會誤以為D1P和AB相交。此時(shí)，教師可以利用GeoGebra創(chuàng)設(shè)更加直觀的情境，拖曳改變正方體的位置（見圖2），避免因視角受限而導(dǎo)致的錯(cuò)誤理解。因此，立體幾何需要的是動態(tài)的直觀背景，以突破“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的視覺障礙。在此基礎(chǔ)上，對平面D1CP的認(rèn)識應(yīng)突破三角形的限制，也不限于等腰梯形D1CPF，而應(yīng)在整個(gè)平面內(nèi)構(gòu)造平面D1CP與平面ABCD的交線——延長D1P、DB相交于點(diǎn)Q，QC即為兩平面的交線。

立體幾何的學(xué)習(xí)離不開圖形，考慮到空間圖形平面表示（直觀圖）的局限性，用信息技術(shù)來描述問題、理解概念、解決問題便顯得尤為重要。GeoGebra 3D Graphics繪圖區(qū)就是為立體幾何教學(xué)量身定制的軟件平臺，通過它能構(gòu)建動態(tài)的直觀情境，不僅為概念生成提供豐富的樣例，更為概念理解提供想象空間。而空間觀念正是在這樣的“可視化”感知中得以落實(shí)，從而真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生解決問題的能力。

二、變換視角，為問題解決尋求路徑

數(shù)學(xué)學(xué)科中，沒有方法就沒法解題，如何掌握數(shù)學(xué)解題的方法？張景中院士提出教育數(shù)學(xué)三原理，即“在學(xué)生頭腦里找概念，從概念里產(chǎn)生方法，方法要形成模式”[3]。對立體幾何的教學(xué)亦是如此，概念要能迅速轉(zhuǎn)化為方法，需要讓學(xué)生認(rèn)識到問題的全貌，從而從整體上認(rèn)識問題，在比較中找到最合理、最簡捷的解題路徑。

例1（線面的位置關(guān)系判定）：如圖3，三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分別為棱A1A、A1C1、B1B的中點(diǎn)，試判斷直線EF與平面BCD的位置關(guān)系。

對照線面相交、線面平行的概念，判斷直線EF與平面BCD的位置關(guān)系的關(guān)鍵在于“在平面BCD內(nèi)找到一條直線l與EF平行或相交”，而直線l與EF構(gòu)成了另一平面α，因此解題的方向在于構(gòu)造平面α。于是便有了圖4所示的解題路徑，構(gòu)造平面BFE，與CD交于點(diǎn)M，因?yàn)镋M∥FB且EM≠FB，可知EF與MB相交，這樣就可以說明直線EF與平面BCD相交。

不同的視角下，線面可能“呈現(xiàn)”不一樣的關(guān)系，因此變換視角的目的首先就是要破除可能有的圖形“欺騙”效應(yīng);同時(shí)轉(zhuǎn)變問題解決的思路，從概念出發(fā)反向思考，借助GeoGebra的表征優(yōu)勢，讓MB顯而易見。這樣，解題過程從直觀走向抽象，在圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。

三、聯(lián)系推理，為規(guī)律論證啟發(fā)思路

立體幾何的學(xué)習(xí)離不開圖，基本方法是“直觀感知（識圖）—操作確認(rèn)（畫圖）—度量計(jì)算（算圖）—思辨論證（證圖）”。一方面我們需要形成一些基本模型方便識別套用（如三垂線定理）;另一方面更需要形成一些問題解決觀念（如空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題），將低維的問題升格到高維的視角，形成一般的方法和統(tǒng)一的思路。

例2：如圖5，正四面體A-BCF和正四棱錐A-BCDE棱長均相等，求證：AF∥面BCDE。

這個(gè)問題其實(shí)就是1982年美國數(shù)學(xué)學(xué)會遇到的丹尼爾模型，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。[4]考慮到O點(diǎn)為正四棱錐底面的中心，于是構(gòu)造平面OAF（與DE、BC的交點(diǎn)分別為P、Q），可知△APQ、△QAF為全等的等腰三角形，則不難證明AFQP為平行四邊形，這樣問題便可解決。

邏輯推理是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，立體幾何則是發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要載體。我們的教學(xué)目標(biāo)并不是要建立結(jié)構(gòu)完善、邏輯嚴(yán)密的立體幾何知識體系，而是引導(dǎo)學(xué)生在不斷深化對空間圖形的認(rèn)識的過程中，通過類比、轉(zhuǎn)化等方法，發(fā)現(xiàn)和提出研究立體圖形位置關(guān)系的問題，實(shí)現(xiàn)由表及里、從定性到定量的深化，從而學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考數(shù)學(xué)問題。

四、交流分享，為自主學(xué)習(xí)創(chuàng)造機(jī)會

GeoGebra可以為立體幾何的教學(xué)營造一個(gè)“探索數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)”的真實(shí)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生不再僅僅向書本、向老師學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更可以向技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。例如，將圖5所示的情境上傳至GeoGebra鏡像網(wǎng)站，學(xué)生可在任何終端訪問https：//ggb123.cn/m/fw52baqx后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作（無須下載安裝軟件）。

事實(shí)上，教育技術(shù)融合應(yīng)用下的數(shù)學(xué)課堂，可以改變傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，學(xué)生從以往的聽眾變成了積極的參與者，真正成為課堂的主體。學(xué)生在教師引導(dǎo)下進(jìn)行“再創(chuàng)造”，使其對數(shù)學(xué)有更深刻的認(rèn)識，產(chǎn)生更強(qiáng)烈的求知欲，也進(jìn)一步提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

例3：從任意三角形的內(nèi)切圓到任意四面體的內(nèi)切球。

空間中的任意四面體可以類比平面中的任意三角形，既然任意三角形有內(nèi)切圓，那么任意四面體就自然有內(nèi)切球。面對學(xué)生“如何構(gòu)造任意四面體的內(nèi)切球”的追問，筆者并沒有直接回答問題，而是啟發(fā)他們運(yùn)用類比的思路嘗試解決。

第一，用等積法計(jì)算半徑。S△ABC = S△OAB + S△OBC + S△OCA ? r = [2SAB+BC+CA] ，于是四面體中也有類似的計(jì)算，由VP-ABC =VM-ABC +? VM-PAB + VM-PBC + VM-PCA ，得R = [3VS1+S2+S3+S4]。

第二，以角平分面確定球心。三角形有三條角平分線，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓圓心;類似的，四面體有四個(gè)（二面）角平分面，于是可猜想角平分面的交點(diǎn)即為內(nèi)切球的球心。這樣的猜想可以通過GeoGebra得到證實(shí)（先后輸入下列4個(gè)指令便可完成球心M的構(gòu)造）：

l=平面（旋轉(zhuǎn)（A，角度（平面（A，B，C），平面（P，B，C））/2，直線（B，C）），B，C）;

m=平面（旋轉(zhuǎn)（B，角度（平面（B，C，A），平面（P，C，A））/2，直線（C，A）），C，A）;

n=平面（旋轉(zhuǎn)（C，角度（平面（C，A，B），平面（P，A，B））/2，直線（A，B）），A，B）;

M=交點(diǎn)（相交路徑（m，l），相交路徑（m，n））。

毫無疑問，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深刻影響。于是，發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢、推進(jìn)新技術(shù)與教育教學(xué)的深度融合理應(yīng)成為當(dāng)前教育教學(xué)改革的重要課題。一方面我們需要讓技術(shù)賦能，在常態(tài)化應(yīng)用中創(chuàng)新模式，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的過程，既“看到”背后的“數(shù)據(jù)”更“看透”其中的數(shù)學(xué)“內(nèi)容”，而數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的語言、數(shù)學(xué)的思維恰可蘊(yùn)含其中;另一方面，更要發(fā)揮技術(shù)的教育價(jià)值，從具體的教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，研究學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)和技術(shù)優(yōu)勢，因?yàn)槲ㄓ袑夹g(shù)應(yīng)用的創(chuàng)造性理解才有課堂教學(xué)的“游刃有余”。誠如《荀子》所言，“道阻且長，行則將至;行而不輟，未來可期”，我們因“心向往之”而扎根課堂，不懈前行。

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：27.

[2]張志勇.高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（7）：21-24，28.

[3]張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：5.

[4]李錦昱.丹尼爾·剪拼題·空間想象能力[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005（5）：48-49.