凌建青

摘要：“理解”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)指向，亦是過程追求?！敖忸}”是促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解的載體，又是檢測學(xué)生是否實現(xiàn)預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)的反饋環(huán)節(jié)。學(xué)生能闡述解題的思考過程，能應(yīng)對變式練習(xí)，能靈活遷移等，可視作學(xué)生解題的“理解證據(jù)”。尋跡理解證據(jù)是習(xí)題教學(xué)走向高效的精準(zhǔn)著力點。

關(guān)鍵詞：理解;理解證據(jù);習(xí)題教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）02A-0106-05

教學(xué)的本質(zhì)是促進學(xué)生的學(xué)。教學(xué)首先要考慮學(xué)生的預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果，即要實現(xiàn)怎樣的學(xué)習(xí)目標(biāo)。其次，要明確學(xué)生怎樣的行為可以確證他們達到了預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果，然后再設(shè)計學(xué)習(xí)體驗和教學(xué)活動。這是有別于傳統(tǒng)教學(xué)的“逆向教學(xué)設(shè)計”，即追求以學(xué)生的學(xué)習(xí)為目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計?！澳嫦蚪虒W(xué)設(shè)計”認(rèn)為“教學(xué)行為都是基于一定的教學(xué)目標(biāo)，若是缺少了最后結(jié)果反饋的環(huán)節(jié)，那么教學(xué)是否有效就無從判斷，它的合法性是不成立的，因此關(guān)注學(xué)生的結(jié)果也是教學(xué)行為的題中之義?！盵1]習(xí)題是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的重要組成部分，解題是有效評估學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的“反饋環(huán)節(jié)”。正如數(shù)學(xué)家波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？意味著善于解題?！碑?dāng)然，解題只是學(xué)生的一種外顯行為，其最終的目的是通過“解題”評估學(xué)生是否真正理解了所學(xué)的內(nèi)容。

一、作為評估數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“理解”

對于數(shù)學(xué)教師來說，“理解”一詞是再熟悉不過了，比如讓學(xué)生“理解算理，掌握算法”“理解等式的性質(zhì)”等，但對于這個耳熟能詳?shù)摹袄斫狻保覀兪欠裾娴睦斫饽兀?/p>

1.作為學(xué)習(xí)結(jié)果的“理解”

“理解”是一種學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)追求的結(jié)果。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把“了解”“理解”“掌握”“運用”作為一類描述結(jié)果目標(biāo)的行為動詞。而“理解”是指“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系?！盵2]可見，“理解”與“了解”不同，“了解”表示“知道”或者“初步認(rèn)識”，指向的是事實性知識。盡管數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從“了解”開始，但了解了事實性知識并不能導(dǎo)致“理解”?！袄斫狻敝赶蛑R本質(zhì)，是學(xué)生探索事實意義的結(jié)果。如知道“60%是一個百分?jǐn)?shù)”是“了解”，認(rèn)識到“60%表示的是一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)”則表明“理解”了百分?jǐn)?shù)的意義。

2.作為學(xué)習(xí)過程的“理解”

理解需要時間和精力，“理解”不僅表示學(xué)習(xí)結(jié)果，也是一種推斷、推理的學(xué)習(xí)過程。“理解就是將我們的知識聯(lián)系、結(jié)合起來，從而弄清楚事物的含義（如果沒有理解，我們可能只會看到含糊的、孤立的或者無用的事實）。”[3]7數(shù)學(xué)知識需要通過“理解”這一過程來實現(xiàn)“理解了”的結(jié)果。如認(rèn)識三角形，不僅需要通過提供多元表征，讓學(xué)生建立三角形的直觀表象，還要通過正例、反例的辨析，建構(gòu)“三條線段首尾相接的平面圖形是三角形”的概念。學(xué)生認(rèn)識到三角形不是某個具體的實物形狀或者是特定圖形，而是一個抽象了的符號，才能表明學(xué)生對三角形真正理解了。

3.作為學(xué)習(xí)目標(biāo)的“理解”

“理解”還是“掌握”和“運用”的基礎(chǔ)?！袄斫庖馕吨軌蛑腔酆陀行У貞?yīng)用與遷移——在任務(wù)環(huán)境中，有效地運用知識和技能?！盵3]7而“掌握”和“運用”又能反過來檢測學(xué)生理解的程度。因此，能否真正“理解”所學(xué)知識的本質(zhì)應(yīng)該成為每節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，“理解”也是評估學(xué)生預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果的重要指標(biāo)。解題是學(xué)生鞏固知識技能的“必選動作”，也是對知識技能進行遷移和應(yīng)用的重要途徑。通過解題讓“理解”走向“掌握”和“運用”，只有“理解了”才能“掌握”和“運用”，反過來只有通過“運用”才能加深和強化對知識本質(zhì)的理解。

二、尋跡學(xué)生解題過程的理解證據(jù)

波利亞在《“怎樣解題”表》中將解題過程分為四步：審題、制定解題計劃、執(zhí)行計劃和回顧。首先，需要分析題目中的已知條件和問題，將已有的知識、經(jīng)驗與新知識建立聯(lián)系，進行信息加工。其次，要調(diào)動相關(guān)的方法和策略規(guī)劃解題的思路，并運用適合的方法付諸實踐。最后，還要對自己的解題過程和結(jié)果回顧、檢驗。雖說小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題相對簡單，但成功解題一定是學(xué)生經(jīng)歷獨立思考后的結(jié)果，而這個思考的過程是別人無法替代的。學(xué)生能脫離他人的幫助成功解題也是教學(xué)的最終目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)課堂的“新授環(huán)節(jié)”會涉及解題，但無論是教師的示范講解，還是以組織者、引導(dǎo)者、合作者的身份參與學(xué)生解題，都會在一定程度上“干預(yù)”學(xué)生的獨立思考。因此，獨立完成解題是表明學(xué)生“理解”的先決條件、首要證據(jù)。當(dāng)然，獨立解題并不等于理解，學(xué)生在解題過程中有怎樣的表現(xiàn)，才是表明理解的證據(jù)呢？

1.闡明思考過程

語言是思維的外殼。有經(jīng)驗的老師總喜歡在課上問學(xué)生“你是怎么想的”，讓學(xué)生把想法說出來，通過“出聲的思考”來判定學(xué)生的掌握情況。正所謂“心求通而達，口欲言而能”，要把一個問題、一件事完整清晰地表達出來，必須先要想明白、理通順。解題是一個復(fù)雜的思維過程，學(xué)生能有條理地講清解題思路，則可以判定學(xué)生已經(jīng)掌握了這題的解題方法或者策略，即便是再簡單的內(nèi)容亦是如此。如教學(xué)“整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算”時，學(xué)習(xí)完“20×3”和“200×3”后，讓學(xué)生練習(xí)“800×3”，當(dāng)學(xué)生能說出“8個百乘3是24個百，是2 400，所以只要先算8×3等于24，然后在后面添兩個0”時，即學(xué)生不僅能說出了怎么算的（算法），而且說出了為什么要這么算（算理），以此可作為學(xué)生的理解證據(jù)。

2.應(yīng)對習(xí)題變式

變式是指通過變換同類事物的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度和方法，從而突出事物的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素，讓學(xué)生在變式中思維，從而掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律[4]。變式在日常教學(xué)中有著廣泛的運用，數(shù)學(xué)變式教學(xué)一般分為概念變式和習(xí)題變式。“變式題”的難度通常略高于基礎(chǔ)題，是在不改變知識內(nèi)容的本質(zhì)屬性的前提下改變習(xí)題的形式。如《乘法分配律》的教學(xué)，像“25×13+75×13”屬于基礎(chǔ)題，解題時學(xué)生可直接套用乘法分配律的字母表達式“a×c+b×c=（a+b）×c”進行計算，不一定需要“理解”。而像“58×99+58”則屬于“變式題”，如果沒有理解乘法分配律的實質(zhì)，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)“直接套用不行，缺了一個數(shù)”。學(xué)生要從乘法意義角度理解才能正確簡算，即“99個58加上1個58等于100個58”。可見，學(xué)生解決“變式題”的過程就是一個排除干擾因素，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，融會貫通地運用知識的過程。教師要充分設(shè)計或運用“變式題”，來檢驗學(xué)生的理解。

3.靈活遷移應(yīng)用

“遷移”是學(xué)習(xí)發(fā)生的重要指標(biāo)，“應(yīng)用”是遷移的重要表征之一，也是檢驗學(xué)習(xí)結(jié)果的最佳途徑[5]。習(xí)題教學(xué)中，可能會出現(xiàn)以下兩種情況，一是學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了習(xí)題涉及的本質(zhì)內(nèi)容，但卻在解題的過程中表現(xiàn)不好;二是沒有理解并掌握習(xí)題涉及的本質(zhì)內(nèi)容，卻在解題的過程中表現(xiàn)良好。顯然，對于出現(xiàn)第一個問題的情況不難理解，只要分析錯誤原因即可。但對于第二個問題，則需要考慮習(xí)題本身的評估標(biāo)準(zhǔn)是否指向?qū)W生知識的遷移和應(yīng)用。評估遷移發(fā)生需要兩個要素：“外觀與感受都比較新穎的任務(wù)和讓學(xué)生將先前知識運用于具體情況的環(huán)境?！盵6]也就是學(xué)生能在陌生的情境中將所學(xué)的知識靈活應(yīng)用。如學(xué)習(xí)了“圓的認(rèn)識”后，布置“為什么窨井蓋和車輪要做成圓的”;學(xué)習(xí)了“認(rèn)識三角形”后布置“椅子搖晃了，可以用什么辦法來解決”等。這些指向知識應(yīng)用的社會實踐類的題目，不僅是檢驗學(xué)生知識遷移應(yīng)用的途徑，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。

三、基于“理解證據(jù)”的習(xí)題教學(xué)原則

1.“理解為先”的設(shè)計原則

習(xí)題作為數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體，也是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵因素。習(xí)題設(shè)計考驗著教師的專業(yè)能力，習(xí)題的內(nèi)容導(dǎo)向、目標(biāo)引領(lǐng)決定著學(xué)生的發(fā)展方向。事實證明，重復(fù)機械的“題海戰(zhàn)術(shù)”的效果事倍功半，只會在加重學(xué)生負(fù)擔(dān)的過程中消磨學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)是“講理”的，是以學(xué)生學(xué)會“理性地思考”為目標(biāo)的。習(xí)題設(shè)計也應(yīng)遵循以“理解”為目標(biāo)，綜合考慮習(xí)題的鞏固性、挑戰(zhàn)性、應(yīng)用性、拓展性特點，基于尋求學(xué)生解題的理解證據(jù)進行設(shè)計，“以始為終”才能“事半功倍”。

2.“循序漸進”的組織原則

為了讓解題更好地促進學(xué)生的理解，教師要架構(gòu)習(xí)題的結(jié)構(gòu)。一般按“基礎(chǔ)題”“變式題”“遷移應(yīng)用題”的順序有層次地組織學(xué)生獨立解題。在學(xué)生獨立解題過程中，教師也要介入其中，要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情反饋及時調(diào)整習(xí)題的呈現(xiàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生無法應(yīng)對“變式題”或者“遷移應(yīng)用題”的挑戰(zhàn)時，還需要回到“基礎(chǔ)題”，加強對概念或者技能的鞏固上來。這也正是優(yōu)秀教師，為什么要在學(xué)生解題時不斷地“巡視”學(xué)生解題過程的原因。教師不僅要呈現(xiàn)有層次的習(xí)題，更要了解學(xué)生在解題過程中的真實表現(xiàn)，及時調(diào)整習(xí)題的呈現(xiàn)序列，實現(xiàn)真正意義上的“循序漸進”。

3.“因材施教”的實施原則

“因材施教”中的“材”既是指教材，又是指學(xué)生。盡管對于習(xí)題教學(xué)要以“理解”為目標(biāo)，但還是應(yīng)遵循“因材施教”的原則。首先，從教材內(nèi)容來看，不是所有的習(xí)題設(shè)計都是指向“理解”的。對同一內(nèi)容，不同階段的要求是不同的。如“角”“三角形”“平行四邊形”“圓”等平面圖形在“第一學(xué)段”的要求是“認(rèn)一認(rèn)”，習(xí)題的教學(xué)指向“了解”為目標(biāo)。這些內(nèi)容安排在“第二學(xué)段”時，涉及了圖形的基本概念，則需要設(shè)計以“理解”為目標(biāo)的習(xí)題。其次，學(xué)生的差異是客觀存在的，同一習(xí)題，對于不同層次的學(xué)生在以“理解”為目標(biāo)的層次上要區(qū)別對待，這吻合了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的理念“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

四、基于“理解證據(jù)”的習(xí)題教學(xué)實施

1.解讀教材，習(xí)題結(jié)構(gòu)化

教材是集“課標(biāo)精神”、編者意圖、教法、學(xué)法引領(lǐng)等要素于一身的內(nèi)容載體，是教師組織教學(xué)最主要的內(nèi)容文本。教師解讀教材時，要結(jié)合自己對“課標(biāo)精神”和編者意圖的理解，根據(jù)學(xué)生實際，制定切實可行的學(xué)習(xí)目標(biāo)。制定目標(biāo)的過程也是一個目標(biāo)分類的過程，要分清哪些內(nèi)容指向“了解”，哪些內(nèi)容指向“理解”等，再根據(jù)目標(biāo)指向?qū)滩奶峁┑牧?xí)題進行必要的加工、改造，落實到教學(xué)活動中去。如蘇教版四年級《射線、直線、角》一課（見表1），要求學(xué)生對線段、射線、直線正確識別的習(xí)題是指向“了解”的，只要讓學(xué)生觀察這些圖形表征的外在特點：“直的，有幾個端點”，學(xué)生就能鑒別。而對于它們的本質(zhì)特征“有限長”和“無限長”的比較，需要設(shè)計指向“理解”的習(xí)題。因為線段有起點和終點，所以有限長;射線和直線是可以向一邊或者兩邊無限延長的，所以無限長?？梢?，基于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的習(xí)題一定是指向?qū)W生理解的。

2.關(guān)注學(xué)情，教學(xué)序列化

“以學(xué)情分析來尋求教學(xué)的起點”已經(jīng)成為廣大教師的共識，在學(xué)生解題過程中，教師也要將“學(xué)情關(guān)注”進行到底。只有將學(xué)生內(nèi)在思維活動外顯為可視的言語和行為，才能真實地掌握學(xué)生解題時的理解證據(jù)。首先，教師要努力成為一名傾聽者，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多的時間和空間，使其解題時不能只顧“動手做”，還要養(yǎng)成“動腦想”，更要“動口說”。其次，教師要努力成為一名觀察者，在學(xué)生解題時不斷巡視，觀察學(xué)生群體在面對習(xí)題的挑戰(zhàn)時（可能來自變式題，也可能來自遷移應(yīng)用題），能否在新的情境中靈活運用知識技能，是否需要進行習(xí)題序列的調(diào)適。如蘇教版六年級下《比例的基本性質(zhì)》一課中，習(xí)題“根據(jù)3×4=2×6寫出比例”是對基本題的變式，但學(xué)生解題時大面積出現(xiàn)了“3：4=2：6”的錯誤解法。詢問學(xué)生想法后發(fā)現(xiàn)，對于比例的基本性質(zhì)“因為a：b=c：d，所以ad=bc”，學(xué)生無法進行逆向遷移，也就是不知道根據(jù)“ad=bc”也能推出“a：b=c：d”。而比例的基本性質(zhì)是一個充分必要條件，順向推理和逆向推理都成立。同時，教師教學(xué)的重點也放在了順向推理上，即“因為a：b=c：d，所以ad=bc”造成了學(xué)生的不理解。學(xué)生解題時的學(xué)情反饋檢測出了教師教學(xué)的不足，這就需要教師重新調(diào)適教學(xué)。

3.促進發(fā)展，評價多元化

學(xué)生的差異性決定了解題過程和結(jié)果的多樣性，不同的學(xué)生在解題時表現(xiàn)不同，這也給教學(xué)評價帶來了挑戰(zhàn)。評價的目的是促進學(xué)生的發(fā)展，因此，教師對于學(xué)生解題的評價要有不同的“尺”。首先，解題是通過知識技能的運用來促進“理解”和獲得“理解”的過程，以“理解證據(jù)”評估學(xué)生的解題是“第一把尺”。如做計算時不僅掌握算法，還能理解算理;解決問題時，不僅能獲得答案，還能概括出數(shù)量關(guān)系。其次，解題過程要注重學(xué)生良好習(xí)慣的養(yǎng)成，如仔細(xì)審題、自覺檢驗等。良好的解題習(xí)慣是提升學(xué)生解題能力的前提，也是學(xué)生一生受用的關(guān)鍵能力，這是“第二把尺”。再次，習(xí)題的類型各異，難易程度不同，有些習(xí)題的結(jié)果不唯一，即使結(jié)果唯一解題的方法也是多樣化、差異化的。教師不能只顧解題的結(jié)果，也要“理解”學(xué)生不同方法背后的真實想法，尊重差異，允許合理的多元化，這是評估學(xué)生解題的“第三把尺”，因為創(chuàng)造往往是在寬松、和諧的環(huán)境中生長出來的。當(dāng)然，需要指出的是，有些題目的方法多樣化，教師還是有必要進行分析、比較、優(yōu)化，因為小學(xué)生對自己的解題是沒有判斷能力的，往往認(rèn)為自己想出來的方法是最好的。

在扎實推進小學(xué)數(shù)學(xué)“雙基教學(xué)”，落實“精講多練”的同時，作為數(shù)學(xué)教師需要進一步明確的是，掌握了知識與技能并不表示學(xué)生能夠靈活運用，只有真正理解了，才能在新的問題情境中實現(xiàn)遷移應(yīng)用。正如約翰·D.布蘭思福特《人是如何學(xué)習(xí)的》一書中所指出的，“當(dāng)學(xué)生學(xué)會如何從他們的練習(xí)中提取內(nèi)在的聯(lián)系和主題，他們就能夠形成何時、何地、為什么以及如何運用所學(xué)知識來解決新問題的靈活理解了。”

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責(zé)任編輯：李韋