陳志強(qiáng)

摘要：本文從準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和創(chuàng)設(shè)適合的教學(xué)設(shè)計(jì)兩個(gè)角度出發(fā)，對(duì)《函數(shù)的單調(diào)性》一課進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)。本文認(rèn)為，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)通過(guò)教學(xué)情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)中重難點(diǎn)的設(shè)計(jì)、解題后反思設(shè)計(jì)三種途徑和方法來(lái)培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提升課堂教學(xué)的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂;函數(shù)單調(diào)性;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）19-013-2

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)高度抽象的思維產(chǎn)物，它是高于數(shù)學(xué)知識(shí)的思維方法。只有在數(shù)學(xué)課堂中多關(guān)注“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”等方面的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生多去思考數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)，才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以有效體現(xiàn)與落實(shí)。本文以《函數(shù)的單調(diào)性》為例，闡述基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育下的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該注意的地方。

一、準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)

要想在日常的教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師必須首先要明確數(shù)學(xué)教材中所涉及內(nèi)容的本質(zhì)。只有教師明確了數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，才能讓學(xué)生理解和掌握這些內(nèi)容的本質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。而準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，應(yīng)從三維目標(biāo)體系轉(zhuǎn)換到核心素養(yǎng)目標(biāo)。

比如，我們?cè)谶M(jìn)行《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以將“三維目標(biāo)”轉(zhuǎn)換成如下形式：（1）理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能夠函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)判斷函數(shù)的單調(diào)性;（2）掌握函數(shù)單調(diào)性的概念，能夠用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言證明函數(shù)的單調(diào)性;（3）通過(guò)探究函數(shù)圖像與定義之間的關(guān)系，鍛煉觀察、歸納、抽象的能力，感受數(shù)形結(jié)合的思想方法;（4）通過(guò)從已知到未知的數(shù)學(xué)探究過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般方法，感受其中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度與鉆研精神。這樣轉(zhuǎn)換出來(lái)的每一個(gè)目標(biāo)不僅可評(píng)價(jià)，并且也避免了因?yàn)槎鄠€(gè)維度的學(xué)習(xí)過(guò)程重合而使語(yǔ)句產(chǎn)生不必要的分割。

二、創(chuàng)設(shè)適合的教學(xué)設(shè)計(jì)

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過(guò)程側(cè)重學(xué)生的自主探究和自我體驗(yàn)，更多地依靠學(xué)生自身在實(shí)踐中的摸索、積累和領(lǐng)悟，因此，引導(dǎo)學(xué)生積極地參與到教學(xué)過(guò)程中，成為我們教學(xué)的第一要?jiǎng)?wù)。

1.教學(xué)情境的設(shè)計(jì)

教學(xué)“情境”包括實(shí)際情境、科學(xué)情境、數(shù)學(xué)情境、歷史情境。教學(xué)中合理創(chuàng)設(shè)情境便于學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容和要完成的任務(wù)，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情，也有利于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力?；跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)要求教師給學(xué)生自主探究感興趣的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的時(shí)間和空間，學(xué)生在這個(gè)探究的過(guò)程中經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，有助于他們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)與其應(yīng)用之間建立聯(lián)系。如果教學(xué)中的數(shù)學(xué)知識(shí)根植于情境中，將更有利于學(xué)生找到知識(shí)學(xué)習(xí)的意義，進(jìn)而促進(jìn)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

在初中學(xué)生學(xué)過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)，它們的圖像中包含著增減特征。從具體函數(shù)圖象中觀察，學(xué)生可以直觀地發(fā)現(xiàn)從左往右圖像在上升（下降），它們都是定性的。在學(xué)習(xí)了集合、符號(hào)語(yǔ)言表示的一般函數(shù)概念后，對(duì)于較明顯或常見(jiàn)的函數(shù)圖象特征，需要從數(shù)量關(guān)系的角度通過(guò)邏輯推理加以確認(rèn)，一般都需要定量地刻畫(huà)函數(shù)圖象的這種特性，從而使學(xué)生能自然明確，在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，首先要觀察圖像，并采用多種方式定性描述函數(shù)圖象特征;然后是定量，用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定義函數(shù)的單調(diào)性，最后是運(yùn)用定義定量地判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性。這樣的定性到定量，也為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性做了較好的方法鋪墊。

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合初中所學(xué)知識(shí)，在直角坐標(biāo)系中繪制相應(yīng)的函數(shù)圖像。

問(wèn)題2：觀察學(xué)生繪制的函數(shù)的圖像（具體根據(jù)學(xué)生回答定），指出圖像變化的趨勢(shì)。

觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)的函數(shù)圖像有的呈逐漸上升的趨勢(shì)，有的呈逐漸下降的趨勢(shì)，有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升的趨勢(shì)，在另一區(qū)間內(nèi)呈逐漸下降的趨勢(shì)。

問(wèn)題3：“從左向右看，圖像呈逐漸上升趨勢(shì)”這句話初中是如何描述的？

例如，初中研究y=x2時(shí)，我們知道，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大。

回憶初中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的描述性定義：

圖像呈逐漸上升趨勢(shì)函數(shù)值y隨x的增大而增大

圖像呈逐漸下降趨勢(shì)函數(shù)值y隨x的增大而減小

函數(shù)的這種性質(zhì)被稱(chēng)之為函數(shù)的單調(diào)性

在《函數(shù)的單調(diào)性》的教學(xué)情境設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)通過(guò)學(xué)科融合的途徑，從形象到抽象，從特殊到一般，初步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題與分析解決問(wèn)題。學(xué)生面對(duì)問(wèn)題化的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在教師引導(dǎo)下進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)、現(xiàn)象觀察、提出猜想、推理論證等，不僅經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程，而且積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟到數(shù)學(xué)思想方法，切實(shí)體驗(yàn)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和探究真理的科學(xué)精神，培育了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.教學(xué)中重難點(diǎn)的設(shè)計(jì)

函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)時(shí)，在形成形式化的增（減）函數(shù)概念過(guò)程中，從圖像升降的幾何直觀認(rèn)識(shí)過(guò)渡到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述的函數(shù)增減定義，這是教學(xué)的重難點(diǎn)。只有利用轉(zhuǎn)化策略性知識(shí)，才能有效突破上述難點(diǎn)。轉(zhuǎn)化策略是將一個(gè)陌生的、難以直接解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解從一定程度上取決于數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換，它體現(xiàn)了以不同的表達(dá)形式加工處理數(shù)學(xué)對(duì)象，換一種角度或方法觀察、思考。在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)、性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)和解題教學(xué)中都需重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換。例如自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即把自然語(yǔ)言表述的問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、概括成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)形式，也即數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。熟悉了這種轉(zhuǎn)換，就超越了對(duì)概念、定理和公式的機(jī)械被動(dòng)記憶，促使學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行理解的主動(dòng)建構(gòu)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透。

問(wèn)題4：如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？

第1步：將兩個(gè)“增大”符號(hào)化：x1

第2步：再將“隨”符號(hào)化：當(dāng)x1

第3步：再將隱含語(yǔ)言“任意”符號(hào)化：對(duì)任意x1

第4步：再將隱含語(yǔ)言“區(qū)間”符號(hào)化：對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1

增函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，區(qū)間IA。如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，若當(dāng)x1

本課教學(xué)的難點(diǎn)是對(duì)增（減）函數(shù)的形式化定義的理解，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。從圖像升降幾何語(yǔ)言的直觀認(rèn)識(shí)到函數(shù)增減數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表述，有較大的跨度，在此過(guò)程中通過(guò)用自然語(yǔ)言或數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化給予銜接，就較好地幫助學(xué)生突破了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

3.解題后反思設(shè)計(jì)

《論語(yǔ)》中講“學(xué)而不思則罔”，指的是一味讀書(shū)而不思考，就會(huì)因?yàn)椴荒苌羁汤斫鈺?shū)本的意義而不能合理有效地利用書(shū)本知識(shí)，甚至?xí)萑朊悦?。目前高中?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，大部分學(xué)生只是被動(dòng)地接受知識(shí)，接受大量的練習(xí)，而缺乏對(duì)自己學(xué)習(xí)的知識(shí)、學(xué)習(xí)的方式以及學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自我反思。針對(duì)“學(xué)而不思則罔”的現(xiàn)象，在課堂教學(xué)中，從解題反思，一題多解，一題多問(wèn)等形式，讓學(xué)生每天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是從數(shù)學(xué)反思開(kāi)始，反思問(wèn)題解決的關(guān)鍵點(diǎn)，反思前后知識(shí)的聯(lián)系，反思問(wèn)題的變化與統(tǒng)一，讓解題反思成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心環(huán)節(jié)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為探究性、研究性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的能力，提高學(xué)生的創(chuàng)造力，

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例1、作函數(shù)y=1x（x≠0）的圖像，并寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間。

1.解答過(guò)程：函數(shù)y=1x的圖像如圖所示，其減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）。

2.課堂追問(wèn)：能不能說(shuō)，函數(shù)y=1x（x≠0）在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)？

3.引導(dǎo)討論：從圖像上觀察或取特殊值代入驗(yàn)證否定結(jié)論。（如取x1=-1，x2=2）

例2、判斷函數(shù)f（x）=-1x-1在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明。

1.思路分析：怎么判斷，本題不急于用定義證明，先讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)。

2.方法歸納：（1）判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法：①觀察法：畫(huà)出函數(shù)圖像來(lái)觀察;②分解法：對(duì)函數(shù)恰當(dāng)?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調(diào)性的較簡(jiǎn)單函數(shù)的組合;③定義法：嚴(yán)格按照定義進(jìn)行驗(yàn)證。（2）定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：取值→作差→變形→定號(hào)→下結(jié)論。

3.總結(jié)提升：學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)。（1）知識(shí)層面：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)、減函數(shù)的概念，以及概念探究過(guò)程——直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性;（2）判斷與證明函數(shù)單調(diào)性的方法：觀察法、分解法、定義法（五步走）;（3）數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、歸納和類(lèi)比等思想方法。

4.拓展思考：討論函數(shù)f（x）=xx+1的單調(diào)性，并運(yùn)用該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解說(shuō)這一現(xiàn)象：在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜？

荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾曾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，波利亞也說(shuō)：“如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一個(gè)重要而有益的方面”，可見(jiàn)反思對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，讓師生養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣尤其顯得重要。

從上述過(guò)程來(lái)看，數(shù)學(xué)反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可缺少的核心環(huán)節(jié)。因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真反思，讓反思滲透在每一個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，讓數(shù)學(xué)反思成為學(xué)生的一種習(xí)慣，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]張忠旺.在問(wèn)題反思中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2018（07）.

[2]羅建中.淺談如何進(jìn)行策略性知識(shí)的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2003（02）.

（作者單位：常州市武進(jìn)區(qū)橫山橋高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州213119）