摘 要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考必考內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)。但高考中解析幾何解答題的得分率并不高，究其原因主要是學(xué)生對(duì)解析幾何題“先天”膽怯，再加上繁瑣的運(yùn)算，如果對(duì)題目中模型的內(nèi)涵和本質(zhì)也不熟悉，那更是難上加難了。認(rèn)為在平時(shí)的教學(xué)中要注重對(duì)解析幾何模型的積累及拓展，要讓解析幾何題“活”起來(lái)。通過(guò)挖掘試題的內(nèi)涵和本質(zhì)，并提出具有探究性的問(wèn)題，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)初步學(xué)會(huì)研究問(wèn)題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何題

一、提出問(wèn)題

（2016屆高三江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市第一次模擬考試第18題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C： + =1（a>b>0）過(guò)點(diǎn)P（1， ），離心率為 。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)。①若直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)，記△ABP三條邊所在直線斜率的乘積為t，求t的最大值；②若直線l的斜率為 ，試探究OA2+OB2是否為定值，若是定值，則求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。

二、分析問(wèn)題

對(duì)（Ⅰ）問(wèn)，根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，從而求出橢圓的方程。

對(duì)（Ⅱ）①問(wèn)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程假設(shè)出直線l的方程，利用設(shè)而不求及韋達(dá)定理的思想將t表示成關(guān)于直線l的斜率k的表達(dá)式，進(jìn)而求出最值。

對(duì)（Ⅱ）②問(wèn)，根據(jù)直線的斜截式方程假設(shè)出直線l的方程，設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，將OA2+OB2表示成關(guān)于直線l的截距的表達(dá)式，進(jìn)而求出定值。

本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)為橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系及定值問(wèn)題；求解過(guò)程中考查學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，難度適中，注意通性通法，淡化特殊技巧。

三、拓展問(wèn)題

筆者對(duì)此題（Ⅱ）問(wèn)的兩個(gè)小問(wèn)進(jìn)行拓展，得到如下幾個(gè)重要性質(zhì)，望與讀者共勉。

1.有關(guān)①問(wèn)的拓展

（1）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓：已知點(diǎn)P（c， ）在橢圓C： + =1（a>b>0）上，若過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積最大值為 。

證明：設(shè)直線l的方程為x=my+c，直線l與橢圓C的交點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），

由x=my+c + =1得（a2+b2m2）y2+2mb2cy-b4=0，易知？駐>0，

所以y1+y2=- ，y1y2= ，

所以，kAPkBP= · = · =

· =- - ，

所以，kAB·kAP·kBP=- - =- （ + ）2+ ，

所以當(dāng)m=- 時(shí)，kAB·kAP·kBP取得最大值 。

（2）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓：已知點(diǎn)P（ ，c）在橢圓C： + =1（a>b>0）上，若過(guò)橢圓C焦點(diǎn)F（0，c）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積取值范圍為（-∞，0）∪[ ，+∞）。

（3）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線：已知點(diǎn)P（c， ）在雙曲線C： - =1上，若過(guò)雙曲線C右焦點(diǎn)的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積最小值為- 。

（4）焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線：已知點(diǎn)P（ ，c）在雙曲線C： - =1上，若過(guò)雙曲線C焦點(diǎn)F（0，c）的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積取值范圍為（-∞，

- ）∪[0，+∞）。

（5）焦點(diǎn)在x軸上的拋物線：已知點(diǎn)P（ ，m）在拋物線C：y2=2mx（m≠0）上，若過(guò)拋物線C焦點(diǎn)的直線l∶y=k（x- ）交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積為2k2。

（6）焦點(diǎn)在y軸上的拋物線：已知點(diǎn)P（m， ）在拋物線C：x2=2my（m≠0）上，若過(guò)拋物線C焦點(diǎn)的直線l∶y=kx+ 交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則△ABP三條邊所在直線斜率的乘積為 。

2.有關(guān)②問(wèn)的拓展

（1）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓：若直線l∶y=kx+t與橢圓C： + =1（a>b>0）交于A、B兩點(diǎn)，則OA2+OB2為定值（與t無(wú)關(guān)）的充分必要條件為直線l的斜率為± 。

證明：設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），

充分性：不妨設(shè)直線l的方程為y= x+t（y=- x+t同理可證），下證OA2+OB2為定值。

由y=- x+t + =1得2b2x2+2abtx+a2t2-a2b2=0，x1+x2=- ，x1x2= ，

所以O(shè)A2+OB2=x12+y12+x22+y22=（1+ ）（x12+x22）+ （x1+x2）+2t2=（1+ ）[（x1+x2）2-2x1x2]+ （x1+x2）+2t2=（1+ ） - - · +2t2=a2+b2（定值）。

必要性：

由y=kx+t + =1得（a2k2+b2）x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0，

x1+x2=- ，x1x2= ，

所以O(shè)A2+OB2=（1+k2）[（x1+x2）2-2x1x2]+2kt（x1+x2）+2t2=

2c2 t2+ ，令a2k2-b2=0得k=± ，此時(shí)OA2+OB2為定值a2+b2，證畢。

（2）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓：若直線l∶y=kx+t與橢圓C： + =1（a>b>0）交于A、B兩點(diǎn)，則OA2+OB2為定值（與t無(wú)關(guān)）的充分必要條件為直線的斜率為± 。

顯然，在雙曲線和拋物線中，不具有類似性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]沈臻.例談數(shù)學(xué)課堂中的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（17）：34.

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編輯 郭小琴