紀應華

[摘 要]基于“1+x”的課程，通過趣味性拓展、動態(tài)性拓展以及文化性拓展，能激發(fā)學生研究熱情，提升學生數(shù)學認知，深化學生對數(shù)學知識技能、思想方法與文化精神的體認。其中，“1”是單一性的，而“x”是多元性的，通過“1+x”可以提升學生的數(shù)學學習力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

[關鍵詞]小學數(shù)學;拓展性學習;課程實踐

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）23-0046-02

近年來，小學數(shù)學課程開發(fā)正逐步成為數(shù)學教學的研究熱點。拓展性課程的實施，摒棄了傳統(tǒng)數(shù)學教學“繁難偏舊”的奧數(shù)化趨勢，代之而起的是靈動化、多樣化、綜合化的數(shù)學學習新樣態(tài)。拓展性學習具有趣味性、動態(tài)性和文化性等特質。作為教師，可以基于“1+x”的課程實踐視角，引導學生對數(shù)學知識、技能、方法和思想等進行有效性拓展。其中，“1”是教材中的基本數(shù)學知識，“x”是基于教材又超越教材的拓展性內容。顯然，“1”是單一性的，而“x”是多元性的。富含趣味性、動態(tài)性和文化性的拓展性學習，可以提升學生的數(shù)學學習力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、趣味性拓展：激發(fā)研究激情

長期以來，學生的數(shù)學學習往往容易出現(xiàn)兩種傾向：一是學習的簡單化傾向，二是學習的繁難化傾向。學習的簡單化傾向主要表現(xiàn)為學生的數(shù)學學習主要圍繞教材中的簡單問題展開，往往只是對知識的重復識記與應用;學習的繁難化傾向主要表現(xiàn)為對學習內容過度地、人為地拔高，讓學生覺得數(shù)學枯燥，由此喪失數(shù)學學習興趣，甚至談“數(shù)”色變，畏懼數(shù)學、害怕數(shù)學。趣味性拓展，就是在學生原有學習認知的基礎上，注入一些學生感興趣的素材、內容，激發(fā)學生學習熱情的同時對數(shù)學學習進行拓展。

如筆者教學“因數(shù)和倍數(shù)”（蘇教版教材五年級下冊）之后，安排了一節(jié)趣味性拓展課——完美的“完美數(shù)”，引導學生觀察、猜想、驗證、質疑、推理等。在活動中，師生一起探究完美數(shù)的性質。首先，筆者出示資料：古希臘人認為，如果一個數(shù)恰好等于它的所有真因數(shù)（不包括它自己的所有因數(shù)）的和，那么這個數(shù)就是“完美數(shù)”（完全數(shù)）。

（1） 請從50以內的數(shù)中找出兩個完美數(shù)，并說明理由。

（2） 請根據(jù)下列條件找出完美數(shù)：這個完美數(shù)是偶數(shù)，并且非常接近500。

（3） 拓展完美數(shù)的視界：數(shù)學家到目前為止還沒有找到奇完美數(shù)，只找到了一些偶完美數(shù)，比如6、28、496、8128、33550336、8589869056、137438691328、2305843008139952128……請認真觀察，并說說這些完美數(shù)有什么共同特點。（末位都是6或者28）

（4） 探究完美數(shù)的特征：數(shù)學家在研究中發(fā)現(xiàn)了完美數(shù)的一系列特征，比如完美數(shù)都可以拆分成若干個相鄰自然數(shù)的和。請選擇幾個完美數(shù)，將它們拆分成連續(xù)的相鄰自然數(shù)的和。

（5） 數(shù)學家通過研究還發(fā)現(xiàn)：所有的偶完全數(shù)都可以表達為2的一些連續(xù)正整數(shù)次方之和，比如6=2?+2?，28=2?+2[3]+2[4]，等等;除了6之外的偶完全數(shù)，還可以表示成連續(xù)奇數(shù)的立方數(shù)之和。你知道28可以表示為哪幾個奇數(shù)的立方數(shù)之和嗎？

美國科普大師馬丁·加德納指出，“喚醒學生的最好辦法是向其提供有吸引力的數(shù)學游戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西。”學生在探究的過程中感受、體驗到“完美數(shù)”的近乎完美的性質，感悟到“完美數(shù)”的奇異之美。在研究的過程中，筆者還讓學生借助信息技術查詢資料，從而認識到完美數(shù)更多的完美性質。這些性質猶如一顆顆閃亮的珍珠，讓數(shù)學學習多了一些趣味，少了一些枯燥和冰冷。

二、動態(tài)性拓展：提升數(shù)學認知

學生的數(shù)學學習過程是一個生動活潑的過程。傳統(tǒng)的數(shù)學教學，其拓展與延伸往往是通過減少題目的條件或者增加題目的問題，或者增加學生思考的步驟來實現(xiàn)的。這樣的教學雖能增強學生的解題能力，卻不能讓學生在學習中觸類旁通、舉一反三。教學中，教師應當將教材中的靜態(tài)知識動態(tài)化，從而讓學生的數(shù)學學習更加鮮活。通過動態(tài)性拓展，讓學生的數(shù)學知識獲得動態(tài)生長。

靜態(tài)性的數(shù)學知識學習中，學生往往會出現(xiàn)感悟膚淺、感悟不完整等現(xiàn)象，由此常常導致深度理解受阻。動態(tài)性拓展，往往能夠突出學生數(shù)學學習的自主性、能動性、參與性，讓學生對數(shù)學知識獲得更深刻的體悟。比如教學“循環(huán)小數(shù)”（蘇教版教材五年級下冊）這部分內容時，許多教師都會對分數(shù)化成小數(shù)的內容進行拓展、延伸，諸如怎樣的分數(shù)可以化成有限小數(shù)？怎樣的分數(shù)可以化成純循環(huán)小數(shù)？怎樣的分數(shù)可以化成混循環(huán)小數(shù)？等等。這樣的教學是一種“規(guī)則性”教學，學生往往“知其然，而不知其所以然”。筆者是以探究規(guī)律的方式引導學生展開深度學習，讓學生的數(shù)學學習過程化、動態(tài)化，提升學生的學習力。以下是筆者設計的“無限循環(huán)小數(shù)可以化成分數(shù)嗎？”探究導學案：

[問題]無限循環(huán)小數(shù)可以化成分數(shù)嗎？

[探究]解決復雜的問題要從簡單的情況入手，比如0.2×10=（? ? ?）;0.2=0.222……。

把兩個式子的等號兩邊分別相減，結果如下：

0.2×10-0.2=2.222……-0.222……?0.2×9=2?0.2=[29]

[應用]你看懂了嗎？嘗試將0.7、0.15分別化成分數(shù)。

這樣的動態(tài)化教學，讓學生對陌生的數(shù)學知識的認知由淺入深、由表及里、由此及彼。動態(tài)性拓展，不僅有利于調動學生數(shù)學學習的積極性，而且有助于幫助學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，讓學生展開有深度的數(shù)學學習。這種深度，不是結果性的深度，而是過程性的深度。

三、文化性拓展：深化數(shù)學體認

拓展性教學不僅要致力于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，更應致力于延伸學生的數(shù)學視界。在小學數(shù)學教材中，拓展性內容往往是以“你知道嗎？”的欄目呈現(xiàn)的。對此，許多教師教學常常只是蜻蜓點水，點到為止，雖然也能讓學生掌握一定的數(shù)學文化知識，但并不能讓學生真正感受和體驗到數(shù)學文化。數(shù)學文化與數(shù)學教學內容往往是兩張皮，對于數(shù)學文化性拓展內容，學生只是簡單地看一看、聽一聽，是難以體認到知識的文化性和精神性的。作為教師，在進行數(shù)學教學的過程中，不僅要進行文化性的鏈接和簡單再現(xiàn)，更要注重文化性的融入。

融入數(shù)學文化，能讓學生與數(shù)學深度遇見。在數(shù)學教學中，教師要引導學生經(jīng)歷數(shù)學知識誕生的過程，使學生感受到知識誕生的文化背景，體悟到知識誕生的文化意義。正如匈牙利著名數(shù)學教育家波利亞所說：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識做出更好的判斷?！北热缃虒W“用字母表示數(shù)”（蘇教版教材五年級上冊）時，許多教師喜歡在課末引入法國數(shù)學家韋達用字母表示數(shù)的歷史，以期拓寬學生的數(shù)學視界。但這種拓展只是一種文化知識的簡單普及，并不能讓學生深刻感受、體驗到文化的意義和價值。筆者在教學中，循著人類代數(shù)符號化的歷程——“文辭階段”“縮寫階段”和“符號階段”，引導學生重踏人類探索“用符號表示數(shù)”的歷程，重溫人類思維的進價過程。

[操作]用小棒擺1個三角形、2個三角形、3個三角形……

[思考]小棒根數(shù)與三角形個數(shù)之間有怎樣的關系？你能用一個式子來表示三角形的個數(shù)與小棒根數(shù)之間的關系嗎？這里的a可以表示哪些數(shù)？

[總結]這里的“a”以及“a×3”表示什么意義？

顯然，用字母表示數(shù)，并不是簡單地用字母“代替”數(shù)的過程，而是要學生形成一種符號意識，形成一種符號化的能力，并且能進行積極的符號化實踐。波利亞說：“學習數(shù)學只有當看到數(shù)學的產(chǎn)生、按照數(shù)學發(fā)展的歷史順序或親自從事數(shù)學發(fā)現(xiàn)時，才是最好地理解了數(shù)學。”通過文化性拓展，學生不僅理解了用字母表示數(shù)的規(guī)則，更深刻理解了“用符號表示數(shù)”的意義和價值。

通過這樣的學習，學生會驚嘆于古代勞動人民的智慧和創(chuàng)造力，感受到數(shù)學的歷史和力量。這樣的一種拓展式教學，突出了學生的主體性地位，彰顯了學生數(shù)學學習的主動性、參與性，不僅激發(fā)了學生的研究熱情，提升了學生的數(shù)學認知，更深化了學生對數(shù)學文化、精神的體認，進而讓學生的數(shù)學核心素養(yǎng)獲得生長。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 潘小福.小學數(shù)學教材的專業(yè)化解讀[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2017.

[2] 陳加倉.小學數(shù)學拓展課：教什么，怎么教[M].北京：中國人民大學出版社，2017.

[3] 周立泰.試談數(shù)學思維品質的培養(yǎng)[J].運城高等專科學校學報，1999（3）.

[4] 谷尚品.小學數(shù)學拓展課案例精選3[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

[5] 洪細苗.小學數(shù)學拓展課案例精選4[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

（責編 羅 艷）