摘 要：中學數(shù)學可以宏觀分解成數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、概率與統(tǒng)計三個部分，其中代數(shù)部分知識和分類討論思想關系極為密切。本文分析了當前中學數(shù)學中，涉及分類討論思想的題目類型，明確這一思想在學習過程對于學生的助益效果，在此基礎上研究在授課實踐過程如何培養(yǎng)學生的這一思想，從而讓學生可以具備該意識。

關鍵詞：分類討論思想;中學教育;代數(shù)教學

一、 引言

分類討論思想在目前代數(shù)類題目中的使用方法有兩種，一種是顯性的思想使用，另一種是隱性的思想使用，后者的學習難度和使用難度顯然更高。當學生具備了該思想之后，可以讓學生的思維完整度提高，讓學生的數(shù)學學習水平提高，此外具備分類討論思想后，對于后續(xù)學習中的其他理科科目的學習大有助益，為學生整體的素質提高奠定了基礎。

二、 分類討論思想在中學代數(shù)題目中的常見模式

（一）顯性應用模式

顯性應用模式中，本質上和該思想的應用有一定的區(qū)別，通常是在題干中已經(jīng)展示了該思想。比如題目是：某商品的銷售過程中，單次銷售量越高，則產(chǎn)品的單價越少。購買數(shù)量不高于100件時，產(chǎn)品的單價是200元/件，多于100件但是不多于300件時，產(chǎn)品的售價打九折。產(chǎn)品數(shù)量多于300件時，產(chǎn)品的售價打七折，某消費者分3從該經(jīng)銷商中采購商品，分別為100件、150件和350件時，需要提交的總貨款是多少？該題目的計算過程要求學生列出分段方程，之后計算不同采購數(shù)量情況下的貨款。

顯性應用模式中，學生通?？梢灾苯影凑疹}干中的信息列出方程，之后計算各項參數(shù)，學生接觸這類題目后，可以讓學生具備分類討論思想的基本應用思想。

（二）隱性應用模式

隱性應用模式要求學生解題過程自主采用分段式數(shù)據(jù)分析模式，以獲取正確的結果，這類題目學生的掌握水平較差，尤其是當題目中含有“陷阱”時，題目的得分率會進一步下降。比如題目：某商品的穩(wěn)定度公式為y=（100-20t）/100，其中t是該設備的運行時間（單位：千小時），而運行故障的嚴重程度計算方法是a=3y+6y2，其中y不可讓其降低到0，最低限定值是50%，到達這一參數(shù)時要進行維修，維修后的穩(wěn)定度可以達到100%，且計算公式不變。則在該設備的運行過程中，設備運行3千小時時，該設備的故障嚴重程度為多少？

該題目中的“陷阱”是汽車在行駛2.5千小時已經(jīng)需要維修，分類討論思想要把運行時間分成[0，2.5]、（2.5，3]兩個時間段，該過程學生要自主按照分類討論思想構建計算方程，之后帶入數(shù)據(jù)計算。

三、 分類討論思想在中學代數(shù)學習中對學生的幫助效果和教學問題

（一）分類討論思想健全

中學數(shù)學中，題目的失分點大部分集中在分類討論思想的使用方面，尤其是上文中提及的“陷阱”類題目，當學生不具備該思想時，自然無法正確解題。

在教學過程中，教師讓學生深度掌握該數(shù)學思維，或者在考慮事務時提高思維縝密程度時，可以讓學生主動找到該題目中存在的各項內容，之后充分提高學生的學習效果。

目前的教學問題是，教師通常只讓學生具備顯性分類討論思想，對于隱性使用方面的介紹水準較低，顯然不利于學生的后續(xù)學習過程，同時大部分的教師只是讓學生記憶已經(jīng)計算后題目的形式，雖然該方法可以在一定程度上視作幫助學生構建力記憶模型，但是從實際使用效果上來看，這一傾向于習題背誦的方法未能觸及學生的核心素養(yǎng)建設，導致學習效率、學習質量和知識使用方法掌握過程事倍功半。

（二）自主分析各項可能性

無論是中學習題解答還是日常事務的處理，中學生都要做好全角度切入，之后解決各項問題，要求學生可以自主分析可能存在的各類可能性。學生具備分類討論思想之后，在數(shù)學題目的解答過程會先分析和詢問，自主提出的問題有“該題目是否要分類討論？”“該題目的可能結果有多少？”“該題目中是否含有‘陷阱？”等，在具備了這類“懷疑”思想之后，可以降低錯誤率。

目前的教育問題是，一方面由于教師只是使用顯性分類討論題目讓培養(yǎng)學生個人能力，另一方面大量學生在該過程中未能完成可以合理使用的專業(yè)性技術，從而讓學生的學習水平下降。此外分類討論思想培養(yǎng)要由表及里，并非讓學生面對所有問題都要陷入“題目懷疑”狀態(tài)，該方法在學生初步接觸思想建立過程可以使用，之后則要做到熟能生巧，目前教師使用的方法是讓學生大量完成習題，不但讓學生的學習負擔加重，而且長期使用會讓學生的數(shù)學學習熱情下降。

（三）提高學生思維縝密度

數(shù)學核心素養(yǎng)要求學生具備人文思想、技術主動探究思想、科學性思想等，都需要縝密的思維體系支持，包括對于各類問題的自主分析能力、各項知識體系的分析能力等。當學生掌握力分類討論思想之后，在各類事務的考慮和數(shù)學題目的分析過程中，會主動利用分類討論思維分析所有的問題，從中獲得正確的結果。

問題在于，當前教師的授課側重點偏移問題，導致有的學生對于這一項目的管理水平嚴重不足，此外從作用水平上來看，學生不重視分類討論思想，問題解決水平不符合教學過程的期望值。另外分類討論思想本質上是一種條理性的思考和問題研究思路，學生可以形成順序化的學習和研究結構，由于教師未能讓學生夯實思想的建設基礎，導致學生的思維依然趨于混亂。

四、 分類討論思想在中學代數(shù)教學中的使用方法

（一）思想健全過程中應用

思想的健全過程，要求教師讓學生具備思想的顯性使用能力和隱性使用能力，以提高對于學生的培養(yǎng)水平。達成目的的流程是：學生綜合情況分析—學生思想建設情況—教學過程的查缺補漏。綜合情況分析可以研究學生是否具備對涉及分類討論思想類題目的正確解決能力，思想建設情況分析要總結當前學生對于該思想的掌握完善程度，查缺補漏過程并非一味提高對于學生的訓練量，而是采取更為高效的方法，其中綜合情況的分析過程主要是通過考核的方法進行。

例如教師的考核題目：某人員要從A地到達B地，中間有三條路徑，其開車出行過程考慮一個要素，即到達時間，不同的路徑具有不同的特點，為方便描述，所以在時間的計算方面有不同的計算方程，當確定時間相同時，考慮該行駛過程的耗油量。時間的計算公式分別是t=x/2、t=x2/2、t=（2x2-x）/2，其中x是A地到B地的直線距離。單位時間內耗油量第一條線路最少，第二條最多，則當x的數(shù)值為1時，選擇哪條路線？要選擇第一條路線，則直線距離的范圍是多少？學生的計算過程，第一個問題只要把數(shù)據(jù)代入即可計算，之后選擇耗油量更少的路線即可，而在第二個問題中，要分別把第一條路線與第二條和第三條路線比較，并且確定選擇第一條路線時含有的優(yōu)勢，比如對比過程中，一個優(yōu)勢是第一條路線時間最短，另一個優(yōu)勢是到達時間相同，而第一條的耗油量最少，在得到所有結果后可以獲取結果。該方法讓學生學會了多個分情況討論步驟，健全了學生的思想。

（二）可能性分析中的應用

分類討論思想特點是考慮題目中所有的可能性，之后讓學生找到所有貼合要求的內容，這要求學生做到深化審題，找到題目中的所有關鍵點。

比如現(xiàn)有題目：a2，作為初中生必須掌握記憶性公式之一，必須意識到該得到的結果是|a|，而對于a的討論要進一步確認，教師帶領學生的分析過程中，采用設定a數(shù)值的方法讓學生自主總結相關結果的可能性，讓學生計算a=-2、-4、-8等多種情況，學生自然容易得到正確結果，之后讓學生計算a=2、4和8等多種情況，學生也可以很快得到結果，之后讓學生分析可以從中得到的結論，之后教師提出的問題則是，讓學生分析是否有一個較為特殊的數(shù)字并未討論，一些學生意識到該數(shù)字是0。得到結果后大量學生認為當a≥0可以作為一個集合，但是在一些題目中學生容易遺忘該特殊數(shù)字，該部分知識介紹中，可以短期內允許學生這樣認知，構建出思維縝密度的培養(yǎng)契機。

（三）縝密度提高中的應用

縝密度的提高過程中，目的是讓學生在題目的整個解答過程中都要借助該思想指導答題過程，對于一些可以通過縮窄范圍得到唯一性結果的題目，教師可以按照這一講解流程完成教育工作。比如對于上文中提及結論，教師編寫的題目是已知方程：0=x2+b2x-4，得到的其中一個結果為2，其中該方程對應的函數(shù)圖象不對稱于y軸，求b的可能值，并說明對應圖象對稱軸數(shù)值屬于x軸的正半軸還是負半軸。學生的解題過程中，可以使用一元二次方程的求解方法獲取結果，其中一個b的可能結果是0，會導致方程的圖像對稱于y軸。分類討論思想的使用過程，正負半軸視作上文結論中的范圍限定條件，教師說明，若把b=0的情況納入x軸正半軸的情況顯然不正確，通過規(guī)范化知識使用思路的滲透提高學生思維縝密度。

（四）其他思想介紹中的應用

中學數(shù)學教學作為各類基礎數(shù)學知識和數(shù)學基礎的奠定階段，要把分類討論思想和其他的思想融合，包括數(shù)形結合思想、數(shù)學模型思想、“運動”思想等，其中數(shù)學模型建設可以看做是分類討論思想的記憶基礎，分類討論思想則是剩余思想的學習基石。

對于分類討論思想的顯性使用類題目，構造的數(shù)學模型可以是從A地到B地的多種不同道路，不同道路的準入條件不同，滿足要求時才可通過，對于隱性使用方法，則是自主探討不同路徑的準入條件，之后通過道路獲取結果。當學生具備該模型之后，自然可以掌握分類討論思想的使用內涵。

對于其他的各項數(shù)學思想，要經(jīng)過分類討論思想之后使用，比如對于逆向思維，題目是：已知兩個方程分別為x2+2mx+6=0和（m+2）x2+4x+4=0，其中至少一個方程有實根，求取m的取值范圍。教師除了讓學生給出正確結果，同時要求4分鐘內給出答案，學生采用分類討論思想難以解答，則教師可以向學生介紹逆向思維算法，即至少一個方程有實根，只需要找到兩個方程都無實根的情況，剩下區(qū)間中的所有數(shù)字都符合題目的要求。該方法使學生意識到，若分類討論的情況過于復雜時要主動尋求其他算法，達到了良好的數(shù)學思想融合效果。

五、 結論

綜上所述，在中學數(shù)學教學中，分類討論思想的使用表現(xiàn)形式包括顯性使用方法和隱性使用方法，目前的教學方法包括建設的培養(yǎng)思想不健全、核心素養(yǎng)的體現(xiàn)不明顯等，從而導致教育水平下降。解決方法是按照科學的流程限定各類題目的要求，并強化各類數(shù)學思想的融合教育成果，以提高教學質量。

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作者簡介：

郭麗霞，福建省泉州市，福建省永春美嶺中學。