黃榮德

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)給予學(xué)生充分經(jīng)歷認(rèn)知沖突的空間，通過同化或順應(yīng)兩種方式幫助學(xué)生達(dá)到認(rèn)知平衡，運(yùn)用“障礙式”跨越、“階梯式”跨越、“爬桿式”跨越的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生跨越認(rèn)知沖突，真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)并建構(gòu)自己的知識(shí)體系。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知沖突；數(shù)學(xué)本質(zhì)；形式模仿

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2018）07B-0064-04

當(dāng)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)一時(shí)不能同化、接納眼前的新知時(shí)，或新的信息與其原認(rèn)知結(jié)構(gòu)不相符合時(shí)，或動(dòng)用、調(diào)集了全部已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、方法后仍不能解決面臨的問題時(shí)，他們便在心理上生成一種強(qiáng)烈的矛盾沖突，即認(rèn)知沖突。在數(shù)學(xué)課堂上，時(shí)常有教師預(yù)設(shè)不到學(xué)生的認(rèn)知沖突點(diǎn)，或?yàn)橼s教學(xué)進(jìn)度，采用回避掩蓋的方式，將學(xué)生的思維強(qiáng)拉到“教”的軌道，不留給學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知沖突的機(jī)會(huì)，以至于學(xué)生的“學(xué)”進(jìn)入不了深度的思考狀態(tài)，流于形式地“掌握”知識(shí)點(diǎn)。

心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：“個(gè)體的認(rèn)知發(fā)展是在認(rèn)知不平衡時(shí)通過同化或順應(yīng)兩種方式來達(dá)到認(rèn)識(shí)平衡的，認(rèn)知不平衡有助于學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)體系。”[1]因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)給予學(xué)生充分經(jīng)歷認(rèn)知沖突的空間，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和跨越認(rèn)知沖突，實(shí)現(xiàn)從“形式模仿”到“本質(zhì)理解”的教學(xué)目的。

一、“障礙式”跨越

學(xué)生在面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題時(shí)，通常會(huì)根據(jù)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來解決問題。但是學(xué)生此時(shí)的經(jīng)驗(yàn)是較為形式化的，當(dāng)新的問題與原有經(jīng)驗(yàn)之間既有聯(lián)系又有著質(zhì)的不同時(shí)，學(xué)生往往只會(huì)形式模仿，而忽略了問題的本質(zhì)所在。

以教學(xué)蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘整數(shù)”為例：

（1）夏天西瓜每千克0.8元，買3千克需要多少元？

（2）冬天西瓜每千克2.35元，買3千克需要多少元？

解答列式分別為：0.8×3，2.35×3。面對(duì)“0.8×3=？”這樣新的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生根據(jù)已有的小數(shù)加減法和整數(shù)乘法的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，自然地會(huì)將0.8元轉(zhuǎn)化成8角進(jìn)行計(jì)算，有的則用3個(gè)0.8相加進(jìn)行計(jì)算。但當(dāng)學(xué)生嘗試用豎式計(jì)算時(shí)，經(jīng)驗(yàn)同化的同時(shí)，形式模仿也隨之產(chǎn)生。

圖1是一個(gè)典型的形式模仿的例子。學(xué)生首先想到小數(shù)加法在列豎式時(shí)需要將小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，于是先將整數(shù)3添上小數(shù)點(diǎn)改寫成一位小數(shù)3.0，形式上完全模仿3+0.8的豎式。接下來又轉(zhuǎn)換經(jīng)驗(yàn)，模仿整數(shù)乘法的方法，按照整數(shù)乘法8×3算出積24，然后再回到小數(shù)加法的經(jīng)驗(yàn)，將計(jì)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)和豎式中的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，于是得到2.4。

在教學(xué)中，由于這一課時(shí)涉及的都是小數(shù)乘整數(shù)，教師往往會(huì)忽略學(xué)生的這個(gè)認(rèn)知沖突點(diǎn)，按部就班地解釋算理：0.8是8個(gè)十分之一，8個(gè)十分之一乘3得24個(gè)十分之一，所以積是2.4。在經(jīng)過了類似的一些小數(shù)乘整數(shù)的例子后，讓學(xué)生觀察乘數(shù)中的小數(shù)位數(shù)和積的小數(shù)位數(shù)，“順利”地總結(jié)出小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法：先按整數(shù)乘法的方法算出積，然后看小數(shù)乘數(shù)的位數(shù)是幾位小數(shù)，那么積就有幾位小數(shù)。至此，教師誤以為學(xué)生已經(jīng)理解算理并掌握了算法。而事實(shí)上一節(jié)課下來，學(xué)生形成的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)是：“不必這么麻煩，小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)加法一樣，只要對(duì)齊乘數(shù)和積的小數(shù)點(diǎn)就可以了”，正如圖2中學(xué)生看到的那樣，積的小數(shù)點(diǎn)只要和乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，那就是正確的結(jié)果，無一例外。不言而喻，看似本節(jié)課學(xué)生掌握得很好，而事實(shí)上，學(xué)生只是對(duì)原有認(rèn)知的形式模仿，形成的是不完善的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

上例中，當(dāng)學(xué)生利用原有經(jīng)驗(yàn)對(duì)新的問題進(jìn)行同化并進(jìn)行形式模仿時(shí)，往往不能察覺其中的異質(zhì)因素，需要教師設(shè)置一些障礙，讓學(xué)生明顯感受到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完善，需要進(jìn)行調(diào)整和更新，于是主動(dòng)設(shè)法在新舊知識(shí)之間架起一座橋梁，從而真正理解和獲取新知，發(fā)展思維。

如圖1、圖2中，因?yàn)槎际切?shù)乘以一個(gè)一位數(shù)的整數(shù)，所以學(xué)生根據(jù)小數(shù)加減法和整數(shù)乘法的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行形式模仿時(shí)沒有遇到任何障礙。而一旦將算式中的數(shù)變化一下，讓學(xué)生計(jì)算一個(gè)小數(shù)乘一個(gè)兩位數(shù)的整數(shù)，那么學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中的不完善之處就暴露出來了。于是，教師在此處設(shè)置“障礙”，讓學(xué)生嘗試計(jì)算2.15×13（如圖3、圖4所示）。

顯然圖3中，學(xué)生依然是模仿小數(shù)加減法列豎式的方法，將乘數(shù)中的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，然后將整數(shù)部分相乘，小數(shù)部分相加。而圖4中，經(jīng)過老師的引導(dǎo)，學(xué)生已經(jīng)在列豎式時(shí)將乘數(shù)的末位對(duì)齊了，也遷移了整數(shù)乘法的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算，但是在小數(shù)點(diǎn)的處理上又回到了原有加法的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)果中的小數(shù)點(diǎn)要和乘數(shù)中的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

在以上的嘗試計(jì)算過程中，學(xué)生的思維正經(jīng)歷著一種想往前跨越的趨勢(shì)，但是因?yàn)樵诶}（1）中形成的不完善的認(rèn)知，導(dǎo)致在這個(gè)變式的嘗試練習(xí)中，學(xué)生明顯感到困惑，一邊計(jì)算一邊懷疑算法的正確性。抓住這個(gè)關(guān)鍵時(shí)機(jī)，教師只要讓學(xué)生從小數(shù)的意義的角度再深入一步地討論：如果把2.15×13看作整數(shù)乘法，那是多少乘多少？215×13應(yīng)該怎樣計(jì)算？三位數(shù)乘兩位數(shù)的整數(shù)乘法在計(jì)算的時(shí)候是怎樣計(jì)算的？最后再討論：得到的整數(shù)積應(yīng)怎樣處理就可以得到正確的結(jié)果了呢？

一方面由于學(xué)生已有小數(shù)乘一位數(shù)的算理經(jīng)驗(yàn)，明確了思辨的方向；另一方面由于變式練習(xí)題比例題復(fù)雜，沒有例題中0.8×3、2.15×3與加法計(jì)算的“巧合”，此時(shí)學(xué)生確信地得出“對(duì)于小數(shù)乘整數(shù)，先按照整數(shù)乘整數(shù)的方法算出積，然后看乘數(shù)中的小數(shù)是幾位小數(shù)，得到的積就是幾位小數(shù)，最后點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)”的結(jié)論。

二、“階梯式”跨越

學(xué)生在對(duì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行同化和遷移的過程中，有時(shí)會(huì)遇到一些很難一步跨越的沖突點(diǎn)。在學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的斷層處，教師需要順著學(xué)生思維行走的軌跡設(shè)計(jì)合理的階梯，讓學(xué)生在經(jīng)歷沖突的過程中“拾級(jí)而上”。

如學(xué)習(xí)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算和兩三位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計(jì)算的相關(guān)方法與經(jīng)驗(yàn)。面對(duì)24×12，結(jié)合情境圖（如圖5所示），學(xué)生很容易掌握口算的方法和算理。先算10箱南瓜的個(gè)數(shù)：24×10=240，再算2箱南瓜的個(gè)數(shù)：24×2=48，然后把兩部分加起來算出24箱南瓜一共的個(gè)數(shù)：240+48=288。但是在接下來的嘗試豎式計(jì)算時(shí)，有相當(dāng)多的一部分學(xué)生的算法是將個(gè)位上的數(shù)字4和2相乘得8，將十位上的數(shù)字2和1相乘得2，合起來是28（如圖6所示）。在這個(gè)錯(cuò)誤的計(jì)算過程中，學(xué)生直接將兩位數(shù)加兩位數(shù)的方法遷移到乘法中來，進(jìn)行形式上的模仿：數(shù)位對(duì)齊，將個(gè)位和十位上的數(shù)字分別相乘，所得結(jié)果與口算結(jié)果明顯不符。

學(xué)生為什么不將口算乘法的算理和算法遷移到豎式計(jì)算中來呢？原來在這個(gè)算法中，學(xué)生思維的干擾點(diǎn)主要在于豎式的結(jié)構(gòu)從“一層樓”到“兩層樓”的跨越：即原來兩三位數(shù)乘一位數(shù)，豎式是單層的，只要用一位數(shù)分別和兩三位數(shù)上每一位上的數(shù)相乘，而兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式結(jié)構(gòu)要建立兩層。對(duì)此，學(xué)生“沖突”之一是分不清兩兩相乘的順序，“沖突”之二是不知道如何將兩次相乘的結(jié)果合在一起。此時(shí)，教師需要搭建階梯，逐步引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷從“形式模仿”到“本質(zhì)理解”的過程中化解和跨越“認(rèn)知沖突”。

上例中，學(xué)生根據(jù)情境圖直觀地用口算的思路和方法計(jì)算出24×12的結(jié)果，那么學(xué)生需要的階梯是將口算中的三個(gè)步驟分別轉(zhuǎn)化成豎式（如圖7所示），然后再拾級(jí)而上，將三個(gè)豎式合并成功后，再將豎式簡(jiǎn)化（如圖8所示）。

這樣，有了圖7的這層“階梯”，學(xué)生就厘清了解題思路，然后將分解的豎式合并成圖8，順利地從“一層樓”的豎式跨越到“二層樓”的豎式（見圖9）。

顯然，當(dāng)學(xué)生憑著已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)無法直接跨越認(rèn)知沖突時(shí)，通過教師搭建的階梯，能夠清晰地看到自己需要跨越的“沖突點(diǎn)”，進(jìn)而在理解知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的更新。

三、“爬桿式”跨越

在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知往往有一種自我建構(gòu)的“特有路線”。在學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，學(xué)生常常會(huì)沿著對(duì)已有概念的認(rèn)知“順桿而爬”，而在這過程中，學(xué)生也會(huì)經(jīng)歷“認(rèn)知沖突”。如果教師預(yù)設(shè)的“桿”符合學(xué)生的“特有路線”，那么學(xué)生的思維就能夠自然地跨越“沖突”，順“桿”而上。

如學(xué)習(xí)蘇教版三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生需要順著已有的“整數(shù)概念的認(rèn)知體系”這根“桿”往上生長(zhǎng)，即數(shù)是表示物體個(gè)數(shù)的，是“整”的，可以表示具體的量的多少。然而在實(shí)際教材中，更多的是從“部分與整體的關(guān)系”這個(gè)角度初步建立分?jǐn)?shù)的概念的（如圖10所示）。

顯然，在這個(gè)新、舊知的轉(zhuǎn)折口，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生比較強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突：把一個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是半個(gè)，這“半個(gè)”是這個(gè)蛋糕的。學(xué)生介于這“半個(gè)”蛋糕和“這個(gè)蛋糕的”之間而認(rèn)識(shí)一個(gè)跳出整數(shù)范圍的新知——分?jǐn)?shù)，在接下來的教學(xué)模式中也是沿著“把一個(gè)物體平均分成若干份，其中的一份就是它的幾分之一”的思路建立對(duì)于分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)。在教學(xué)結(jié)束時(shí)，筆者向?qū)W生提問本課的收獲時(shí)，得到的最多回答是“我學(xué)會(huì)了怎樣把各種物體平均分。任何物體都是可以平均分的，平均分后都可以用分?jǐn)?shù)表示”。從中可以看出，學(xué)生對(duì)于“分?jǐn)?shù)與整數(shù)一樣，都是一種數(shù)，也可以表示量的多少”的認(rèn)識(shí)不夠。原因在于，教師在提出分?jǐn)?shù)的概念時(shí)，沒有讓學(xué)生順著原有的“認(rèn)知體系桿”往上“爬”。在這樣的新知導(dǎo)入中，學(xué)生建立的分?jǐn)?shù)概念的“胚芽”是不完善的，這樣的“胚芽”也不利于學(xué)生今后對(duì)于分?jǐn)?shù)概念的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

為此，教師需要厘清學(xué)生認(rèn)知體系的“桿”：將一個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是這個(gè)蛋糕的“一半”，是“半個(gè)”?！耙话搿焙汀鞍雮€(gè)”是學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，也是學(xué)生從整數(shù)體系跨越到分?jǐn)?shù)體系的重要鏈接。因此，在教學(xué)一開始，教師可以順著學(xué)生頭腦中的“半個(gè)”而引出分?jǐn)?shù)。從學(xué)生熟悉的整數(shù)入手，將4個(gè)月餅平均分成兩份，每份是2個(gè)，把2個(gè)月餅平均分成兩份，每份是1個(gè)，把1個(gè)月餅平均分成兩份，每份是“半個(gè)”，從整數(shù)到不能用整數(shù)表示，引出“半個(gè)”也可以用一個(gè)新的數(shù)來表示，即個(gè)（如圖11所示）。接下來，讓學(xué)生繼續(xù)自己舉例，從半個(gè)（個(gè)）繼續(xù)認(rèn)識(shí)塊、根、 袋……這樣從“分?jǐn)?shù)也是數(shù)，也可以表示具體量的多少”這個(gè)角度，讓學(xué)生的思維自然順著原有的認(rèn)知體系的“桿”繼續(xù)往上生長(zhǎng)，從而也自然地跨越了學(xué)生在初次接觸分?jǐn)?shù)概念時(shí)的認(rèn)知沖突。

教學(xué)過程本應(yīng)是包容學(xué)生認(rèn)知沖突不斷的過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和跨越?jīng)_突既是教學(xué)的靈魂和精髓，也是提高學(xué)生思維能力的原動(dòng)力。[2]在以學(xué)生的自主探索為主旋律的數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生思維參與的深度，注重學(xué)生知識(shí)獲取的過程，在引導(dǎo)學(xué)生深度經(jīng)歷認(rèn)知沖突的過程中讓其自然地跨越?jīng)_突，從而使其自主完善原有認(rèn)知并建立新的認(rèn)知體系。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙緒昌.引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014（12）.

[2]陳貽勝.斷磚可為玉 點(diǎn)石能成金——例談數(shù)學(xué)教學(xué)中形成認(rèn)知沖突的策略[J].教育實(shí)踐與研究（A）， 2011（6）.

責(zé)任編輯：李韋

Abstract： In primary school mathematics teaching， teachers should offer students enough space to go through cognitive conflicts， and by adopting the ways of assimilation and accommodation help them strike the balance of cognition. Meanwhile， teachers may employ the teaching strategies of crossing obstacles， ladders and pole-climbing to guide students to cross cognitive conflicts so that they can truly understand the essence of mathematics and construct their own system of knowledge.

Key words： cognitive conflict； mathematical essence； form imitation