摘 要：對“簡單線性規(guī)劃“這節(jié)課，從教學(xué)目標(biāo)、重難點分析出發(fā)，制訂教學(xué)設(shè)計，并根據(jù)設(shè)計進(jìn)行了教學(xué)實踐，做了實踐后的反思。本節(jié)課的核心在于讓學(xué)生通過二元一次方程組求解簡單線性區(qū)域問題，進(jìn)一步利用圖形計算器的幾何操作系統(tǒng)解決非線性規(guī)劃問題。探索圖形計算器對于培養(yǎng)、提升學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng)的作用，拓寬教學(xué)思路。

關(guān)鍵詞：簡單線性規(guī)劃;TI圖形計算器;教學(xué)實錄;教學(xué)反思;幾何直觀

直觀想象作為普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》里的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是指，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的思維過程。主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路[1]?。數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法是發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力的重要手段之一。根據(jù)圖形的變化分析數(shù)學(xué)問題，以此促使學(xué)生建立數(shù)和形的關(guān)系，從直觀模型中分析數(shù)學(xué)問題，并探究解題思路。作為一名高中老師，如何有效將數(shù)形結(jié)合實施于課堂呢？筆者在前一階段開設(shè)一節(jié)市級公開課，內(nèi)容為高中人教A版必修5《簡單線性規(guī)劃》第二課時。本節(jié)課基于TI計算器的運用，對教材進(jìn)行了大膽的創(chuàng)新，采用“例題+變式+拓展”的方式，讓學(xué)生充分利用TI計算器直觀展示的功能解決實際數(shù)學(xué)問題，教學(xué)效果明顯。下面是本節(jié)課的教學(xué)實錄、點評及反思。

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：在原有的平面區(qū)域的基礎(chǔ)上，對線性規(guī)劃問題的再認(rèn)識，通過直線與圓、直線與圓錐曲線之間的相互關(guān)系，借助圖形計算器，初步學(xué)會用信息技術(shù)解決平面區(qū)域規(guī)劃問題。

2、過程與方法：通過對例一的講解、變換，使學(xué)生熟練掌握圖形計算器在解析幾何上的使用。讓學(xué)生充分體驗TI圖形計算器在幾何直觀上的幫助。

3、情感態(tài)度及價值觀：讓學(xué)生感受探究問題的樂趣和解決問題的成就感，感受手持技術(shù)對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幫助，了解圖形背后的原理，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。

二、重難點分析：

教學(xué)重點：利用TI圖形計算器解決平面區(qū)域問題。

教學(xué)難點：熟練操作TI圖形計算器并解決實際問題，找到最優(yōu)解。

三、課堂實錄：

3.1回顧舊知，熟悉圖形計算器操作

教師：今天很高興能來到海滄實驗中學(xué)，和大家一起來利用手中的“神器”——TI圖形計算器來解決今天的課題《簡單的線性規(guī)劃問題》。在上一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們掌握了二元一次不等式（組）區(qū)域選擇、可行域、目標(biāo)函數(shù)的概念等，大家還記得么？

學(xué)生（眾）：記得。

教師：很好，那我們先檢測一下同學(xué)們的掌握程度吧，請同學(xué)們完成老師下發(fā)的這道題，利用TI圖形計算器解決這道線性規(guī)劃問題。

老師通過TI計算機終端將題目下發(fā)給學(xué)生，學(xué)生可在TI圖形計算器上閱讀題目，并新建繪圖區(qū)進(jìn)行畫圖操作。學(xué)生操作過程中，老師能根據(jù)終端學(xué)生操作情況，實時發(fā)現(xiàn)學(xué)生操作過程中的問題，或全班講解或一對一糾正。

教師：用了圖形計算機之后對于你們的學(xué)習(xí)過程有何幫助，與之前學(xué)習(xí)有何區(qū)別？

學(xué)生（A）：直觀、方便計算是圖形計算器最大的亮點，通過移動游標(biāo)即可準(zhǔn)確得到最值。

教師：既然圖形計算器這么方便，解決直線問題顯然大材小用了，我們何不利用它的優(yōu)點，解決更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題呢？在例一基礎(chǔ)上，改變限制條件中的一個，大家會發(fā)現(xiàn)什么？

3.2小試牛刀，可行域由線性轉(zhuǎn)換成非線性區(qū)域

例一：（可行域非線性，目標(biāo)函數(shù)線性）

，求t=-x+y的最大、最小值。

學(xué)生：可行域由原來的線性區(qū)域變成了圓型域。

教師：是的，現(xiàn)在可行域變成了非線性區(qū)域，解決的方法是否會有變化呢？大家先自行進(jìn)行操作，等下我們請一名同學(xué)來講解下他的思路。

老師通過終端機觀察學(xué)生操作，指出學(xué)生在圖形計算器使用過程中出現(xiàn)的錯誤，待絕大部分學(xué)生操作完畢之后，讓學(xué)生介紹操作過程并進(jìn)行講解。

上臺的學(xué)生操作教師圖形計算器，操作過程在電腦上同步播放。

教師：大家移動游標(biāo)時，發(fā)現(xiàn)什么時候有最小值呢？

學(xué)生（眾）：直線與圓相切時。

教師：如何求出直線與圓相切時t的值呢？

學(xué)生（B）：平移到只有一個交點。

學(xué)生（C）：不行，怎么知道他只有一個交點，看不出來的。

學(xué)生（D）：我看到計算器里頭有一個求切線的功能，我可以在圓上任取一點，求出過該點的切線，移動該點，使切線斜率為1即可，老師你看，答案是-1.16。

教師：這位同學(xué)很聰明，能夠探索到圖形計算器里頭的非常方便且重要功能——求過該點的切線。當(dāng)然，同學(xué)們也不能忘記代數(shù)方法，通過聯(lián)立圓與直線，令△=0也可以求解的。

點評：把線性區(qū)域加入圓形內(nèi)部區(qū)域，組成非線性可行域，雖然加大了難度，但如果學(xué)生在例一中能夠理解目標(biāo)函數(shù)最值的本質(zhì)，這道題也迎刃而解。幾何直觀在圖形計算器的使用上體現(xiàn)得淋漓盡致，圖形計算器雖然能夠直觀的展現(xiàn)函數(shù)間位置關(guān)系，但在計算切線方程時還需進(jìn)行簡單的代數(shù)運算，方可得到準(zhǔn)確解。

3.3乘勝追擊，目標(biāo)函數(shù)由線性轉(zhuǎn)換成非線性函數(shù)

教師：剛剛同學(xué)們都發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)是直線，所以依舊是平移直線即可得到最優(yōu)解，那如果目標(biāo)函數(shù)變成我們不認(rèn)識的函數(shù)呢？請看下一題。

例二：（可行域線性，目標(biāo)函數(shù)非線性）

，求z=x2-2y2的最大、最小值。

教師：大家利用圖形計算器發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)是什么圖形？

學(xué)生：兩條曲線。

教師：這個函數(shù)大家不熟悉，這是同學(xué)們高二選修2-1要學(xué)習(xí)的新函數(shù)——雙曲線。雖然我們不認(rèn)識，但是我們有“神器“在手，大家試下如何解決這個問題。

老師提示學(xué)生觀察目標(biāo)函數(shù)，得到目標(biāo)函數(shù)是一個雙曲線，移動游標(biāo)z發(fā)現(xiàn)，z的符號會影響雙曲線的位置，從而影響答案。由于z符號不確定，固需對z進(jìn)行分類討論：

①當(dāng)z>0時，目標(biāo)函數(shù)是與x軸有兩個交點的雙曲線，此時為雙曲線頂點到原點的距離，距離越大，z越大，當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線經(jīng)過（-1，0）時，取到最大值，無最小值;

②當(dāng)z<0時，為焦點在y軸上的雙曲線，此時為雙曲線頂點到原點的距離，距離越大，z越小，當(dāng)過（2，3）時，最大，z最小，，無最大值。綜上，

點評：雙曲線是高二的知識，學(xué)生并不認(rèn)識，更不清楚z對圖像的影響。但TI圖像計算器剛好彌補了這個空白，通過移動游標(biāo)z，學(xué)生能夠清楚觀察到雙曲線變化，從而對z進(jìn)行分類討論。教師圍繞著線性規(guī)劃問題，以例一為母題，通過改變可行域、改變目標(biāo)函數(shù)，層層遞進(jìn)設(shè)計變式，加深了學(xué)生對線性規(guī)劃問題的理解，并引入雙曲線問題，讓學(xué)生直觀感受到當(dāng)手持技術(shù)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，一切都發(fā)生了變化——只要輸入數(shù)據(jù)，函數(shù)圖像立即就出來了，通過移動游標(biāo)，能清晰的感受變量對函數(shù)圖像的影響，真可謂，技術(shù)演繹精彩。

3.4回歸本質(zhì)，區(qū)域規(guī)劃問題的基本解決思路

教師：通過這節(jié)課，同學(xué)們初步掌握了利用TI圖形計算器解決線性規(guī)劃問題，有誰能總結(jié)一下具體步驟么？

學(xué)生（E）：1.畫——畫出約束條件所表示的可行域;

2.移——建立游標(biāo)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，移動游標(biāo)找出與可行域有公共點且z有最大值或最小值的圖像;

3.求——根據(jù)圖形計算器得出交點坐標(biāo)，進(jìn)而求出最優(yōu)解;

4.答——做出答案。

教師：很好，今天我們用手中的“神器”不僅解決了簡單的線性規(guī)劃問題，連大家不熟悉的非線性規(guī)劃問題也能迎刃而解。當(dāng)然，圖形計算器還有更大的能量，望大家在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積極探索，利用好這個“神器”。

四、利用TI圖形計算器教學(xué)后的幾點思考

4.1手持技術(shù)，為老師提供新的教學(xué)方式

TI圖形計算器不僅是一個可以求值作圖的計算器，更是一個嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)工作室，它具有良好的符號代數(shù)系統(tǒng)、幾何操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)，可以直觀繪制各種圖形，進(jìn)行動態(tài)演示、跟蹤軌跡進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決和數(shù)學(xué)實驗，是一個可以隨時隨地探索的科學(xué)流動實驗室。手持技術(shù)的引入，使得師生合作教學(xué)得以實現(xiàn)。通過監(jiān)控終端，老師可以實現(xiàn)對每個孩子操作的了解，更好的掌握學(xué)生知識的接受程度。明確了學(xué)生在操作學(xué)習(xí)中的難點，進(jìn)而開展針對性的教學(xué)。當(dāng)然，這也對老師提出了更高的要求，要求老師需要在課余時間對整個設(shè)備操作方式的熟悉;設(shè)計的教學(xué)方案能夠充分發(fā)揮設(shè)備的優(yōu)勢并與教學(xué)任務(wù)緊密聯(lián)系;能夠快速的解決學(xué)生在課堂上出現(xiàn)的操作問題。

4.2動手操作，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

手持技術(shù)的加入，使得學(xué)生能夠真正的參與到教學(xué)活動中來，我們欣喜地看到課堂上學(xué)生的數(shù)學(xué)探索變得更加積極主動，強大的圖形功能改變了過去紙上談兵式的數(shù)學(xué)探究，實現(xiàn)了人機之間、師生之間、生生之間的積極互動.借助于手持技術(shù)，學(xué)生的自主探究、大膽猜想、合作交流成為現(xiàn)實，數(shù)學(xué)課堂也煥發(fā)了新的活力[2]。相較于以往老師講學(xué)生被動接受，圖形計算器及其相應(yīng)的實驗技術(shù)，為進(jìn)行全面的數(shù)學(xué)教育提供了物質(zhì)基礎(chǔ)，為引導(dǎo)學(xué)生深層次地參與教學(xué)過程創(chuàng)造了條件，真正讓學(xué)生成為課堂上的主人，知識的探索者。直觀的操作體驗，能讓學(xué)生在探索中思考數(shù)學(xué)本質(zhì)，，動手操作帶來的震撼與深刻印象是傳統(tǒng)講授法無法做到的。

4.3保持清醒，深思手持技術(shù)的利與弊

固然手持技術(shù)有那么多好處，但在利用手持技術(shù)的同時還需要老師進(jìn)行適度的引導(dǎo)，不能淡化一些需要學(xué)生動手完成的知識。例如本節(jié)課中，可以在課后再布置學(xué)生利用列表描點連線畫出雙曲線函數(shù)圖像，改變參數(shù)，對比圖形。我們要做到既教猜想，又教證明。圖形計算器的作用主要是輔助與探索的工具，而學(xué)生動筆計算、獨立猜想的過程更是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根基。只有這樣，才能真正把握科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]彭翕成;.例說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016，（05）：.

[2]蔣奎;.新課程理念下利用圖形計算器改進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的幾點體會[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019，（11）：.

作者簡介：朱鴻鵠，1991年11月，男，漢族，籍貫：福建泉州，廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)二級教師，本科，研究方向：信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)